2.4. Следствия из преобразований Лоренца Одновременность событий в разных системах отсчета

Пусть в системе S в точках с координатами x₁ и x₂ происходят одновременно два события в момент времени t=t₁=t₂. В системе S' этим событиям будут соответствовать моменты времени

, . (2.8)

Из формул (2.8) видно, что в случае, если события в системе S пространственно разобщены (x₁¹x₂), то в системе S' они не будут одновременными (t'₁¹t'₂). Знак t'=t'₂–t'₁ определяется знаком выражения , следовательно, в разных системах S' разность t' будет различна по величине и может отличаться по знаку. Это означает, что в одних системах событие 1 будет предшествовать событию 2, в других системах, наоборот, событие 2 будет предшествовать событию 1. Все сказанное относится только к событиям, между которыми отсутствует причинная связь. Два причинно связанных события не могут происходить одновременно, так как их связь может осуществляться только через поля, которые распространяются со скоростью света. Спрашивается, не может ли случиться так, что в одной системе координат причина предшествует следствию, а в другой наоборот? Ясно, что такая ситуация не может быть допущена в теории, которая признает объективную роль причинно-следственной связи в мире. Чтобы причинно-след­ствен­ная связь имела объективный характер и не зависела от системы координат, в которой она рассматривается, необходимо, чтобы никакие материальные воздействия не могли передаваться со скоростью, большей скорости света.

Для доказательства рассмотрим два события в покоящейся системе координат. Пусть событие в точке x₁, происшедшее в момент t₁ будет причиной события в точке x₂>x₁, происшедшего в момент t₂>t₁. Скорость передачи “влияния” от точки x₁ к x₂ обозначим u. По определению скорости имеем . В движущейся системе координат эти события происходят в точках x'₁ и x'₂ в моменты t'₁ и t'₂. Тогда

.

Если , то в движущейся системе следствие наступает раньше причины. Но это невозможно, поэтому . Так как V всегда меньше c, то u'£c. Таким образом, передача физического “влияния” из одной точки в другую не может происходить со скоростью, превышающей c. При этом условии причинная связь событий носит абсолютный характер: не существует системы координат, в которой причина и следствие меняются местами.

Таким образом, в теории относительности обнаруживаются уди­вительные связи пространственных и временных характеристик с движением материи. Эти представления являются следствием опытного факта постоянства скорости света, независимости скорости света от движения системы. Как ни странны эти представления, но с ними приходится считаться как с результатом опытных законов.

Лоренцево сокращение длины

Если твердый стержень находится в какой-то системе отсчета, то его длина может быть определена сравнением с масштабным стержнем, покоящемся в той же системе отсчета. Обозначим ее буквой l₀. Величину l₀ можно назвать собственной длиной стержня, поскольку она не зависит от выбора системы отсчета, в которой покоится стержень. Но если стержень движется, то необходимо условиться, что понимать под его длиной в покоящейся системе отсчета.

Длиной движущегося стержня в покоящейся системе отсчета называется расстояние между двумя точками в этой системе, мимо которых концы стержня проходят одновременно. Обозначим ее через l. Для нахождения связи между l и l₀ воспользуемся полученной нами частной формой преобразований Лоренца.

Пусть стержень покоится в системе S' и расположен вдоль оси x'. Тогда разность его концов x' в системе S' и будет собственной длиной l₀. Разность же координат тех же концов x в системе S, взятая в один и тот же момент времени, будет длиной l движущегося стержня. Но из преобразований Лоренца для координаты x при t=const следует

,

а потому

. (2.9)

Таким образом, длина движущегося стержня короче, чем покоящегося. Это явление называется Лоренцевым сокращением длины. При обычных скоростях выражение (2.9) с точностью до ² можно представить в виде . Поэтому относительная величина сокращения длины равна , и для скоростей в несколько десятков километров в секунду она составляет величину меньше 10^–8, то есть пренебрежимо малую. Например, стержень длиной в один метр сократится всего на 10^–6 сантиметра, тогда как при u=0,85с длина стержня сократится в два раза. При скоростях, близких к скорости света, его длина становится совсем малой. В направлении же осей y и z размеры стержня одинаковы во всех системах отсчета.

Визуально изменение формы тел даже при сравнимых со скоростью света скоростях не может быть обнаружено. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, наблюдая визуально или фотографируя какое-либо тело, мы регистрируем импульсы света от разных участков тела, достигшие одновременно сетчатки глаза или фотопластинки. Испускаются же эти импульсы неодновременно. Импульсы от более удаленных участков были испущены раньше, чем от более близких и изображение получается искаженным. Во-вторых, имеет место аберрация света, изменяющая кажущееся направление, из которого лучи приходят в глаз наблюдателя. (Что такое аберрация можно понять из следующего примера. Капли дождя в безветренную погоду падают вертикально. Однако на стекле движущегося поезда они оставляют наклонный след. Это объясняется сложением вертикальной скорости капли с горизонтальной скоростью поезда. Аналогичное явление наблюдается со светом. В результате движения Земли кажущееся направление на звезду отличается от истинного. Это явление и называется аберрацией света. Различают годичную и суточную аберрацию света.) Соответствующий расчет показывает, что эти два обстоятельства полностью компенсируют Лоренцево сокращение, так что тела кажутся не искаженными, а лишь повернутыми.

Рис. 2.3

Реально ли сокращение размеров движущихся тел? Оно реально, поскольку приводит к наблюдаемым физическим ситуациям. Пример: три покоящихся лазера А, В, С одновременно испускают импульсы света, которые регистрируются фотопластинкой D. Между счетчиками и пластинкой перемещается линейка параллельно линии, вдоль которой расположены источники. Если луч света достигает пластинки, то на ней остается след. При этом возможны различные ситуации.

