Образцы решения краевых задач математической физики Приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области

Пример1. Найти приближенное решение (с точностью до ) задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольной области методом сеток, используя метод усреднения Либмана,

, .

Где вершины прямоугольной области и граничные условия:

, , , .

Получим сеточную область , для этого, полагая, , имеем , .

Для определения значений функции во внутренних точках области применим метод сеток по схеме

,

и получим таблицу значений граничных и внутренних точек, и систему уравнений

	B											C
1,00	0,00	2,50	5,00	7,50	10,00	12,50	15,00	17,50	20,00	22,50	25,00
0,90	4,05										22,75
0,80	7,20										21,00
0,70	9,45										19,75
0,60	10,80										19,00
0,50	11,25										18,75
0,40	10,80										19,00
0,30	9,45										19,75
0,20	7,20										21,00
0,10	4,05										22,75
0,00	0,00	0,39	1,55	3,40	5,88	8,84	12,14	15,59	19,02	22,22	25,00	D
A	0,00	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00

, , , …,

, , , …,

…………………………………………………………………………………………………,

, , .

Решение данной системы линейных уравнений ищется итерационным способом

Причем остановка итерационного процесса производится по условию

, для всех .

Начальные значения определяются из предположения, что функция распределена по горизонтали равномерно, например,

; ; и т.д..

Тогда получим следующую таблицу начального распределения значения функции.

Нулевое приближение:

	B										C
1,0	0,00	2,500	5,000	7,500	10,000	12,500	15,000	17,500	20,000	22,500	25,00
0,9	4,05	5,920	7,790	9,660	11,530	13,400	15,270	17,140	19,010	20,880	22,75	1,870
0,8	7,20	8,580	9,960	11,340	12,720	14,100	15,480	16,860	18,240	19,620	21,00	1,380
0,7	9,45	10,480	11,510	12,540	13,570	14,600	15,630	16,660	17,690	18,720	19,75	1,030
0,6	10,80	11,620	12,440	13,260	14,080	14,900	15,720	16,540	17,360	18,180	19,00	0,820
0,5	11,25	12,000	12,750	13,500	14,250	15,000	15,750	16,500	17,250	18,000	18,75	0,750
0,4	10,80	11,620	12,440	13,260	14,080	14,900	15,720	16,540	17,360	18,180	19,00	0,820
0,3	9,45	10,480	11,510	12,540	13,570	14,600	15,630	16,660	17,690	18,720	19,75	1,030
0,2	7,20	8,580	9,960	11,340	12,720	14,100	15,480	16,860	18,240	19,620	21,00	1,380
0,1	4,05	5,920	7,790	9,660	11,530	13,400	15,270	17,140	19,010	20,880	22,75	1,870
0,0	0,00	0,391	1,545	3,405	5,878	8,839	12,135	15,593	19,021	22,223	25,00	D
A	0,00	0,100	0,200	0,300	0,400	0,500	0,600	0,700	0,800	0,900	1,00

Подставив нулевое приближение в правую часть системы получим первое приближение решения (для удобства выпишем только значения во внутренних точках области).

Первое приближение:

5,7300	7,6350	9,5400	11,4450	13,3500	15,2550	17,1600	19,0650	20,9700
8,3900	9,8050	11,2200	12,6350	14,0500	15,4650	16,8800	18,2950	19,7100
10,2900	11,3550	12,4200	13,4850	14,5500	15,6150	16,6800	17,7450	18,8100
11,4300	12,2850	13,1400	13,9950	14,8500	15,7050	16,5600	17,4150	18,2700
11,8100	12,5950	13,3800	14,1650	14,9500	15,7350	16,5200	17,3050	18,0900
11,4300	12,2850	13,1400	13,9950	14,8500	15,7050	16,5600	17,4150	18,2700
10,2900	11,3550	12,4200	13,4850	14,5500	15,6150	16,6800	17,7450	18,8100
8,3900	9,8050	11,2200	12,6350	14,0500	15,4650	16,8800	18,2950	19,7100
5,2028	6,7713	8,5162	10,4145	12,4347	14,5388	16,6832	18,8203	20,9007

Оценим погрешность приближения. Для этого найдем значение , , для нашего случая т.е. необходимо продолжить вычисления.

Продолжая процесс итерации получим:

Второе приближение:

5,6438	7,5188	9,4500	11,3813	13,3125	15,2438	17,1750	19,1063	21,0063
8,2563	9,6500	11,1000	12,5500	14,0000	15,4500	16,9000	18,3500	19,7688
10,1563	11,2000	12,3000	13,4000	14,5000	15,6000	16,7000	17,8000	18,8688
11,2963	12,1300	13,0200	13,9100	14,8000	15,6900	16,5800	17,4700	18,3288
11,6763	12,4400	13,2600	14,0800	14,9000	15,7200	16,5400	17,3600	18,1488
11,2963	12,1300	13,0200	13,9100	14,8000	15,6900	16,5800	17,4700	18,3288
10,1563	11,2000	12,3000	13,4000	14,5000	15,6000	16,7000	17,8000	18,8688
8,1244	9,4341	10,8441	12,2924	13,7712	15,2710	16,7808	18,2888	19,7514
4,9006	6,2673	7,9527	9,8659	11,9605	14,1795	16,4579	18,7250	20,8758

;

3 приближение:

