Теория изгиба пластин Введение

Несущие конструкции современных летательных аппаратов представляют собой тонкостенные системы. Легкость, экономичность, прочность, жесткость — таков далеко не полный перечень достоинств тонкостенных конструкций, обусловивших широкое применение их в различных отраслях машиностроения. Основным элементом тонкостенной конструкции является пластина. Поэтому в курсе строительной механики изучению теории и методов расчета пластин отводится особое место.

Под тонкой пластиной принято понимать цилиндрическое тело, у которого один размер в направлении образующей цилиндрической границы (толщина пластины) намного меньше других габаритных его размеров. Для любой пластины можно указать так называемую срединную поверхность — поверхность симметрии, разделяющую пластину по толщине на две симметричные части. Условимся линию пересечения этой поверхности с цилиндрической границей пластины называть граничным контуром или просто контуром пластины.

Классификацию пластин можно осуществить по различным геометрическим, физическим и структурным признакам. Вряд ли нуждается в комментариях классификация: пластины постоянной и переменной толщины. В зависимости от формы срединной поверхности различают плоские пластины (или просто пластины) и криволинейные пластины — оболочки. Если срединную поверхность оболочки распрямлять непрерывным образом в плоскость, то в пределе получим плоскую пластину. Форма пластины в плане определяется видом ее граничного контура. Названия прямоугольная, круглая, эллиптическая, треугольная, трапециевидная и др. пластины происходят, как раз, от соответствующих названий линий их граничного контура. По физическим свойствам материала пластины подразделяют на однородные и неоднородные, изотропные и анизотропные.

До сих пор речь шла о гладких пластинах. В реальных конструкциях широкое применение нашли подкрепленные пластины — панели. Гладкие и различным образом подкрепленные пластины могут служить примером структурной классификации пластин.

В настоящем разделе курса мы ограничимся изучением гладких тонких плоских пластин постоянной толщины, выполненных из однородного трансверсально изотропного материала.

Упругий анализ тонких пластин с позиций трехмерной теории упругости принципиально возможен, но малоэффективен. Объясняется это тем, что современная математическая физика еще не располагает продуктивными методами построения аналитических (пусть, даже, приближенных) решений сложных уравнений этой общей теории. Можно, конечно, воспользоваться численными методами. Однако и они из-за сложности уравнений теории упругости не столь производительны и, кроме того, их применение сдерживают трудности создания устойчивых вычислительных алгоритмов трехмерных задач при наличии малых или больших параметров. Все эти обстоятельства побудили к созданию более простых механических моделей теории упругости путем введения дополнительных гипотез. С двумя подобными моделями мы уже имели возможность познакомиться ранее при изучении таких вариантов плоской задачи теории упругости, как плоское напряженное состояние и плоская деформация.

Для пластин предложено несколько моделей. Все они существенным образом опираются на наличие у пластины малого геометрического параметра. Наибольшую известность получили модели Кирхгоффа и Тимошенко. Мы ограничимся лишь изучением простейшей из них — модели Кирхгоффа.