- •Практическая работа № 1 установление закона изменения случайных величин по результатам опыта
- •1. Основные понятия и определения теории вероятностей и математической статистики
- •II. Методика построения эмпирической кривой вычисление ее параметров и характеристик
- •1. Построение эмпирической кривой
- •2. Техника вычислений параметров эмпирического распределения
- •А) Значения выборки заданы однозначными или двухзначными величинами. Объем выборки n 25
- •Б) Значения выборки заданы многозначными величинами. Объем выборки n 25
- •В) Результаты эксперимента заданы выборкой небольшого объема. Объем выборки n 25
- •Методика определения поля допуска по эмпирическому распределению
- •4. Вычисление коэффициентов относительной асимметрии и относительного рассеивания
- •А) Поле допуска задано и изменению не подлежит.
- •Б) Поле допуска не задано
- •5. Критерии для непринятия резко выделяющихся наблюдений (ошибок измерения)
- •6. Функции плотности теоретических и эмпирических распределений
- •Подбор теоретической функции для эмпирического распределения
- •2. Выравнивание эмпирического распределения по гипотетическим теоретическим
- •7. Сравнение эмпирических и теоретических функций распределения частот по критериям согласия
- •А) Критерий согласия Пирсона
- •Б) Критерий Колмогорова
- •Практическая работа № 2 установление вида зависимости между двумя переменными величинами
- •Функциональная зависимость
- •Корреляционная зависимость
- •Определение коэффициента корреляции по выборка большого объема
- •Приложения
- •Плотность вероятности нормального распределения
- •Значение функции
В) Результаты эксперимента заданы выборкой небольшого объема. Объем выборки n 25
В тех случаях, когда объем выборки невелик, значения случайной величины делить на интервалы нецелесообразно. Определять моменты 3-го и 4-го порядков в этом случае также нецелесообразно, так как они имеют большую дисперсию и при малых выборках по ним трудно судить о величине соответствующих параметров генеральной совокупности.
Пусть в результате эксперимента получены следующие значения случайно величины:х1, х2, х3...., хN.
Среднее значение и дисперсия определяются по формулам
Рассмотрим пример.
Имеем следующие значения выборки:
хi = 9,77; 9,76; 9,79; 9,78; 9,82; 9,77; 9,78.
Вычисляем
Методика определения поля допуска по эмпирическому распределению
Многие эксперименты проводятся с целью определения поля допуска, которое характерно для данного технологического процесса и дает вероятность риска (брака) не более некоторого наперед задаваемого числа. Эту вероятность будем в дальнейшем обозначать через 2. Обычно принимают 2 = 0,0027. Математическое ожидание и дисперсия априори (до опыта) неизвестны, а имеется лишь возможность получить из выборки значения и S2, которые являются оценками для МХ и DX.
В этом случае принимать за поле допуска величину размаха R нельзя, так как практически предельное поле рассеивания в общем случае никогда не равно размаху.
Если же за поле допуска принимать значение , то границы поля допуска будут колебаться от одной выборки к другой, и в одних случаях они будут охватывать более 99,73% всей площади, ограниченной кривой, в других - менее, так как х и S являются случайными величинами.
Задача состоит в том, чтобы выбранное поле допуска охватывало не менее 99,73% всей площади, ограниченной генеральной кривой (или некоторого другого заранее задаваемого числа). Для этого следует найти такое l, чтобы с задаваемой вероятностью, близкой к единице (надежностью Р), содержало не менее (1 - 2) 100% всей нормальной генеральной совокупности.
В табл. 7 приведены значения l, вычисленные для надежностей Р = 0,9; 0,95; 0,99 и для случаев, когда интервал будет охватывать не менее 99,73; 95 и 90% всей генеральной совокупности [*], где , S - эмпирическое среднее и среднее квадратическое отклонение.
Значения коэффициента l рассчитаны для выборки из нормальной совокупности.
Рассмотрим пример определения поля допуска.
Для эмпирического распределения определяем и S.
