2.5 Методичні рекомендації щодо виконання роботи.

1. Для запису передавальної функції АСК, структура якої задана, необхідно уважно розібрати, якими видами з’єднань сполучені всі ланки АСК і поетапно порахувати передавальні функції цих з’єднань.

2. Для того, щоб на основі отриманої передавальної функції зробити зворотне перетворення Лапласа в ПП „Mathcad”, необхідно:

- присвоїти передавальній функції вираз використовуючи відповідний значок в опції „Калькулятор” – „:=”.

- перехідну функцію прирівнюємо до цієї передавальної функції, а тоді програмуємо таким чином: з підменю „Символика” вибираємо елементи „invlaplace”, “simplify” i “float”.

- встановлюємо інтервал часу і будуємо графік.

3. Диференційне рівняння записуємо з врахуванням того, що

2.6 Аналіз результатів роботи, висновки.

Зробити аналіз результатів роботи, отриманих після виконання необхідних обчислень. Після проведеного аналізу зробити відповідні висновки.

2.7 Контрольні запитання.

1. Дати визначення перетворення по Лапласу.

2. Дати визначення передавальної функції.

3. Форма запису передавальної функції

4. Правило отримання еквівалентної передавальної функції при послідовному та паралельному з’єднанні.

Лабораторна робота № 3

Тема: дослідження АФХ.

Мета, завдання і тривалість роботи:

– вивчити правила побудови перехідних функцій та амплітудно-фазових характеристик (АФХ) реальних ланок систем автоматичного керування (САК), які задані диференційними рівняннями, а також методику їх побудови;

– побудувати визначену варіантом АФХ і перехідну характеристику;

– тривалість роботи – 2 години.

3.1 Основні теоретичні положення.

Найбільш повне представлення про динамічні властивості елементу дає його перехідна функція.

Перехідною функцією (або ) називається зміна вихідної величини ланки в часі після подачі на вхід одиничного ступінчастого впливу при нульових початкових умовах.

Перехідна функція задається графічно, або формулою. Формульний вираз перехідної функції можна одержати, якщо розв’язати диференційне рівняння при: ; ; ; ;...; . Ці умови означають, що вихідна величина і її похідні до порядку безпосередньо перед подачею вхідного впливу рівні .

Перехідна функція має дві складові: вимушену і вільну :

. (3.1)

Вимушена складова дає частковий розв’язок рівняння при ступінчатому впливі. Вона дорівнює усталеному значенню вихідної величини при :

. (3.2)

Вільна складова знаходиться із розв’язку однорідного диференційного рівняння:

(3.3)

де – корені характеристичного рівняння;

– постійні інтегрування, які залежать від початкових умов.

Часто процеси, що проходять в окремих ланках системи, недостатньо вивчені і одержати вихідні рівняння для них важко. В таких випадках доцільно використовувати частотні характеристики. Їх можна не лише побудувати за лінеаризованими рівняннями окремих елементів, але й знайти експериментально. Частотні характеристики дають можливість вивчити реакції системи на гармонійні впливи.

Величина амплітуди вихідного сигналу залежить від амплітуди вхідного сигналу і від параметрів самої системи. Щоб виключити вплив , розглядають відношення .

Залежність відношення амплітуд вихідного і вхідного сигналів від частоти називають амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ) і позначають , а залежність фазового зрушення між вхідним і вихідним сигналами від частоти називають фазо-частотною характеристикою (ФЧХ) і позначають . На підставі АЧХ і ФЧХ можна отримати характеристику системи, яка називається амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). Характери-стика будується в комплексній площині. Вектор АФХ будується таким чином, що кут з горизонтальною віссю - , а сам вектор - . Кінець вектора при зміні від до описує траєкторію, яка називається амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). Проекція вектора АФХ на дійсну вісь називається дійсною частиною АФХ, а проекція вектора АФХ на уявну вісь  уявною частиною АФХ. При побудові АФХ відкладається проти годинникової стрілки, якщо його значення додатне і за годинниковою стрілкою, якщо його значення від’ємне.

Взаємозв’язок між АЧХ і ФЧХ може бути виражений так:

. (3.4)

Перевагою АФХ є можливість отримати її із передавальної функції шляхом підстановки :

. (3.5)

Тобто, АФХ – це відношення зображення по Фур’є вихідної величини до зображення по Фур’є вхідної величини при нульових початкових умовах.

Оскільки:

, (3.6)

то ; (3.7)

.