- •Глава IX
- •9.1. Введение
- •9.2. Способы задания движения
- •9.3. Понятие о производной вектора по скалярному аргументу
- •9.4. Скорость точки
- •9.5. Задачи
- •9.6. Ускорение точки
- •9.7. Частные случаи движения точки
- •9.8. Задачи
- •9.9. Криволинейные координаты
- •Глава X
- •10.1. Задание движения твердого тела.
- •10.2. Простейшие движения твердого тела.
- •Глава XI
- •11.1. Задание движения
- •11.2. Скорости точек при плоском движении
- •11.4. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
- •11.5. Ускорения точек при плоском движении.
- •11.7. Задачи
- •Глава XII
- •§ 12.1. Задание движения. Углы Эйлера
- •§ 12.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего
- •Глава XIII
- •13.1. Основные определения. Абсолютная
- •13.2. Теорема о сложении скоростей
- •13.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
- •Глава XIV
- •14.1. Постановка задачи
- •§ 14.2. Сложение поступательных движений
- •§ 14.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера
- •§ 14.4. Пара вращений
- •§ 14.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
- •§ 14.6. Задачи
- •§ 14.7. Сложение поступательных и вращательных движений
- •§ 14.8. Общий случай сложения движений твердого тела
9.5. Задачи
Задача 9.5. Если ось направить горизонтально, а ось вертикально вверх, то движение тяжелой точки (например, артиллерийского снаряда) у поверхности Земли в предположении, что сопротивление воздуха пропорционально скорости точки, будет описываться уравнениями
,
,
где , , , – постоянные величины.
Найти модуль и направление скорости в начальный момент времени. Найти наибольшую высоту подъема точки над уровнем ее начального положения, дальность по горизонтали от начального положения точки до ее наивысшего положения.
Решение. На основании (9.12) имеем
,
.
При , , а модуль скорости будет
.
Направление скорости определим, найдя направляющие косинусы при :
Следовательно, начальная скорость, равная по модулю , направлена под углом к горизонту.
Так как точка траектории, где , соответствует наибольшей высоте подъема движущейся точки, то из уравнения
мы определим момент времени достижения точкой наивысшей высоты. Имеем
;
отсюда
.
Подставляя найденное значение в выражение для , получим искомую высоту
.
Найдем теперь расстояние по горизонтали от начального положения точки до ее положения в наивысшей точке. Для этого подставим время в выражение для :
.
З адача 9.6. Точка движется так, что ее радиус-вектор образует со скоростью постоянный угол. Определить уравнение траектории в полярных координатах, если угол, образуемый скоростью с радиусом-вектором, равен .
Решение. Согласно формуле (9.17) проекции скорости на радиальное и поперечное направления будут
, .
По условию задачи
.
Следовательно,
.
Отсюда
.
Интегрируя это уравнение и приняв при угол , получим
.
Тогда , где – модуль радиуса-вектора в момент времени . Таким образом, траектория представляет собой логарифмическую спираль.
Если угол , то траектория будет прямолинейной – движение будет происходить вдоль радиуса-вектора. Если угол , то движение будет происходить по окружности, так как .
9.6. Ускорение точки
П редположим, что в момент времени скорость точки равна , а в момент времени будет . Изменение вектора скорости за промежуток времени найдем как разность векторов и , если параллельно перенесем вектор в точку .
Вектор представляет собой приращение вектора скорости за промежуток времени .
Отношение вектора к промежутку называется средним ускорением точки за промежуток времени :
.
Ускорением точки в данный момент времени называется предел приращения скорости к приращению времени при условии, что последнее стремится к нулю, т.е.
, (9.21) так как . Можно также воспользоваться следующей формой записи .
Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиуса-вектора точки.
Г одографом скорости называется кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости проводится из одной и той же точки.
Очевидно, что скорость точки, вычерчивающей годограф скорости равна , т.е. ускорению точки при ее движении по траектории. Размерность ускорения
.
Единицами ускорения могут быть , .
Нахождение ускорения при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:
, , .
Так как вектор скорости точки можно представить в виде
,
то на основании (9.21) будем иметь
.