Для данных табл. 5 получили: = - 0,284; S = 0.0515; k = N - 1 = 200 - 1 = 199,
где k - число степеней свободы.
Задаемся надежностью определения допуска. Положим, что Р = 0,9. Задаемся вероятностью 1 - 2, т. е. задаем площадь генеральной кривой, которая входит в определяемый нами допуск.
Положим 1 - 2 = 1 - 2 . 0,00135 = 0,9973.
По табл. 7 находим, что для Р = 0,9
1 - 2 = 0,9973 и k = N - 1 = 199 (принимаем k = 200). Отсюда l = 3,40.
____________________________________
* Дунин-Барковский И.В., Смирнов Н.В. Теория вероятностей и математическая статистика в технике, М. Гостехиздат, 1955.
Определяем границы поля допуска:
t1 = - l S = -0,0282 - 0,0515 . 3,40 = -0,2033,
t2 = + l S = -0,0282 + 0,0515 . 3,40 = 0,1469.
Таблица значений l для определения гарантированного поля допуска
Таблица 7
k= N-1 число степеней свободы |
Надежность Р = 0,9 |
Надежность Р = 0,95
|
Надежность Р = 0,99
|
||||||
1 - 2 |
1 - 2 |
1 - 2 |
|||||||
|
0,9973 |
0,95 |
0,9 |
0,9973 |
0,95 |
0,9 |
0,9973 |
0,95 |
0,9 |
4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 800 1000 |
6,76 6,07 5,60 5,80 5,07 4,89 4,75 4,54 4,39 4,28 4,19 4,11 3,98 3,89 3,78 3,69 3,63 3,59 3,55 3,53 3,51 3,40 3,35 3,32 3,30 3,29 3,27 3,26 |
4,18 3,74 3,47 3,27 3,13 3,02 2,94 2,81 2,72 2,65 2,59 2,54 2,46 2,40 2,33 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,17 2,10 2,07 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 |
3,51 3,14 2,91 2,75 2,63 2,54 2,47 2,36 2,28 2,22 2,17 2,14 2,07 2,02 1,95 1,91 1,89 1,86 1,85 1,83 1,82 1,76 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,70 |
8,26 7,17 6,50 6,05 5,72 5,48 5,28 4,99 4,78 4,62 4,50 4,39 4,20 4,10 3,94 3,84 3,76 3,70 3,66 3,63 3,60 3,47 3,41 3,37 3,35 3,33 3,30 3,29 |
5,11 4,44 4,02 3,74 3,54 3,39 3,26 3,08 2,96 2,86 2,79 2,72 2,61 2,54 2,44 2,37 2,33 2,30 2,27 2,25 2,23 2,14 2,11 2,08 2,07 2,06 2,05 2,04 |
4,29 3,72 3,38 3,14 2,97 2,84 2,74 2,59 2,49 2,40 2,34 2,29 2,19 2,13 2,05 1,99 1,96 1,93 1,91 1,89 1,87 1,80 1,77 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 |
12,80 10,31 8,91 8,01 7,38 6,91 6,55 6,03 5,67 5,41 5,21 5,05 4,76 4,57 4,31 4,15 4,05 3,96 3,90 3,84 3,80 3,59 3,50 3,45 3,41 3,39 3,36 3,33 |
7,92 6,38 5,51 4,95 4,56 4,27 4,05 3,73 3,52 3,35 3,22 3,12 2,94 2,82 2,67 2,57 2,50 2,45 2,41 2,38 2,35 2,22 2,17 2,14 2,12 2,10 2,08 2,07 |
6,64 5,35 4,62 4,15 3,83 3,59 3,40 3,13 2,95 2,81 2,70 2,62 2,47 2,37 2,24 2,16 2,10 2,06 2,02 2,00 1,98 1,87 1,82 1,79 1,78 1,76 1,75 1,74 |
Находим координату середины поля допуска и половину поля допуска:
Таким образом, если за поле допуска брать величину t2 - t1 = 0,3502, то с вероятностью 0,9 из всех будущих наблюдений 99,73% будут лежать в этом интервале.