Метод нахождения интервала сходимости степенного ряда

1) Дан , фиксируем х, получаем числовой ряд, и применем к ряду из модулей (для знакоположительности) признак Даламбера.

2) По признаку Даламбера вычисляем

- чтобы ряд сходился по признаку Даламбера.

3) Рассмотрим неравенство

<1|:

- интервал сходимости.

4) На концах интервала сходимости, в точках и нужно провести дополнительное исследование.

Замечание: Частным случаем может оказаться, что , тогда интервал сходимости вырождается в точку х=0 точка сходимости. степенной ряд сходится на всей числовой оси и интервал сходимости

Примеры:

1)

2)

3)

4)

Равномерная сходимость степенного ряда

Теорема: равномерно сходится на любом отрезке от целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Доказательство:

Степенной ряд сходится в точке сходится числовой ряд

Возьмем степенной ряд мажорируется на сходящимся числовым рядом по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости степенного ряда, равномерно сходится на

Конец доказательства.

Следствия:

1) Т.к члены степенного ряда являются непрерывными функциями, то внутри интервала сходимости сумма ряда тоже будет тоже непрерывной функцией.

2)Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом лежащем внутри интервала сходимости.

3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать внутри интервала сходимости, т.к интервал сходимости ряда из производных будет точно таким же.

Доказательство:

- степенной ряд.

- ряд из производных.

<1 у ряда из производных тот же интервал сходимости.

Конец доказательства.

Степенной ряд по степеням х-а

Рассмотрим

Сделаем замену: x-a=X

Найдём интервал сходимости полученного ряда, -R<x<R, сделаем обратную замену: -R<x-a<R|+a, a-R<x<a+R

Интервал сходимости полученного ряда имеет центр в точке А.

Пример:

Ряды Тейлора

На I курсе рассматривалась формула Тейлора для функции f(x) n+1 раз дифференцируемая в окрестности точки .

где

Е сли f(x) любое число раз дифференцируема в окрестности точки переходя к пределу в формуле Тейлора получим:

ряд стоящий в правой части равенства называется рядом Тейлора для функции f(x) по степеням , а сама формула называется разложением функции f(x) в ряд Тейлора.

Ф ормально ряд Тейлора может быть получен для любой функции, но сходится к этой функции он будет только тогда, когда

Если этот предел , то ряд либо расходится, либо сходится к совсем другой функции.

Единственность разложения функции в ряд Тейлора

Теорема: Если функция f(x) разлагается в степенной ряд по степеням , то это обязательно ряд Тейлора.

Доказательство:

Пусть функция разлагается в степенной ряд вида:

Найдём коэффициенты степенного ряда, Подставим

Продифференцируем 1 раз

Подставим

Продифференцируем 2 раз

Подставим

Продифференцируем 3 раз

Подставим

Аналогично покажем

Коэффициенты степенного ряда совпадают с коэффициентами рядами Тейлора.

Конец доказательства.