Если длина линейки L<2a (L>a, a – расстояние между источниками), то она может загородить либо один из источников, либо два. Поэтому на фотопластинке можно обнаружить: а) три пятна, когда линейка не перекрывает ни один из источников; б) любое из двух пятен, когда линейка закрывает либо А, либо С, либо В; в) одно пятно – открыт источник А либо С, два других закрыты. Ситуация, при которой были бы закрыты источники А и С, а источник В дал пятно, невозможна.

Если длина линейки L>2a, то возможны следующие комбинации пятен: а) все три пятна, когда линейка находится вне источников; б) два пятна от А, В или от В, С; ситуация, при которой источник В был бы закрыт, а источники А и С открыты, невозможна; в) одно пятно от А или от С, невозможна ситуация, когда источники А и С закрыты, а В дает пятно; г) все источники перекрыты линейкой – на фотопластинке не регистрируется никакой луч. В предыдущем случае более короткой линейки такая ситуация была невозможна.

Будем перемещать линейку L>2a с такой скоростью, чтобы , тогда на фотопластинке будут наблюдаться все те комбинации пятен, которые были рассмотрены для случая короткой линейки. Но не будет фотографии, на которой не было бы ни одного пятна, что характерно для второго случая. На этом основании можно утверждать, что сокращение длины линейки до значения, меньшего 2a, имеет вполне реальное содержание.

Рассмотрим теперь эти явления в системе координат, связанной с движущейся линейкой, имеющей длину L>2a. В этой системе источники света и фотопластинка движутся со скоростью –u. Расстояние между источниками будет , то есть много меньше, чем длина покоящейся линейки. Тем не менее, импульсы света от источников А и С могут миновать линейку и дать отметки на фотопластинке. Это обусловлено относительностью одновременности. Вспышки источников, одновременные в системе координат, в которой они покоятся, будут неодновременными в системе координат, в которой они движутся. Поэтому вспышка от источника С происходит раньше на время . За это время источники пройдут путь t'u и, следовательно, вторая вспышка произойдет после первой на расстоянии

.

При скорости, когда , импульс света от А также минует линейку L и даст пятно на фотопластинке. Таким образом, в системе координат, связанной с движущейся линейкой, для объяснения рассмотренных явлений необходимо учесть как сокращение размеров движущихся тел, так и относительность одновременности.

Формула (2.9) показывает, какую длину тела мы получим в результате измерения, если тело движется мимо нас со скоростью u. Другое дело, как выглядит такое тело. Предположим, например, что вы движетесь справа налево мимо высокого здания со скоростью u=0,85c. Это эквивалентно тому, что здание проносится мимо вас слева направо со скоростью u. Здание будет казаться более узким (но столь же высоким), но, даже находясь перед его фасадом, вы увидите и его боковую сторону. Это показано на рис.2.4,б (на рисунке а показано то же здание, каким вы увидели бы его с фасада, стоя перед ним). То, что вы видите боковую сторону здания, не является в действительности релятивистским эффектом, а обусловлено конечной скоростью света. Чтобы понять, почему так происходит, обратимся к рис.2.4,в, на котором изображен вид на здание сверху. В момент, который запечатлен на рисунке, наблюдатель О находится перед фасадом здания. Свет из точек А и В достигает наблюдателя О одновременно. Если бы здание покоилось относительно наблюдателя, то свет из точки С никогда бы не достиг О. Но здание, двигаясь мимо наблюдателя с очень высокой скоростью, перестает закрывать то, что “находится сзади”, и свет из точки С доходит до наблюдателя О. В момент, изображенный на рис.2.4,в, свет, отвечающий более раннему положению точки С (точка С'), может достичь О, так как здание успеет переместиться.

Рис. 2.4

Чтобы достичь наблюдателя О одновременно со светом из точек А и В, свет из точки С должен быть испущен раньше, так как он проходит большее расстояние. Поэтому до наблюдателя О одновременно со светом из точек А и В доходит свет из точки С'. Именно поэтому наблюдатель может обозревать фасад и боковую сторону здания одновременно, даже в тот момент, когда он находился против фасада. Было бы неверно думать, будто здание на рис.2.4,б выглядит повернутым. Это не так, поскольку если бы здание выглядело повернутым, то ребро А казалось бы короче ребра В. В действительности же, если наблюдатель находится прямо перед фасадом здания, то оба ребра А и В наблюдатель увидит одинаковой длины (или, точнее, одинаковой “высоты”). Здание кажется наблюдателю несколько сжатым по фасаду, но зато, как мы уже говорили, наблюдателю видна его боковая сторона.

Итак, в разных ИСО длина одного и того же стержня оказывается различной. Иными словами, длина – понятие относительное, имеющее смысл только по отношению к той или иной системе отсчета.

Необходимо отметить, что Лоренцево сокращение должно быть взаимным. Это значит, что если мы будем сравнивать два движущихся относительно друг друга стержня, собственная длина которых одинакова, то с “точки зрения” каждого из этих стержней длина другого стержня будет короче, причем в одинаковом отношении. Если бы это было не так, то имелась бы возможность отличить ИСО, связанные с этими стержнями, что, однако, противоречит принципу относительности. Это говорит о том, что Лоренцево сокращение является чисто кинематическим эффектом – в теле не возникает каких-либо напряжений, вызывающих деформацию.