- •Введение
- •Глава 1. Моделирование случайных величин
- •1.1.1. Понятия модели и моделирования
- •1.1.2. Основной цикл познания при моделировании
- •1.1.3. Математическое моделирование
- •1.1.3.1. Математическое описание сложных систем
- •1.1.3.2. Методы математического моделирования
- •1.1.3.3. Имитационное моделирование
- •1.1.3.4. Принципы построения алгоритмов имитационного моделирования
- •1.1.3.5. Характерные особенности имитационного моделирования на эвм
- •1.1.3.6. Статистическое моделирование
- •1.1.3.7. Понятие о вероятностном физическом моделировании
- •1.1.3.8. Достоинства метода имитационного моделирования на эвм
- •1.1.3.9. Недостатки метода имитационного моделирования
- •1.2. Структура имитационной модели. Технологии построения.
- •1.2.1. Этапы разработки имитационной модели
- •1.2.2. Элементы и структура имитационной модели
- •1.2.3. Технология построения и функционирования.
- •1.3. Генерирование равномерно распределенных на интервале [0,1] случайных чисел. Проверка качества генераторов случайных чисел
- •1.3.1. О приближенных случайных числах
- •Физические датчики случайных величин
- •О проверке физических датчиков случайных чисел
- •Метод псевдослучайных чисел
- •Алгоритмы получения псевдослучаных чисел
- •Алгоритмы порядка r
- •Метод возмущений
- •Генератор Лемера
- •Проверка качества формируемой последовательности псевдослучайных чисел
- •1.4. Методы генерирования случайных событий, дискретных и непрерывных случайных величин, многомерных случайных величин, усеченных случайных величин.
- •1.4.1. Моделирование дискретных случайных величин
- •1.4.2. Моделирование семейства биномиальных распределений
- •1.4.3. Моделирование непрерывных случайных величин Метод обратных функций
- •Метод суперпозиций
- •Моделирование многомерных случайных величин
- •Моделирование n-мерной точки с зависимыми координатами
- •Метод отбора
- •Применение метода отбора. Моделирование усеченных распределений
- •Метод Неймана
- •Выбор равномерно распределенных точек в сложных областях
- •1.5. Методы генерирования наиболее часто встречающихся на практике распределений.
- •1.5.1. Моделирование распределения Эрланга
- •1.5.2. Приближенное моделирование нормально распределенных случайных величин
- •1.5.3. Методы генерирования цепей и процессов Маркова.
- •1.5.4. Метод генерирования процессов Маркова с дискретным множеством состояний.
- •1.5.5. Метод генерирования процессов Маркова с дискретно-непрерывным множеством состояний.
- •Глава 2. Моделирование информационных систем железнодорожного транспорта
- •2.1. Формирование реализаций случайных потоков
- •Однородных событий.
- •2.1.1. Входящие потоки
- •2.1.2. Формирование произвольных случайных потоков однородных событий
- •2.2. Введение марковских процессов при моделировании систем массового обслуживания при произвольных распределениях основных случайных величин.
- •2.3. Моделирование однолинейной системы массового обслуживания
- •2.3.1. Распределение длины очереди
- •2.3.2. Время отклика и время ожидания
- •2.4. Моделирование многолинейной системы массового обслуживания
- •2.4.1. Моделирование многолинейной системы массового обслуживания для расчете времени ожидания
- •2.4.2. Моделирование многолинейной системы массового обслуживания для расчета распределения числа требований в системе.
- •2.5. Моделирование сетей массового обслуживания,
- •Глава 3. Оценка точности результатов моделирования
- •3.1. Постановка задачи по оценке точности результатов моделирования. Характеристики точности результатов моделирования Оценка точности результатов аналитического моделирования
- •3.1.1. Постановка задачи по оценке точности результатов
- •3.1.2. Классификация входных случайных величин
- •3.1.3. Смещение и дисперсия оценки выходного показателя
- •3.2. Оценка точности результатов имитационного
- •3.2.1. Оценка смещения
- •3.2.2. Оценка составляющей дисперсии за счет неточности входных параметров
- •3.2.3. Оценка частных производных от показателя эффективности сложной системы на ее математической модели
- •3.3. Оценка точности результатов статистического
- •Глава 4. Разработка математической модели функционирования двухпутного железнодорожного участка для определения минимального расчетного межпоездного интервала
- •4.1. Постановка задачи
- •4.1.1. Актуальность разработки модели
- •4.1.2. Постановка задачи по разработке модели.
