Задачи, приводящие к понятию производной

Задача 1. Пусть материальная точка движется неравномерно по некоторой прямой. Расстояние зависит от истекшего времени , то есть . Пусть за промежуток времени перемещение точки будет составлять . Тогда средняя скорость движения точки за этот промежуток времени равна:

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени называется скоростью движения точки в данный момент времени или мгновенной скоростью. Обозначив эту скорость , получим:

.

Пример. Найти среднюю и мгновенную скорость движения точки в момент времени , если движение точки задано уравнением , а промежуток времени .

Найдем сначала среднюю скорость движения точки за промежуток времени :

.

При заданных значениях и получим среднюю скорость движения точки за этот промежуток времени:

.

Найдем мгновенную скорость точки в момент времени :

.

Подставляя , получим, что мгновенная скорость в момент времени равна .

Задача 2. Рассмотрим теперь задачу о касательной к непрерывной кривой. Эта кривая является графиком функции . Возьмем на ней две точки и (рис.1). Через эти две точки проведем прямую _, называемую секущей. Пусть точка , двигаясь вдоль кривой, неограниченно приближается к точке . Тогда секущая стремится к некоторому предельному положению .

Определение. Касательной к данной кривой в точке называется предельное положение секущей , проходящей через точку , когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к точке .

Угловой коэффициент касательной равен , где - угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс. Найдем его. Обозначим через - угол между секущей и осью . Тогда угловой коэффициент секущей равен:

При в силу непрерывности функции приращение также стремится к нулю, поэтому точка неограниченно приближается по кривой к точке , а секущая переходит в касательную. Угол , то есть .

Следовательно, . Поэтому угловой коэффициент касательной равен:

.

Существует множество физических задач, решения которых приводят к нахождению пределов подобного типа, например, сила тока в момент времени , скорость химической реакции в момент времени и т.д.

Во всех описанных задачах требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Такой предел называют производной функции.

Определение производной функции и её обозначения

Пусть в некотором промежутке определена функция . Зафиксируем , принадлежащее этому промежутку.

Дадим аргументу приращение , так чтобы точка также принадлежала этому промежутку. При этом функция получит приращение

.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной данной функции в точке и обозначают (читается "эф штрих от икс нулевого").

Таким образом,

.

Определение.Производной данной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении к нулю.

Пример 1. Дана функция . Найти ее производную в произвольной точке .

Решение:

Аргументу даем приращение . Находим :

,

Составляем отношение и находим предел этого отношения:

. Таким образом, , т.е. производная функции равна 1 в любой точке.

Ответ: в любой точке.

Пример 2. Найти производную функции в произвольной точке .

Решение.

Составляем отношение и находим предел этого отношения:

.

Таким образом, производная функции в произвольной точке равна .

Ответ: .

Наряду с обозначением для производной употребляются и другие обозначения,

например, читается "игрек штрих",

читается "игрек штрих по икс",

читается "дэ игрек по дэ икс".

Определение. Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.

Вопрос. Выберите правильное определение производной функции .

Начало формы

	Отношение приращения функции к приращению аргумента .
	Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при
	Предел приращения функции при
	Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при