Рівномірний розподіл

Неперервна випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку [a, b], якщо на цьому відрізку щільність розподілу випадкової величини стала, а поза ним дорівнює нулю

f(x)= де С – const.

Оскільки площа, що обмежена прямими: х=а; х=b; y=0; y=C дорівнює ймовірності попадання на відрізок [a, b] і значить дорівнює 1, то (b-a)C=1, C= .

Отже, f(x)=

Знайдемо функцію рівномірного розподілу F(x).

При ха F(x)= =0;

При a<xb F(x)= ;

При x>b F(x)= .

О тже, F(x)= f(x)

1

x

0 a m_x b

Визначимо математичне сподівання дисперсії і середнє квадратичне відхилення величини Х, що має рівномірний розподіл.

m_x=

D_x= .

σ_х= .

Нормальний розподіл

Нормальний закон розподілу (закон Гауса) часто зустрічається на практиці. Щільність ймовірності нормального розподілу має такий вигляд:

f(x)= , де m_x і σ_х – параметри нормального розподілу.

Запишемо основні числові характеристики випадкової величини Х, що має нормальний розподіл ймовірностей.

Математичне сподівання M[X] дорівнює параметру m_x, що входять в функцію f(x). M[X]=m_x.

Дисперсія D[X] дорівнює параметру σ_х². Середнє квадратичне відхилення дорівнює σ_х. Ймовірність попадання в заданий інтервал [, ) обчислюється за формулою:

Р(Х<)= ,

де (х) - функція Лапласа.

Задача. Помилка радіодалекоміра має нормальний закон розподілу ймовірностей. Математичне сподівання цієї помилки 5 м, а середнє квадратичне відхилення дорівнює 10 м. Знайти ймовірність того, що виміряне значення дальності буде відрізнятися від істинного не більше ніж на 20 м.

Розв’язання. m_x=5; σ_х=10.

Р(-20Х<20)= =(1,5)-(-2,5)=

=0,4332+0,4938=0,9270

Система випадкових величин

На практиці часто зустрічаються задачі, в яких результат досліду описується не однією випадковою величиною, а двома, трьома і т. д. випадковими величинами.

Наприклад, точка попадання при вистрелі може бути визначена двома координатами.

С истему двох випадкових y величин геометрично D

зображатимемо точкою або y (x,y)

вектором на площині.

Систему трьох

випадкових величин

зображатимемо точкою або 0 x x

вектором трьохмірного простору і т. д.

При вивченні систем випадкових величин ми розглянемо систему двох випадкових величин. Всі результати можна розповсюдити на систему з довільною кількістю випадкових величин.

Функція розподілу двох випадкових величин

Систему двох випадкових величин позначимо (Х, Y).

Функцією розподілу F(x, y) двох випадкових величин називають ймовірність того, що випадкова величина Х буде менше ніж х і випадкова величина Y буде менше ніж y.

F(x, y)=P(X<x, Y<y)

y

(х,y) З геометричної точки зору функція розподілу F(x, y) є ймовірність попадання випадкової точки (Х, Y) в нескінченний квадрант з вершиною в точці (х, y).

0 x

Властивості функції розподілу:

1) функція розподілу F(x, y) неспадна відносно обох аргументів тобто,

при x₂>x₁ F(x₂, y)F(x₁, y);

при y₂>y₁ F(x, y₂)F(x,y₁).

Дійсно, якщо точку (x, y) здвинути правіше і вище, то ймовірність влучення в квадрат не зменшиться

2) F(-, x)=0; F(-, y)=0; F(-¥, -¥)=0.

3) F(x, ¥)=F₁(x)=P(X<x); F(¥, y)=F₂(y)=P(Y<y).

4) F(-¥,¥)=1, так як це ймовірність попадання випадкової величини на всю площину хОу.

5) Ймовірність попадання випадкової точки в прямокутник R, що обмежений прямими х=; х=; у=; у= виражається через функцію розподілу ймовірностей так:

Р((Х, Y)R)=F(, )-F(, )-F(,)+F(, ).

Це співвідношення легко перевірити користуючись геометричним змістом функції розподілу F(x, y)

у





x

0  