1.Векторное пространство. Пространство арифметических и геометрических векторов

Множ V назыв вект простр над множ R, если там определены операции умножения на число и сложение, и обладающие следующими св-ми:

А)(а(вектора)+в)+с=а+(в+с)-ассоциативность Б)а+0=0+а=а-ненул вект

В) ∃(-а0) –а=(-а1,-а2..-аn)-сущ противопол вект Г)а+в=в+а-коммуникативность Д)а)=(-ассоциативность Е)1*а=а Ж)(+а=а+а-дистрибутивность относительно скаляров З)а+в)=а+в-…векторов

Арифметические вектора.N мерный арифм вект-упорядоченный набор из N вещественных чисел(а=а1,а1..аn)1)умнож вект на число а=(а1,а2..аn) 2)слож вект а+в=(а1+в1…аn+аb)

Геометрические вект.W₂-множ.геом.вект.на плоскости.Множ геом вект на плоск и в простр(W₂)являются вект пространством

2.Линейная зависимость и независимость векторов.Базис

Пусть R – векторное пространство. Векторы a1,a2,...,an-назыв линейно зависимыми ,если сущ такой ненулевой набор λ1,λ2..λn,что линейная комбинация этих веторов=0

а1,а2..аn-назывется линейно независимой,если для любого ненул набора линейная комбинация не равна 0(еслм можно пдставить коэф не равный0)

Пусть имеется n векторов.

Составим линейную комбинацию:

, если система n векторов – линейно-зависима.

Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов

является линейно-зависимой.

Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов

будет тоже линейно-независимой.

Вектора а1,а2…аn линейно зависимы тогда и только тогда,когда один из этих векторов является линейной комбинацией оставшихся

Базис вект пространства V называется максимальный набор линейно независимых векторов.Число вект в базисе назыв размерностью векторного простр.Теорема: Каждый вектор x векторного пространства можно представить, и притом единственным образом как линейную комбинацию векторов базиса.Д-во: Пусть система n векторов

линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда

число n называют размерностью пространства. dimV=n

Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного

пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов.

Такое представление называется разложение по базису, а числа

называют координатами вектора.Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.

3.Скалярное произведение.Длина вектора.Геометрическая интерпритация в случае двух и трех измерений

Скалярное произведение двух ненулевых векторов называется число =произведению длин этих векторов на cos ф угла между ними

Свойства: 1. 2. 3. 4.

Длина вектора:Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня и скалярного квадрата. |а|=(корень из)а²_х+а²_у+а²_z

4.Матрицы.Линейные операции над матрицами.Умножение матриц

Матрицей А размера m*n называется прямоуг таблица из m строк и n столбцов,сост из чисел или иных математических выраж. а_ij(назыв эл-ми матрицы)i=1,2..m.j=1,2..n

Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю,называется диагональной.Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1,называется единичной. Обозначается буквой Е.

Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю,

называется треугольной.Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

Линейные операции над матрицами:1)сложение матриц(должны иметь один и тот же размер):а)А+В=В+А(коммутативность)б)(А+В)+С=А+(В+С)(ассоцитивость)в)А+0=А 2)умножение на число:а) 1. αA = Aα ,2. 1⋅ A = A,3. 0⋅ A = О,4. α(β Α) = (α β )Α,5. (α + β )Α =α Α + β Α-дистр относит слож чисел , 6. α (Α + Β) =α Α +α Β-дистр относит слож матриц

3)умножение матриц

Умножение матриц-операция вычисления матрицы С,эл-ты которой равны сумме про-й эл-ов в соотв строке первого множ и столбце второго.Св-ва: ассоциативность,про-е не коммутативно,про-е комм в случ умнож с единичн матрицей,дистрибут закон,(А)В=АВ)=А(В)

1.A(BC) = (AB)C, 2. α (AB) = (α A)B 3. (A + B)C = AC + BC 4. C(A+B) = CA + CB