Пусть , , – проекции ускорения на координатные оси ; тогда
, , , (9.22) т.е. проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей проекции скорости точки.
Выражения (9.22) на основании (9.12) можно переписать в виде
, , . (9.23) Следовательно, проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты.
Модуль ускорения определяется по формуле
. (9.24)
Зная проекции ускорения и его модуль, легко находим направляющие косинусы вектора ускорения:
(9.25)
Найдем теперь ускорение в полярных координатах. Пусть координаты точки заданы как функции времени
, .
Согласно (9.17) имеем
.
На основании (9.21) получим
,
но так как [см. (9.15) и (9.16)]
, ,
то
.
Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления
,
. (9.26)
Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам
,
, .
Нахождение ускорения при естественном способе задания движения.
Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть – единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо точке этой кривой. Возьмем теперь на кривой точку , близкую к точке , и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через . Параллельно перенеся вектор в точку , проведем плоскость через векторы и , приложенные в точке .
П ри стремлении точки к точке эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке . Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.
Плоскость, проведенную через точку перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью.
Линия пересечения соприкасающейся плоскости и нормальной плоскости определяет главную нормаль к кривой в точке .
Плоскость, проведенную через точку перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами I, II и III.
Л иния пересечения спрямляющей плоскости и нормальной плоскости определяет бинормаль к кривой.
Таким образом, в каждой точке можно указать три взаимноперпенди-кулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.
Единичный вектор касательной нами уже был введен. Единичный вектор , направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами , , , образовывали правую систему координат. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы , , являются единичными векторами осей естественного трехгранника.
Обозначим через величину угла между вектором , проведенным в точке , и вектором , проведенным в точке , близкой к точке . Этот угол называется углом смежности.
Кривизной кривой в точке называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги , т.е.
. (9.27)
Радиусом кривизны кривой в точке называется величина, обратная кривизне
. (9.28)
Заметим, что кривизна прямой равна нулю, а ее радиус кривизны равен бесконечности. Кривизна окружности во всех ее точках одинакова и равна обратной величине радиуса ; радиус кривизны равен радиусу окружности .
Если через точку кривой и две близкие к ней точки провести окружность, то при стремлении этих точек к в пределе получится окружность, которая называется кругом кривизны. Круг кривизны лежит в соприкасающейся плоскости. Радиус круга равен радиусу кривизны кривой в точке . Центр круга кривизны лежит на главной нормали и называется центром кривизны.*
Вектор скорости согласно выражению (9.20) можно представить в виде
,
где – проекция скорости на направление . На основании формулы (9.21) имеем
. (9.29)
Определим величину и направление вектора .
Пусть в момент времени точка находится в положении на траектории, а в момент времени – в положении . Перенося вектор в точку , найдем приращение вектора за промежуток времени
.
Вектор при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории, а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги – в сторону выпуклости траектории.
Найдем производную вектора :
.
Вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через точку и векторы и (плоскость МАВ). Следовательно, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, так как при плоскость МАВ совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке .
Дифференцируя тождество по , получим
,
т.е. скалярное произведение на равно нулю, а это значит, что вектор перпендикулярен . Таким образом, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен ; следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.
Определим теперь модуль вектора . Из равнобедренного треугольника АМВ найдем
или, используя равенства (9.27) и (9.28), получим
.
Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь
.
Значит,
,
и, следовательно,
, (9.30) так как
Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.
Составляющие ускорения по направлениям и соответственно равны
, .
Проекция ускорения на направление
(9.31)
называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль
(9.32)
называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.
Модуль вектора ускорения равен
. (9.33)
Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, в которые скорость достигает экстремальных значений.
Если и одного знака, то модуль скорости точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным. Если же и разных знаков, то модуль скорости точки убывает и движение будет замедленным. При модуль скорости остается постоянным – движение равномерное.
Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении , в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, в которые скорость точки обращается в нуль.
Отметим, что для вычисления касательного ускорения можно использовать равенство
,
так как .
Если движение точки задано координатным способом, то в случае задания движения в декартовых координатах ( , , ) будем иметь
;
для полярных координат получим
.