- •664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83
- •1.Основные определения вариационного исчисления
- •2.Необходимые условия экстремума функционала
- •3.Вариационные задачи с подвижными концами
- •4.Ломаные экстремали
- •5.Функционалы, зависящие от нескольких функций
- •6.Задачи с функционалом, содержащим производные высших порядков
- •7.Условный экстремум
- •8.Каноническая форма уравнений эйлера
- •9.Оптимальное управление
- •10.Дифференциальные игры
- •11.Методы решения. Прямые методы
- •12.Методы решения. Метод множителей лагранжа
- •13.Методы решения. Принцип максимума
- •14.Методы решения. Динамическое программирование
12.Методы решения. Метод множителей лагранжа
Вариационные задачи на условный экстремум можно решать с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа, применение которого сводит исходную задачу к задаче на безусловный экстремум.
Пусть, например, требуется исследовать на экстремум функционал
при наличии условий
Вместо исходной задачи (12.12), (12.13) составляют исходный функционал
,
где множители Лагранжа, который исследуется на безусловный экстремум. Обозначив
,
составляют систему уравнений Эйлера для нового функционала (12.14)
и дополняют систему (12.15) уравнениями связей (12.13).
Число уравнений (12.13) и (12.15), равное , достаточно для определения неизвестных функций и , а граничные условия и , которые не должны противоречить уравнениям связей, дают возможность определить произвольных постоянных в общем решении системы уравнений Эйлера.
Метод множителей Лагранжа применим и в тех случаях, когда уравнения связей являются дифференциальными уравнениями
.
Проиллюстрируем применение метода множителей Лагранжа в частном случае минимизации функционала
при условии
,
Необходимое условие функционала (12.17) определяется равенством нулю его первой вариации
.
Наличие условия (12.17) определяет зависимость между и . Найдём вариацию (12.17), тогда
.
Умножим (12.19) на множитель Лагранжа и проинтегрируем выражение (12.19)
.
Сложим (12.18) и (12.20):
.
Выберем множитель Лагранжа таким образом, чтобы подынтегральное выражение в первых скобках (12.21) было равно нулю. Из этого следует, что произвольной вариации подынтегральное выражение во вторых (12.21) также должно равняться нулю. Тогда имеем уравнения Эйлера – Лагранжа
, ,
где , которые решаются совместно с условиями (12.17).
Рассмотрим пример применения метода множителей Лагранжа. Задано дифференциальное уравнение системы , которое описывает поворот космического аппарата в свободном пространстве под действием управления . Требуется минимизировать функционал
так, чтобы
, ,
, .
Введём обозначение . Тогда дифференциальное уравнение системы примет вид
,
.
Если применить метод множителей Лагранжа, рассматривая в качестве переменной , то задача сводится к минимизации функционала
.
Уравнения Эйлера-Лагранжа для данного примера имеют вид , , .
Решение уравнения Эйлера-Лагранжа совместно с дифференциальными уравнениями системы и с учётом заданных граничных условий определяет оптимальное управление и оптимальные траектории системы в форме
;
;
.
Методом множителей Лагранжа решаются задачи на условный экстремум в форме Лагранжа, Майера, Больца и изопериметрические задачи. В качестве примера рассмотрим применение метода множителей Лагранжа в изопериметрической задаче. Требуется найти экстремум функционала
при условии, что другой функционал
сохраняет заданное значение .
Сведём изопериметрическую задачу к общей задаче Лагранжа. Введя обозначение
,
получим
.
Теперь требуется найти функции и , доставляющие экстремум функционалу (12.22) при условии (12.23). Составляем новый функционал
,
где множитель Лагранжа.
Уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала (12.24) имеют вид
,
,
где . Из второго уравнения следует
или
.
В изопериметрической задаче множитель Лагранжа является постоянным числом.
Р ешение изопериметрической задачи методом множителей Лагранжа проиллюстрируем на следующем примере. Требуется найти кривую заданной длины , которая соединяет точки и и которая ограничивает совместно с отрезком наибольшую площадь (рис. 12.1). Выберем систему прямоугольных координат таким образом, чтобы ось абсцисс проходила через точки и . Тогда площадь, ограниченная искомой кривой , определяется функционалом
.
Необходимо найти функцию , доставляющую максимум функционалу (12.25) при условии
и
.
Будем считать, что
.
Введём множитель Лагранжа и составим новый функционал
.
Первый интеграл уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала (12.26) имеет вид
,
где
; постоянная интегрирования.
Из (12.27) следует
,
откуда
.
Уравнение (12.28) представим в виде
.
Интегрирование последнего уравнения даёт в качестве решения уравнение окружности радиуса
.
Постоянные и множитель Лагранжа определяются из условий прохождения окружности через точки и из условия равенства длины окружности между и . Наибольшая площадь ограничивается прямой и частью окружности радиуса , проходящей через точки и .