- •Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1 Классификация событий. Действия над событиями
- •1.2. Относительная частота
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Элементы комбинаторики
- •Примеры решения задач
- •Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1 Сложение и умножение вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло:
- •Свойства:
- •1. Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
- •2.2 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Примеры решения задач
- •Глава 3. Повторные испытания
- •3.1 Формула Бернулли
- •3.2 Предельные теоремы Лапласа и Пуассона
- •Примеры решения задач
- •Глава 4. Дискретные случайные величины
- •4.1. Дискретные случайные величины.
- •4.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия случайной величины.
- •3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
- •4. Моменты случайных величин.
- •5. Характеристики формы распределения.
- •4.3. Числовые характеристики меры связи случайных величин.
- •1. Ковариация.
- •2. Корреляция.
- •4.4. Распределения дискретных случайных величин.
- •1. Равномерное распределение.
- •2. Геометрическое распределение.
- •4. Биномиальное распределение.
- •5. Распределение Пуассона.
- •Примеры решения задач
- •Глава 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения случайной величины
- •5.2. Плотность распределения вероятностей.
- •Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей.
- •5.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Примеры решения задач
- •Глава 6. Распределения непрерывных случайных величин
- •6.1. Равномерное распределение.
- •6.2. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •6.3. Нормальное распределение
- •Примеры решения задач
Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей
2.1 Сложение и умножение вероятностей
Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
. (2.1)
Свойства:
1. Вероятность суммы n несовместных событий , равна сумме вероятностей этих событий:
2. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице:
. (2.2)
3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
. (2.3)
Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло:
, . (2.4)
Вероятность события при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события и обозначается .
Свойства:
1. Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
.
В частности, для трех событий получаем
.
2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
. (2.5)
3. Если события независимы в совокупности, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:
В частности, для трех независимых событий получаем
.
4. Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :
(2.6)
Если независимые события имеют одинаковую вероятность, равную , то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
. (2.7)
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
. (2.8)
2.2 Формула полной вероятности. Формула Байеса
Пусть событие может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. События называют гипотезами. Вероятность события равна сумме произведений вероятности каждой из гипотез, образующих полную группу, на соответствующую условную вероятность события при этой гипотезе, т.е.
. (2.9)
Эту формулу называют формулой полной вероятности.
Пусть имеется полная группа несовместных гипотез , вероятности которых известны до опыта (априорные вероятности). Произведен опыт (испытание), в результате которого появилось событие . Спрашивается, как изменились, в связи с тем, что событие уже наступило, вероятности гипотез. Согласно формулам Байеса, условные вероятности гипотез относительно события (апостериорные вероятности) определяются формулами
(2.10)
или ,
где –формула полной вероятности.
Примеры решения задач
2.1. В группе студентов 4 отличника, 9 студентов учатся на «хорошо» и «отлично» и 12 студентов учатся на «хорошо» и «удовлетворительно». Из группы берут 3 студентов последовательно без возвращения. Какова вероятность того, что все три студента – отличники?
Решение: Обозначим события: событие – «все три выбранных студента – отличники». Данное событие сложное, оно состоит из трех событий: взяли первого студента отличника, и второго выбрали – отличника, и третьего студента выбрали тоже отличника. Пусть событие В – «выбрали отличника». Тогда событие , т.е. имеем произведение событий. События зависимы, тогда:
Вероятность выбора первого студента отличника . Вероятность второго студента тоже отличника, вычисленная в предположении, что первый студент был отличник . Вероятность выбора третьего студента отличника, если два первых были отличники, равна . Тогда находим искомую вероятность:
2.2. Студент в летнюю сессию должен сдать три экзамена. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; вероятность, что сдаст второй – 0,8; третий – 0,7. Найти вероятность того, что студент сдаст: а) все три экзамена; б) только первый экзамен; в) только один экзамен; г) хотя бы два экзамена.
Решение: Обозначим события: событие – «студент сдаст первый экзамен»; событие – «студент сдаст второй экзамен»;
событие – «студент сдаст третий экзамен». События независимы.
а) Пусть событие – «студент сдаст все три экзамена», т.е. . События независимы, поэтому получаем
.
б) Пусть событие – «студент сдаст только первый экзамен». Событие произойдет, если произойдет совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст первый экзамен и не сдаст второй и третий экзамены, т.е. . Тогда
.
в) Пусть событие – «студент сдаст только один экзамен из трех». Событие произойдет, если студент сдаст только первый экзамен и не сдаст второй и третий; или только второй экзамен и не сдаст первый и третий; или только третий экзамен и не сдаст первый и второй экзамены, т.е.
г) Для события – «студент сдаст хотя бы два экзамена», противоположным является событие – «студент сдаст не более одного экзамена». Получаем . Событие произойдет, если студент не сдаст ни одного экзамена из трех (событие ) или сдаст только один экзамен (событие ), т.е. . Найдем вероятность события :
Тогда .
Искомая вероятность .
2.3. В магазин поступили телевизоры от трех поставщиков. От первого поставщика 13, от второго 20, от третьего 22 телевизора. Телевизоры, поступающие от первого поставщика, требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второго – в 11%, от третьего – в 7% случаев.
1) Найти вероятность того, что наудачу взятый телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока.
2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор.
Решение.
1) Событие – наудачу взятый телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока. От чего это зависит? Это зависит, от какого поставщика данный телевизор. Возможны гипотезы: – телевизор поступил в магазин от первого поставщика; – от второго; – от третьего поставщика.
Найдем вероятности данных гипотез:
; ; .
Условные вероятности события относительно каждой из гипотез заданы в условии задачи: ; ; .
Воспользовавшись формулой полной вероятности, получаем
2) Произошло событие – телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Для нахождения вероятностей гипотез воспользуемся формулой Байеса:
Таким образом, наиболее вероятно, что телевизор поступил от второго поставщика.