- •Содержание
- •Введение
- •Лекция 1. Вводные понятия математического программирования
- •Лекция 2. Геометрическая интерпретация решения задач линейного программирования
- •Лекция 3. Практическая реализация графического метода решения задач линейного программирования
- •Лекция 4. Теоретическое обоснование симплекс- метода
- •Лекция 5. Симплекс-метод решения задач линейной оптимизации
- •Лекция 7. Экономико-математический анализ решения задач линейного программирования
- •Лекция 9. Транспортная задача
- •Лекция 10. Нахождение оптимального решения транспортной задачи
- •1. Для решения транспортной задачи удобно использовать метод потенциалов.
- •Лекция 12. Метод множителей лагранжа
- •Заключение
- •Приложение а. Инвестиционные задачи и нелинейное программирование
- •Лекция 14. Оптимальный портфель ценных бумаг
- •Лекция 15. Практические способы формирования оптимальных фондовых портфелей
- •Приложение б. Теория игр и задачи линейного про- граммирования Лекция 16. Экономические риски и теория игр
- •Литература
Лекция 12. Метод множителей лагранжа
План
1. Метод множителей Лагранжа для задач нелинейного программирования двух переменных.
2. Практическая реализация метода множителей Лагранжа.
1. Рассмотрим задачу НЛП двух переменных
x1 и
x2 , все ограничения которой
являются равенствами и на знак неизвестных не налагается никаких условий,
т.е.
Z = F ( x1, x2 ) → max (min) ; (1)
⎪
⎪ g2 ( x1, x2 ) = b2 ,
⎨
⎪......................
⎪⎩ gm ( x1, x2 ) = bm .
(2)
Модель (1)-(2) называют математической моделью классической зада- чи нелинейной оптимизации. Такие задачи решаются методом множителей Лагранжа. Алгоритм метода следующий.
1) Составить функцию Лагранжа
L( x1, x2 , λ1, λ2 ,..., λm ) = F ( x1, x2 ) + λ1[b1 − g1 ( x1, x2 )] + λ2[b2 − g2 ( x1, x2 )] + ... +
+λm [bm − gm ( x1, x2 )] , (3)
где
λ1 , λ2 ,..., λm
– множители Лагранжа.
Смысл множителей Лагранжа такой же, как и двойственных оценок в
задачах линейного программирования. Т.е. λi
( i = 1, m ) показывают, на сколько
единиц изменится значение целевой функции в оптимальном решении, если
правая часть i -го ограничения bi
увеличится на одну единицу.
2) Найти частные производные первого порядка функции Лагранжа (3) по
всем неизвестным:
∂L , ∂L , ∂L , ∂L
,..., ∂L .
∂x1
∂x2
∂λ1
∂λ2
∂λm
3) Согласно необходимому условию экстремума, приравнять частные производные к нулю:
⎧ ∂L
1
⎪
⎪ ∂L
⎪ ∂x
⎪ 2
∂λ
⎪
⎨ 1
⎪ ∂L
⎪
⎪ ∂λ2
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
⎪............
⎪
∂λ
⎪
⎩ m
= 0.
Решить полученную систему уравнений и определить стационарные точки
функции Лагранжа:
Q ( x (1) , x (1) , λ (1) , λ (1) ,..., λ
(1) ) ,
(2) ( 2) (2) ( 2) (2)
1 1 2 1 2 m
( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k )
Q2 ( x1
, x2
, λ1
, λ2
,..., λm
) ,…, Qk ( x1
, x2
, λ1
, λ2
,..., λm ) .
4) Для применения достаточных условий экстремума, следует найти ча-
стные производные второго порядка функции Лагранжа по переменным
x1 и
x2 :
∂ 2 L
A = ,
1
∂ 2 L
B = ,
∂x1∂x2
∂ 2 L A B
C = . Составить определитель ∆ =
2
и вычис-
лить его значение в стационарных точках Q1 , Q2 ,…, Qk .
( j ) ( j ) ( j ) ( j ) ( j )
Если
∆(Q j ) > 0
( j = 1, k ), то точка
Q j ( x1
, x2
, λ1
, λ2
,..., λm
) является
точкой экстремума, причём при
A(Q j ) > 0
будет минимум, а при
A(Q j ) < 0 –
1
2
X * = ( x ( j ) ; x ( j ) )
и экс-
тремальное значение целевой функции исходной задачи (1)-(2), т.е.
Zmin(max) = Z ( X *) .
Если
∆(Q j ) < 0
( j = 1, k ), то экстремума в точке Q j
нет. Такая ситуация
может иметь место для всех точек Q j
( j = 1, k ). Тогда в ответе следует указать,
что задача нелинейного программирования решений не имеет.
Если же
∆(Q j ) = 0
( j = 1, k ), то экстремум в точке Q j
может существо-
вать, а может и не существовать. Такая ситуация может иметь место для всех
точек Q j
( j = 1, k ). Тогда в ответе следует указать, что вопрос о наличии опти-
мального плана остаётся открытым и задача требует дополнительных исследо-
ваний. Такие исследования трудоёмки и выходят за рамки учебной программы.
2. Продемонстрируем метод множителей Лагранжа на конкретном примере.
Пример 1. Решить задачу НЛП:
2 2
Z = x1
+ x2
+ 6 x2 − 5 → min ,
⎩ x1
2
⎨ + x = 4.
Решение. Это классическая задача нелинейной оптимизации, поэтому
применим метод множителей Лагранжа.
