Тема 19. Диференціальні рівняння вищих порядків.

1. Означення диференціального рівняння n-ного порядку.

2. Теорема існування та єдиності.

3. Диференціальні рівняння типу y⁽ⁿ⁾ = f(x).

4. Диференціальні рівняння типу F(y⁽ⁿ⁾, x) = 0.

5. Диференціальні рівняння типу F(y⁽ⁿ⁾, y^(n-1)) = 0.

6. Диференціальні рівняння типу F(y⁽ⁿ⁾, y^(n-2)) = 0.

7. Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами.

8. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.

9. Застосування диференціальних рівнянь різних порядків.

П орядок диференціального рівняння, квадратура, початкові умови.

Рівняння вигляду

,

де b₀(x), ... b_n(x), Q(x) – відомі функції ( ), називається лінійним диференціальним рівнянням n-ного порядку.

Теорема існування і єдиності: Якщо коефіцієнти а₁(х), ..., а_n(х) і функція f(x) зведеного диференціального рівняння неперервні в діапазоні [a, b], то існує один і тільки один розв'язок у = φ(х), визначений і неперервний в (a, b). Він задовольняє рівняння і будь-яку систему початкових умов при будь-якому початковому значенні х₀, взятому з (a, b).

Знайти загальний розв’язок рівняння .

Проведемо послідовне інтегрування:

;

;

.

Розв’язати рівняння .

Позначимо: . Тоді . Отже, вихідне рівняння матиме вигляд . Розділимо змінні: . Звідси .

Враховуючи позначення , можна записати:

;

.

Рівняння типу

,

де а₀, а₁, ... а_n – дійсні числа, називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням зі сталими коефіцієнтами.

Якщо у₁, у₂, ..., у_n – лінійно незалежні частинні розв’язки диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами, то загальний розв'язок цього рівняння можна записати у вигляді

.

До неоднорідних лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами належать рівняння вигляду

.

Якщо – довільний частинний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння, а – загальний розв’язок відповідного однорідного диференціального рівняння, то загальний розв'язок лінійного неоднорідного рівняння має вигляд:

.

Основна: . Додаткова: .

1. Яке рівняння називають диференціальним n-ного порядку?

2. Яке диференціальне рівняння називають зведеним?

3. Сформулюйте теорему існуванні і єдності розв’язку диференціального рівняння n-ного порядку.

4. Що означає термін «рівняння, що розв’язується у квадратурах»?

5. Яке диференціальне рівняння називається однорідним?

6. Що означає термін «частинний розв’язок диференціального рівняння»?