Краткие выводы

• Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.     

• Момент инерции тела относительно оси вращения – это физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек тела на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:     

• Момент инерции тела Jz относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:       

• При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:          

• Из сравнения формул  и  следует, что момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.     

• Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии и определяется выражением  где Mz – момент сил относительно оси вращения z.     

• Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид:     

     где Lz – момент импульса твердого тела относительно оси z.     

• В замкнутой механической системе момент внешних сил относительно неподвижной оси Mz=0 и , откуда Lz=const – закон сохранения момента импульса. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.    

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что называется моментом инерции тела? Какова роль момента инерции во вращательном движении?

2. Сформулируйте теорему Штейнера. От чего зависит момент инерции тела?

3. Что называется моментом силы относительно неподвижной точки? Относительно неподвижной оси? Как определяется направление момента силы?

4. Что такое момент импульса твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

5. Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Как определяется работа при вращении тела?

6. Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

7. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он выполняется?

8. Сопоставьте основные величины и уравнения динамики поступательного и вращательного движений.       

Динамика вращательного движения Задачи для самостоятельного решения

1. Два маленьких шарика массой m = 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной L = 20 см. Определить момент инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс.

2. Тонкий однородный стержень длиной L = 50 см и массой m = 400 г. вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с², около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент.

3. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m₁ = 100 г и m₂ = 110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г ? Трение при вращении блока ничтожно мало.

4. Шар массой m =10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид:  = А + Bt², где В = 4 рад/с². Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил М в момент времени t = 2 с.

5. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу m = 2кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью = 5 м/с. Найти кинетические энергии W₁ и W₂; этих тел.

6. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определить, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра.

7. Полый тонкостенный цилиндр массой 0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену 1,4 м/с, после удара 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

8. К ободу однородного сплошного диска массой 10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила 30 Н. Определить кинетическую энергию через 4 с после начала действия силы.

9. Якорь мотора вращается с частотой v = 1500 мин^-1. Определить вращающий момент М, если мотор развивает мощность N = 500 Вт.

10. Определить линейную скорость центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.

11. Карандаш длиной l =15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую  и линейную скорость будет иметь в конце падения середина карандаша? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.

12. Вращение от двигателя к ведущим колесам автомобиля передается через ряд устройств, одно из которых, называемое сцеплением, позволяет в случае надобности отключить двигатель от остальных устройств. Сцепление, в принципе, состоит из двух одинаковых фрикционных накладок, прижимаемых друг к другу сильными пружинами. В автомобиле "Жигули” фрикционные накладки имеют форму колец с внутренним диаметром d₁ = 142 мм и наружным диаметром d₂ =203 мм. Коэффициент трения прокладки по прокладке  = 0,35. Най­ти наименьшую силу F, с которой нужно прижимать накладки, чтобы передавать вращательный момент М = 100 Нм.

13. Вентилятор вращается с частотой 600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав 50 оборотов, остановился. Работа сил торможения равна 31,4 Дж. Определить: а) момент сил торможения; б) момент инерции вентилятора.

14. К ободу однородного сплошного диска радиусом 0,5 м приложена постоянная касательная сила 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения 2 Н·м. Определить массу диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 16 рад/с².

15. С наклонной плоскости, составляющей угол 300 с горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определить время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см.

16. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой 6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением 2 м/с². Определить: а) момент инерции вала; б) массу вала.

Динамика вращательного движения

Задачи для самостоятельного решения

17. Горизонтальная платформа массой 25 кг и радиусом 0,8 м вращается с частотой 18 об/мин. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определить частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5 кг·м² до 1 кг·м².

18. Человек массой 60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10 об/мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определить, с какой частотой будет тогда вращаться платформа.

19. П латформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определить, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы.

20. На шероховатой доске на расстоянии S от её левого конца находится сплошной цилиндр. Доску начинают двигать с ускорением a₀ вправо. С какой скоростью относительно доски будет двигаться центр инерции цилиндра в тот момент, когда он будет находиться над краем доски? Движение цилиндра относительно доски происходит без скольжения.

http://www.mivlgu.ru/kafedra/phisica/open_pages/chapter.php?bid=2877644709&cid=6

http://dssp.petrsu.ru/~KOF/OLD/mathemat/lectures/lecture6_a.html