1) Составим функцию Лагранжа:
2 2
L( x1, x2 , λ1, λ2 ) = x1
+ x2
+ 6 x2 − 5 + λ1[3 − x1 ⋅ x2 ] + λ2[4 − x1 − x2 ] .
2) Найдём частные производные:
∂L ∂L ∂L ∂L
∂x1
= 2 x1 − λ1 ⋅ x2 − λ2 ,
∂x2
= 2x2 + 6 − λ1 ⋅ x1 − λ2 ,
∂λ1
= 3 − x1 ⋅ x2 ,
∂λ2
= 4 − x1 − x2 .
3) Проверяем необходимое условие экстремума:
⎪
⎪2x2 + 6 − λ1 ⋅ x1 − λ2 = 0,
⎧2x1 − λ1 ⋅ x2 − λ2 = 0,
⎪2x2 − λ1 ⋅ x1 − λ2 = −6,
⎨ ⎨ (1) (1)
⎪
⎪1) x1
= 3, x2
= 1,
4 − x1 − x2 = 0.
⎪2) x (2) = 1, x ( 2) = 3,
⎩ 1 2
⎧1) x (1) = 3, x (1) = 1, λ (1) = 1, λ (1) = 5,
⎪ 1 2 1 2
⎨
⎪2) x (2) = 1, x ( 2) = 3, λ (2) = −5, λ ( 2) = 17.
⎩ 1 2 1 2
Получены стационарные точки Q1 (3;1;1;5)
и Q2 (1;3; −5;17) .
4) Проверяем выполнение достаточных условий экстремума. Найдём
∂ 2 L
A =
1
= 2 ,
∂ 2 L
B =
1
= −λ1 и
∂ 2 L
C =
2
= 2 . Получим определитель
A B
∆ = =
B C
2
−λ1
−λ1
2
= 4 − λ 2 .
Т.к.
∆(Q1 ) = 3 > 0 и
A(Q1 ) = 2 > 0 , то точка
Q1 (3;1;1;5)
является точкой ми-
нимума функции Лагранжа. Значит,
X * = (3;1)
и Zmin = 11.
Т.к.
∆(Q2 ) = −21 < 0 , то точка
Q2 (1;3; −5;17)
не является точкой экстрему-
ма функции Лагранжа.
Ответ:
X * = (3;1) ,
Zmin = 11.
Пример 2. Решить задачу НЛП:
4 4 2 2
Z = x1
+ x2
− 2x1
+ 4x1x2 − 2x2
→ min ,
x1 + x2 = 0 .
Решение. Это классическая задача нелинейной оптимизации, поэтому
применим метод множителей Лагранжа.
1) Составим функцию Лагранжа:
1 2
L( x1, x2 , λ1 ) = x1
+ x2
− 2x1
+ 4x1x2 − 2 x2
+ λ1[− x1 − x2 ] .
2) Найдём частные производные:
∂L = 4x 3 − 4x
+ 4x
− λ ,
∂L = 4x 3 + 4x
− 4x
− λ ,
∂L = − x
− x .
∂x1
1 1 2 1
∂x2
2 1 2 1
∂λ1
3) Проверяем необходимое условие экстремума:
⎧4x 3 − 4 x
+ 4x
− λ = 0,
⎧−4x 3 + 4x
+ 4x
− λ = 0,
⎧−8x 3 + 16x
= 0,
1 1 2 1
⎪
2 2 2 1 2 2
⎪ ⎪
4x 3 + 4x
− 4x
− λ = 0,
4x 3 − 4 x
− 4x
− λ = 0,
4x 3 − 8x
− λ = 0,
⎨ 2 1 2 1
⎨ 2 2 2 1
⎨ 2 2 1
⎪− x − x = 0.
⎪⎩ 1 2
⎪ x = − x .
⎪⎩ 1 2
⎪ x = − x .
⎪⎩ 1 2
⎧−8x
( x 2 − 2) = 0,
⎧ x (1) = 0, x ( 2) = −
2 , x (3) = 2,
2 2
⎪4x 3 − 8x
− λ = 0,
2 2 2
⎪λ (1) = 0, λ ( 2) = 0, λ (3) = 0, .
⎨ 2 2 1
⎨ 1 1 1
1 2
⎪ x (1) = 0, x ( 2) =
2, x (3) = − 2.
1 1 1
2
1 2 1 2
2; 0)
и Q3 (−
2; 2; 0) .
2
A = ∂
L = 12 x 2 − 4 , B =
∂ 2 L
= 4 и C =
∂ 2 L
= 12 x 2 − 4 . Получим определитель
1
∂x1∂x2
∂x 2 2
1
∆ = =
B C
12 x 2 − 4 4
2
= 144x 2 x 2 − 48x 2 − 48x 2 .
Т.к.
∆(Q1 ) = 0 , то вопрос о наличии экстремума в точке
Q1 (0; 0;0)
остаётся
открытым и нужны дополнительные исследования.
Т.к.
∆(Q2 ) = 384 и
A(Q2 ) = 20 > 0 , то точка
Q2 ( 2; −
2; 0)
является точ-
кой минимума функции Лагранжа. Значит,
X1* = ( 2; −
2 ) и
Zmin = −8 .
Т.к.
∆(Q3 ) = 384 и
A(Q3 ) = 20 > 0 , то точка
Q3 (−
2; 2; 0)
является точкой
минимума функции Лагранжа. Значит,
X 2 * = (−
2; 2 ) и
Zmin = −8 .
Ответ:
X1* = ( 2; −
2 ) ,
X 2 * = (−
2; 2 ) ,
Zmin = −8 .