5,5813	7,4359	9,3750	11,3281	13,2813	15,2344	17,1875	19,1328	21,0313
8,1625	9,5188	10,9875	12,4703	13,9531	15,4359	16,9188	18,3938	19,8063
10,0506	11,0591	12,1800	13,3150	14,4500	15,5850	16,7200	17,8472	18,9119
11,1906	11,9891	12,9000	13,8250	14,7500	15,6750	16,6000	17,5172	18,3719
11,5706	12,2991	13,1400	13,9950	14,8500	15,7050	16,5600	17,4072	18,1919
11,1906	11,9891	12,9000	13,8250	14,7500	15,6750	16,6000	17,5172	18,3719
10,0177	11,0051	12,1160	13,2506	14,3928	15,5402	16,6902	17,8319	18,9075
7,9227	9,1089	10,4948	11,9703	13,5060	15,0829	16,6794	18,2643	19,7583
4,7082	5,9581	7,5956	9,5209	11,6639	13,9562	16,3195	18,6609	20,8624

;

53 приближение:

5,2241	6,8347	8,6903	10,6924	12,7792	14,9035	17,0223	19,0882	21,0360
7,5079	8,4175	9,7244	11,2891	13,0094	14,8016	16,5882	18,2879	19,8025
9,1828	9,5899	10,4823	11,7089	13,1456	14,6844	16,2238	17,6601	18,8795
10,1738	10,2583	10,8808	11,8893	13,1493	14,5381	15,9381	17,2319	18,2964
10,4424	10,3668	10,8634	11,7834	12,9881	14,3463	15,7302	17,0124	18,0633
9,9666	9,8800	10,3910	11,3558	12,6352	14,0929	15,5936	17,0023	18,1832
8,7323	8,7734	9,4345	10,5784	12,0673	13,7617	15,5200	17,1991	18,6560
6,7293	7,0277	7,9691	9,4256	11,2623	13,3371	15,5008	17,6002	19,4823
3,9498	4,6249	5,9698	7,8703	10,1964	12,8019	15,5276	18,2055	20,6661

;

54 приближение:

5,2231	6,8330	8,6879	10,6896	12,7763	14,9008	17,0200	19,0866	21,0352
7,5061	8,4142	9,7198	11,2838	13,0039	14,7964	16,5839	18,2848	19,8009
9,1804	9,5852	10,4760	11,7016	13,1380	14,6773	16,2177	17,6558	18,8773
10,1709	10,2528	10,8733	11,8806	13,1403	14,5296	15,9310	17,2268	18,2937
10,4393	10,3610	10,8555	11,7742	12,9786	14,3373	15,7226	17,0069	18,0605
9,9637	9,8745	10,3835	11,3470	12,6260	14,0842	15,5864	16,9971	18,1804
8,7298	8,7686	9,4280	10,5708	12,0594	13,7543	15,5138	17,1946	18,6536
6,7275	7,0242	7,9644	9,4200	11,2566	13,3317	15,4962	17,5969	19,4806
3,9488	4,6231	5,9673	7,8674	10,1934	12,7991	15,5252	18,2038	20,6652

.

Таким образом 54 приближение удовлетворяет заданной точности .

Тогда приближенное решение искомой задачи будет иметь вид:

1,00	0,00	2,50	5,00	7,50	10,00	12,50	15,00	17,50	20,00	22,50	25,00
0,90	4,050	5,223	6,833	8,688	10,690	12,776	14,901	17,020	19,087	21,035	22,75
0,80	7,200	7,506	8,414	9,720	11,284	13,004	14,796	16,584	18,285	19,801	21,00
0,70	9,450	9,180	9,585	10,476	11,702	13,138	14,677	16,218	17,656	18,877	19,75
0,60	10,800	10,171	10,253	10,873	11,881	13,140	14,530	15,931	17,227	18,294	19,00
0,50	11,250	10,439	10,361	10,856	11,774	12,979	14,337	15,723	17,007	18,060	18,75
0,40	10,800	9,964	9,874	10,383	11,347	12,626	14,084	15,586	16,997	18,180	19,00
0,30	9,450	8,730	8,769	9,428	10,571	12,059	13,754	15,514	17,195	18,654	19,75
0,20	7,200	6,727	7,024	7,964	9,420	11,257	13,332	15,496	17,597	19,481	21,00
0,10	4,050	3,949	4,623	5,967	7,867	10,193	12,799	15,525	18,204	20,665	22,75
0,00	0,000	0,391	1,545	3,405	5,878	8,839	12,135	15,593	19,021	22,223	25,00
	0,00	0,10	0,20	0,30	0,40	0,50	0,60	0,70	0,80	0,90	1,00

Выполнение граничных условий следует из самого способа нахождения начального приближения и последующего итерационного процесса поиска приближенного решения искомой задачи.

Качественно оценить приближенное решение можно, если построить по полученным значениям график функции .

Динамику решения можно проследить, если провести сечения полученной поверхности плоскостями перпендикулярными координатным осям.

Оценку погрешности найденных значений искомой функции получим из оценки погрешности аппроксимации уравнения Лапласа , тогда имеем т.е. соответствует заданной погрешности, следовательно, результаты имеют 4 верных знака.

Вывод.

Из полученных графиков можно сделать вывод, что найденное решение поставленной задачи качественно верно отражает исследуемый процесс. Численные значения искомой функции могут быть использованы (в пределах погрешности) при численном моделировании процессов описываемых задачей Дирихле.