Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на отрезке равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.

.

Значение определённого интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла.

Другими словами, Значение определённого интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции на интервале интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет находить определённый интеграл, обходя суммирование, при помощи первообразных функций.

35. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства). Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция определена и интегрируема на произвольном обрезке , т.е. функция определена для произвольного .

Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от непрерывной функции на полуинтервале называется предел интеграла при стремящемся к :

.

Если этот предел, стоящий в правой части равенства, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

При работе с несобственными интегралами выделяют 2 задачи:

1. исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;

2. вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры.

Пример. Вычислить .

Решение. По определению Следовательно, несобственный интеграл сходится и равен 1.

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно

.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования обозначается символом

, где .

Пример. Вычислить .

Решение. .

Интеграл расходится.

В курсе теории вероятности встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера-Пуассона. Доказано, что .

36. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры.

1) Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда исходя из геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми (рис. 10.2) численно равна определенному интегралу:

. (11. 1)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. 1 способ. Из рисунка 11.1 видно, что искомая площадь равна: . Найдем координаты точки : , откуда для точки имеем , а для точки имеем . ; ;

2 способ. Если уравнение кривой записать в виде , то искомая площадь будет : .

2) Если функция неположительна и непрерывна на отрезке (рис. 11.2), то площадь

над кривой на отличается знаком от определенного интеграла: т.е . (11. 2)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой и осью абсцисс.

Решение. На рис. 11.3 приведена плоская фигур, ограниченная параболой , вершина которой находится в точке , и осью . Парабола пересекает ось в точках с координатами и . Площадь этой фигуры, согласно формулы (11.2), равна

(ед. ).

3) Теорема. Если на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что (рис. 11.4).

Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми и на отрезке , вычисляется по формуле: . (11.3)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

. Решение. Из рис. 11.5 видно, что искомая площадь находится по формуле (11.3), полагая . .