Глава 2 определенные интегралы

§ 1. Основные свойства определенных интегралов и их вычисление

1. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Интегральной суммой называется

,

где a < x₀ < x₁ <… < x_n = b, ∆x_i = x_i–1 – x_i, ξ_i  [x_i–1, x_i], i = 1, 2, …, n.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется предел интегральных сумм

,

при условии, что предел не зависит от выбора точек ξ_i[x_i-1, x_i] и способов разбиения отрезка на части.

Если этот предел существует, функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Известно, что непрерывные на отрезке функции интегрируемы. Интегрируемыми будут также ограниченные на отрезке функции, имеющие конечное число разрывов первого рода.

Перечислим основные свойства определенных интегралов.

1. .

2. По определению считают, что

, , a < b.

3. Линейные свойства определенного интеграла

,

где C₁ и C₂ – постоянные.

4. Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то она будет интегрируемой на любом отрезке [, ]  [a, b].

5. Аддитивность определенного интеграла. Пусть a, b, c – некоторые числа. A = min{a, b, c}, B = max{a, b, c} и пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [A,B]. Тогда выполняется равенство

.

6. Если f(x) ≤ g(x) на [a, b], то

.

В частности, если f(x)  0 на [a, b], то

.

Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется такая точка x₀, что

.

Определенный интеграл при f(x)  0 на отрезке [a, b] численно равен площади криволинейной трапеции

D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Формула Ньютона–Лейбница. Если F(x) – первообразная функции f(x), то определенный интеграл от f(x)по отрезку [a, b] можно вычислить по формуле Ньютона–Лейбница

.

Формула Ньютона–Лейбница позволяет привлекать для вычисления определенных интегралов все приемы и методы, используемые при вычислении неопределенных интегралов. Формула Ньютона–Лейбница есть следствие следующего утверждения.

Если F(x) есть первообразная функции f(x) на отрезке [a, b], то в каждой точке x  (a, b) непрерывности функции f(x) выполняется равенство

.

Из этого утверждения и теоремы о дифференцировании сложной функции следует, что

.

Аналогичные утверждения справедливы также и для переменного нижнего предела интеграла: в каждой точке x непрерывности функции f(x) выполняется равенство

.

Если функция  (x) дифференцируема на интервале [, ] и такая, что t =  (x)  (a, b) при x  (, ), то выполняется равенство

.

Из утверждений о дифференцировании интеграла с переменными пределами и из свойства аддитивности определенного интеграла следует, что

.

Рассмотрим примеры.

Вычислить с помощью формулы Ньютона–Лейбница интегралы.

1.1. .

Решение. Используя линейные свойства интеграла и табличные интегралы, находим первообразную и вычисляем интеграл

.

1.2. .

Решение. Находим первообразную и применяем формулу Ньютона–Лейбница.

.

1.3. .

Решение. Ищем первообразную для функции и применяем формулу Ньютона–Лейбница

= = = ln2 – ln1 = ln2.

1.4. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:

а) или ;

б) или .

Решение.

а) Поскольку при 0 < x < 1 выполняется 0< x² < x, то в силу свойств показательной функции выполняется . Тогда из свойства 6 определенных интегралов следует

≤ .

б) При 1 < x < 2 выполняется x ≤ x². Тогда и, следова­тельно,

≤ .

1.5. Оценить интеграл

.

Решение. Так как при 0 ≤ x ≤ 1 выполняется

≤ ≤ 1,

то из неравенств

≤ ≤ x⁹

и свойств интеграла следует

≤ ≤ ,

откуда, учитывая, что – первообразная для x⁹, находим

≤ ≤ .

1.6. Найти производную по x от следующих функций:

а) б)

в) , x > 1; г) , x (0, ).

Решение.

а) ; б) ;

в) = = ;

г)

.

Часто, если это не приводит к недоразумениям, пишут , а не . Мы, следуя традиции, будем писать так же.

1.7. Найти пределы:

а) ; б) .

Решение.

а) Так как , то имеем неопределенность вида . Применим правило Лопиталя:

= = cos 0 = 1.

б) В этом примере также применим правило Лопиталя:

= = = = 1.

1.8. Найти многочлен P(x) наименьшей степени, имеющий минимум, равный –25 при x = 2, и максимум, равный 2 при x = –1.

Решение. Многочлен есть дифференцируемая функция на всей числовой оси. Поэтому точки экстремума могут быть только среди корней производной P(x), которая также есть многочлен. Поскольку нам известно, что P(–1) = 0 и P(2) = 0, то P(x) есть многочлен степени не меньше двух. Значит, P(x) следует искать среди многочленов второй степени. Тогда P(x) = a(x + 1)(x – 2) = ax²– ax – 2a. Отсюда находим

P(x) = = .

Так как по условию P(–1) = 2, P(2) = –25, мы получаем систему уравнений для нахождения a и C:

P(–1) = 2 = ,

P(2) = –25 =

или

2 = ,

–25 = .

Решая систему, находим a = 6, C = –5. Следовательно, P(x) = 2x³ – 3x² – – 12x – 5.