Контрольные вопросы

1. В чем различие между поточными и блочными шифрами?

2. Какие шифры удобнее в программной, а какие в аппаратной реализации?

3. Какие требования предъявляются к шифрующим преобразованиям блочных шифров?

4. В чем суть рассеивающих и перемешивающих преобразований при блочном шифровании?

5. Назовите основные параметры блочных шифров.

6. Какие виды поточных шифров могут быть эффективно реализованы программно?

7. Какие требования предъявляются к генераторам псевдослучайной последовательности?

8. Какие требования предъявляются к функции шифрования поточного шифра?

9. Какие режимы шифрования не распространяют искажений?

4. Принципы построения асимметричных криптографических алгоритмов

4.1. Математические основы асимметричной криптографии.

4.1.1. Свойства операций, определенных на некотором множестве

4.1.2. Функция Эйлера. Поле. Теоремы Эйлера - Лагранжа и Ферма.

4.1.3. Конечные поля.

4.1.4. Основные алгоритмы.

4.1.5. Алгоритмы нахождения НОД и мультипликативного обратного по модулю.

4.1.6. Китайская теорема об остатках.

4.1.7. Символы Лежандра и Якоби. Извлечение корней.

4.2. Примеры современных асимметричных шифров.

4.2.1. Криптосистема RSA.

4.2.2. Взаимосвязь компонентов RSA.

4.2.3. Криптосистема Эль-Гамаля.

4.2.4. Криптосистема Рабина.

4.2.5. Рюкзачные криптосистемы.

4.2.6. Шифрсистема Мак-Элиса.

4.1. Математические основы асимметричной криптографии

Преимущество систем с открытым ключом состоит в том, что ключ не требуется сохранять в тайне. Необходимо лишь обеспечить его аутентичность, что сделать, как правило, легче, чем обеспечить рассылку секретных ключей.

Системы шифрования с открытым ключом осуществляют блочное шифрование, поэтому открытый текст перед шифрованием разбивается на блоки.

Ассиметричные системы шифрования обеспечивают значительно меньшие скорости шифрования, нежели симметричные, в силу чего они обычно используются не для шифрования сообщений, а для шифрования пересылаемых сеансовых секретных ключей, которые затем используются в симметричных системах шифрования.

Для понимания принципов построения асимметричных криптосистем необходимо повторить некоторые понятия алгебры и алгоритмы теории чисел.

4.1.1. Свойства операций

Рассмотрим основные свойства арифметических операций, определенных на некотором множестве А.

*, - обозначение операций.

Замкнутость:

Ассоциативность:

Наличие нейтрального элемента   A:

Существование обратного элемента  A:

Коммутативность:

Дистрибутивность операции относительно операции *:

Группы, кольца.

Определение. Группа – множество G с операцией, которая: замкнута, обладает нейтральным элементом, ассоциативна. Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Практически все группы в криптографии – абелевы. Обозначение группы: (G, знак операции).

Мультипликативная группа (G, · ):

Групповая операция – умножение · ;

Нейтральный элемент – единица 1 ;

Обратный элемент – a^-1;

Многократное применение операции – возведение в степень

a⁵ = a · a · a · a · a.

Аддитивная группа (G, + ):

Групповая операция – сложение + ;

Нейтральный элемент – ноль 0 ;

Обратный элемент – – a;

Многократное применение операции – умножение

5 · a = a + a + a + a + a.

Образующая g – такой элемент группы, что любой другой элемент может быть получен путем многократного применения к нему групповой операции. Запись .

В мультипликативной группе:

В аддитивной группе:

Определение. Кольцо – множество R с двумя операциями: сложением и умножением, в котором обе операции замкнуты, ассоциативны, обладают нейтральным элементом, связаны законом дистрибутивности, а сложение коммутативно и для каждого элемента есть обратный по сложению. Обозначение кольца (R, ·, +).

В коммутативном кольце операция умножения дополнительно обладает свойством коммутативности.

Основное кольцо, важное для криптологии – коммутативное кольцо остатков от деления на натуральное число n, большее 1, которое также называют кольцом вычетов по модулю n и обозначают Z_n или Z/nZ.