49__Нечеткие множества.

Понятие нечеткого множества - эта попытка математической формализации нечеткой информации для построения математических моделей. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно принадлежать к данному множеству с различной степенью. При таком подходе высказывания типа “такой-то элемент принадлежит данному множеству” теряют смысл, поскольку необходимо указать “насколько сильно” или с какой степенью конкретный элемент удовлетворяет свойствам данного множества.

Определение 1. Нечетким множеством (fuzzy set) на универсальном множестве U называется совокупность пар ( ), где  - степень принадлежности элемента к нечеткому множеству . Степень принадлежности - это число из диапазона [0, 1]. Чем выше степень принадлежности, тем в большей мерой элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества.

Определение 2. Функцией принадлежности (membership function) называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству.

Если универсальное множество состоит из конечного количества элементов , тогда нечеткое множество записывается в виде . В случае непрерывного множества U используют такое обозначение

Примечание: знаки и в этих формулах означают совокупность пар и u.

Пример 1. Представить в виде нечеткого множества понятие “мужчина среднего роста”.

Решение:  = 0/155+0.1/160 + 0.3/165 + 0.8/170 +1/175 +1/180 + 0.5/185 +0/180.

Определение 3. Лингвистической переменной (linguistic variable) называется переменная, значениями которой могут быть слова или словосочетания некоторого естественного или искусственного языка.

Определение 4. Терм–множеством (term set) называется множество всех возможных значений лингвистической переменной.

Определение 5. Термом (term) называется любой элемент терм–множества. В теории нечетких множеств терм формализуется нечетким множеством с помощью функции принадлежности.

Пример 2. Рассмотрим переменную “скорость автомобиля”, которая оценивается по шкале “низкая", "средняя", "высокая” и “очень высокая".

В этом примере лингвистической переменной является “скорость автомобиля”, термами - лингвистические оценки “низкая", "средняя", "высокая” и “очень высокая”, которые и составляют терм–множество.

Определение 6. Дефаззификацией (defuzzification) называется процедура преобразования нечеткого множества в четкое число.

В теории нечетких множеств процедура дефаззификации аналогична нахождения характеристик положения (математического ожидания, моды, медианы) случайных величин в теории вероятности. Простейшим способом выполнения процедуры дефаззификации является выбор четкого числа, соответствующего максимуму функции принадлежности. Однако пригодность этого способа ограничивается лишь одноэкстремальными функциями принадлежности. Для многоэкстремальных функций принадлежности в Fuzzy Logic Toolbox запрограммированы такие методы дефаззификации:

Centroid - центр тяжести;

Bisector - медиана;

LOM (Largest Of Maximums) - наибольший из максимумов;

SOM (Smallest Of Maximums) - наименьший из максимумов;

Mom (Mean Of Maximums) - центр максимумов.

Пусть Е — универсальное множество, х — элемент Е, a R — некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универ­сального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар

где — характеристическая функция, принимающая значе­ние 1, если х удовлетворяет свойству R, и 0 — в противном случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов х из Е нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим нечеткое подмножество А универсаль­ного множества Е определяется как множество упорядоченных пар

где - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве М (например, М = [0,1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М назы­вают множеством принадлежностей. Если М = {0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Процесс обработки нечетких правил вывода в экспертной системе состоит из 4-х этапов:

1. Вычисление степени истинности левых частей правил – определение степени принадлежности входных значений к нечетким подмножествам.

2. Модификация нечетких подмножеств указанных в правых частях правил вывода в соответствии со значениями истинности полученными на 1-ом этапе.

3. Объединение или суперпозиция модифицированных подмножеств.

4. Скаляризация результата суперпозиции – переход от нечетких подмножеств к скалярным значениям.

Свойства нечетких систем помогающие решить сложные задачи:

1. Все правила выполняются параллельно, на основе параллельных вычислительных систем.

2. Нечеткие модели способны представлять суперпозиции состояний.

3. Нечеткие модели способны объединять конфликтующие мнения экспертов.