2.2 Вычисление напряжений по площадкам, перпендикулярным и наклонным к оси стержня.

Решение основной задачи сопротивления материалов мы начнём с простейшего случая растяжения или сжата, призматического стержня.

Центральным растяжением или сжатием этого стержня называется деформация его под действием двух равных и прямопротиво

По общему плану решения всякой задачи, сопротивления материалов мы прежде всего должны найти величину этих внешних сил Р, растягивающих стержень. Величина сил Р обычно может быть определена из условий взаимодействия рассматриваемого стержня с остальными частями конструкции.

Для вычисления напряжений необходимо выбрать те разрезы, которыми мы будем разделять стержень на две части. Для проверки прочности следует отыскать опасное сечение, т. е. то, через которое передаётся наибольшее напряжение. Мы установим формулы для вычисления напряжений сначала по сечениям, перпендикулярным к оси стержня, а в дальнейшем и по наклонным сечениям; таким путем мы сумеем отыскать наиболее опасное сечение.

Возьмем растянутый стержень и разделим его на две части поперечным сечением mn (рис 2.5), перпендикулярным к оси. Отбросим вторую часть; тогда, чтобы равновесие первой не было нарушено, мы должны заменить действие огорошенной части силами, передающимися на оставшуюся часть через сечение (рис 2.6). Заменяющие

Рис. 2.5 Рис. 2.6

силы будут уравновешивать внешнюю силу Р, поэтому они должны сложиться в равнодействующую¹) Р^н, равную Р, направленную по оси стержня в сторону, противоположную внешней силе (рис.2.6). Эта равнодействующая Р^н будет усилием, действующим в стержне.

Таким образом, условия равновесия оставшейся части дают нам лишь величину равнодействующей внутренних сил, передающихся по сечению mn, её направление и точку приложения, но не могут указать, как распределяются напряжения по площади сечения, т. е. какие силы будут передаваться через различные квадратные единицы этой площади. Между тем, для оценки опасности, угрожающей прочности материала, необходимо найти наибольшее напряжение, отыскать ту квадратную единицу площади, через которую передаётся наибольшая сила.

Опыты с растяжением стержней из различных материалов показывают, что если растягивающие силы достаточно точно совпадают с осью стержня, то удлинения прямых линий, проведённых на поверхности стержня параллельно его оси, будут одинаковы. Отсюда возникает предположение о равномерном распределении напряжений по сечению.

Эти напряжения направлены параллельно силе Р, т.е. нормально к сечению; поэтому их называют нормальными напряжениями и обозначают буквой σ.

Так как они распределены равномерно по площади сечения, то Р^н = σ F, с другой стороны, Р^Н = Р; отсюда получаем

Эта формула позволяет нам вычислить напряжение σ, если известны растягивающая сила и размеры сечения стержня. С другой стороны, если мы зададимся допустимой величиной нормального напряжения, из этой же формулы можно будет найти необходимую площадь поперечного сечения F.

Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса.

Обозначим угол между наклонным сечением n-n₁ и поперечным сечением n-n₂ (рис. 2.7, а). Угол условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения р во всех точках наклонного (так же, как и поперечного) сечения одинаковы.

Рис. 2.7

Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением n-n₁ (рис. 2.7, б). Из условий ее равновесия следует, что напряжения р параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Р, а внутренняя сила , действующая в сечении n-n₁, равна Р. Здесь – площадь наклонного сечения n-n₁, равная (где F – площадь поперечного сечения n-n₂ бруса).

Следовательно,

где - нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.

Разложим напряжение р на два составляющих напряжения: нормальное , перпендикулярное к плоскости сечения n-n₁, и касательное , параллельное этой плоскости (рис. 2.7, в).

Значения и получим из выражений

Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На (рис. 2.7, в) показано положительное касательное напряжение , а на (рис. 2.7, г) – отрицательное.

Из формулы (2.5) следует, что нормальные напряжения имеют значения от (при ) до нуля (при ). Таким образом, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения имеют место в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.

Рис. 2.8

Из формулы (2.5) следует, что касательные напряжения имеют значения от (при ) до (при ); отрицательный угол показан на рис. 2.7, г. Значение равно нулю при (т.е. в поперечных сечениях бруса) и при . Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.

Определим значение касательных напряжений и в двух наклонных сечениях, перпендикулярных друг к другу (рис. 2.8). Углы и наклона этих сечений к плоскости поперечного сечения бруса находятся между собой в зависимости

По формуле (2.6)

Таким образом, касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по величине и обратны по знаку.