- •4.2.2. Кусочно-непрерывный марковский процесс, описывающий функционирование двухпутного железнодорожного участка
- •4.3. Алгоритм смены состояний кусочно-непрерывного процесса, функционирования железнодорожного участка во времени
- •4.4. Уравнения движения поезда
- •4.5. Программная реализация алгоритма математической модели функционирования двухпутного ж.Д. Участка
- •4.6. Оценка точности линеаризованных решений дифференциальных уравнений движения поезда
- •4.7. Результаты моделирования
- •4.7.1. Описание объекта моделирования и исходные данные
- •4.8. Результаты моделирования для обычных грузовых поездов
- •4.9. Результаты моделирования для поездов повышенной длины и массы
- •4.10. Результаты расчета точности решений линеаризованных уравнений движения поезда
- •Глава 5. Задачи по дисциплине «Моделирование систем» для студентов 4 курса по кафедре «асу» по направлениям
- •Оглавление
- •Глава 1
- •Глава 2. Моделирование информационных систем
- •2.3. Моделирование однолинейной системы массового обслуживания………………………………………………………………...52
- •2.4. Моделирование многолинейной системы массового обслуживания..55
- •Глава 3. Оценка точности результатов моделирования…………………...63
- •Глава 4. Разработка математической модели функционирования
- •Глава 5. Задачи по дисциплине «Моделирование систем»
2.5. Моделирование сетей массового обслуживания,
Рассмотрим сеть массового обслуживания, состоящую из многолинейных систем (узлов) с ожиданием. В - ом узле имеется обслуживающих приборов, . Входящий поток является рекуррентным. В начальный момент сеть свободна. Требования поступают в моменты , величины = независимы в совокупности и обладают одним и тем же законом распределения . При поступлении требования в сеть оно с вероятностью направляется на обслуживание в - ый узел, =1. Длительности обслуживания требований в - ом узле - независимые в совокупности случайные величины с распределением . После окончания обслуживания требования - ом узле оно с вероятностью направляется на обслуживание в - ый узел и с вероятностью покидает сеть, = 1. Предполагаем, что последовательности ( ) и ( ), , взаимно независимы. Обозначим через число требований в - ом узле в момент . Необходимо найти нестационарное распределение вектора = ( , …, ), т.е. = , …, = = .
Пусть в момент =0 = (0,…,0). С поступлением первого требования в момент становится ненулевым вектором. Обозначим через первый момент времени, когда снова станет нулевым вектором. Интервал ( , ) также называется периодом занятости сети, периоды времени, когда = (0,…,0), являются свободными периодами. За свободным периодом следует период занятости, затем снова свободный период, затем период занятости и т.д.
Построим моделирующий алгоритм на периоде занятости. Заметим, что значения векторного процесса являются целочисленными векторами и они меняются скачками. А именно, в момент поступления в сеть требования входящего потока к какой либо компоненте вектора прибавляется 1, в момент ухода из сети обслужившегося требования из какой либо компоненте вектора вычитается 1.
Начинается период занятости с периода увеличения вектора , к = (0,…,0) , например, к - ой компоненте прибавляется 1. Реализуется время обслуживания . Реализуются также случайные величины . Обозначим вектор (0,…,0, ,0,…, 0) через . Если , то в счетчик длительностей интервалов записывается вектор ( = (0,…, 0) + , ), где - длина интервала, на котором = 1, и ) = . На этом период увеличения заканчивается.
Однако далее идет уже более сложный процесс моделирования. Обозначим через моменты времени, когда векторный процесс претерпевает скачки. Он претерпевает скачки только в моменты поступления требования извне и в моменты, когда заканчивается обслуживания требования в каком либо узле.
Осуществим моделирования перехода состояния векторного процесса из момента времени в . Для этого введем векторный марковский процесс = ( , , где - время с момента до момента поступления следующего требования, - время с момента до момента окончания обслуживания требования на - ом канале в - ом узле, которое обслуживалось на нем в момент времени , . Величина = 0, если - ый канал в - ом узле в момент времени был свободен.
Для моделирования поведения процесса отводим + 1 + ячеек для хранения в них значений компонент процесса , т.е. , . Изменения процесса рассматриваем только в моменты времени .
Пусть в момент времени имеем
= ( , . .
Опишем процедуру перехода к состоянию процесса в момент времени , т.е. процедуру нахождения значения процесса в момент времени , а именно,
= ( , .
Имеет место следующий алгоритм перехода к состоянию процесса в момент времени .
Находим ( . .
Если ( . = то модельное время увеличивается на величину в ячейку для заносится величина интервала до момента поступления следующего требования , с вероятностями , , разыгрывается номер узла, куда направляется следующее поступившее требование. Пусть, для примера это будет узел . Тогда в ячейку для заносится величина +1, величины ,…, уменьшаются на величину . Если , то в канал с номером +1 заносится длительность обслуживания для нового требования, которое сразу начинает обслуживаться. Таким образом,
= ( ,
будет равен = ( = + , , . Кроме того, в - ом узле в канал с номером +1 заносится длительность обслуживания для нового требования. В счетчик длительностей интервалов заносится пара ( ,
3. Если ( . = , то модельное время увеличивается на величину в ячейку для заносится величина - в ячейку для заносится величина -1, величины ,…, уменьшаются на величину в ячейку для заносится величина времени обслуживания следующего требования, которое является первым требованием в очереди, если , и 0 в противном случае. С вероятностями , , разыгрывается номер узла, куда направляется обслужившееся в - ом узле требование и с вероятностью оно покидает сеть, = 1. Таким образом,
= ( ,
будет равен = ( = - + ), - …, …, )+0 (1- )), ) )). В счетчик длительностей интервалов заносится пара ( , .
4. В счетчике числа скачков прибавляется 1 и по циклу переходим к п. 1.
Кончается период занятости уменьшением до (0,...,0).
Каждый период занятости можно моделировать автономно, т.к. развитие процесса на нем не зависит от того, что происходило до момента начала этого периода занятости. Момент его начала есть точка регенерации процесса . Всю статистику необходимо засылать в счетчик длительностей интервалов. Свободные периоды после каждого периода занятости свойством регенерации не обладают, их также надо засылать в счетчик длительностей интервалов.