Аналітична геометрія_2011 Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю

Знайдемо проекцію точки P на пряму AB як точку перетину прямих

AB та l . Позначимо її через Q (рис.7). Розв’язавши систему рівнянь

		4x 7 y 13 0,				x 12,
					0,
		7x 4 y 104				y 5,
одержимо Q 12;5 .
2) Точку M , симетричну точці P відносно прямої AB ,знайдемо, вра-
ховуючи те, що Q є серединою відрізка						PM . Отже її координати x0; y0
дорівнюють	середньому арифметичному					координат кінців відрізка. Тобто
12 8 x0 ; 5		12 y0	. Тоді x		16; y 2 M 16; 2 .
2	2			0		0
Таким чином, M 16; 2 .

Вправа 1.9. Дано: ABC , A 1; 2 , B 5;4 , C 2;0 .

1.Записати рівняння його сторін.

2.Записати рівняння висоти опущеної з вершини B на сторону AC . Знайти довжину цієї висоти.

3.Записати рівняння медіани, проведеної з вершини C на сторону AB .

4.Записати рівняння бісектриси внутрішнього кута при вершині A.

Розв’язання.

1. Рівняння сторін ABC запишемо, скориставшись рівнянням 5

,

AB

:

x 1

y 2

або

AB :3x 2 y 7 0;

4 2

5 1

AC :

x 1

y 2

або

AC :2x 3y 4 0 ;

2 1

0 2

BC :

x 5

y 4

або

BC :4x 7 y 8 0.

2 5

0 4

l1

AC .

2. Опустимо перпендикуляр

з

точки

B

на сторону

AC 3;2 , AC l1 . За формулою 1 одержимо

l1 : 3 x 5 2 y 4 0 або l1 : 3x 2 y 7 0 .

Основу цього перпендикуляра позначимо

через

K .

Довжину

висоти BK

знайдемо як відстань від точки B до прямої

AC . За формулою

17

маємо

2 5 3 4 4

26

BK

2 13 .

22 32

13

11

3.	Нехай CM - медіана, тоді точка M - середина відрізка AB . За форму-
			1 5			2 4
лами 19 одержимо M					;					або M 3;1 . Запишемо рівняння ме-
			2			2
діани CM , скориставшись формулою										5 ,
	CM :	x 2					y	або	CM :x 5y 2 0.
		3 2				1
4.	Відомо, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилеж-

ну сторону на відрізки пропорційні прилеглим сторонам. Отже, якщо точка

N - точка перетину бісектриси зі стороною BC (рис.8), то CNNB ACAB .

A

C B

N

Рис. 8

Знайдемо довжини сторін AC та AB .

AC 2 1 2 0 2 2 13 , AB 5 1 2 4 2 2 52 .

Тоді		AC					13				1		.		Отже,						CN						1			.		Застосувавши					формулу 18 при
																					NB						2
		AB				52				2
			1	, одержимо
	2
																	1										1
															2					5 0											4			1 4
																	2										2
											N											;											або N			;		.
																		1											1
																																			3		3
															1											1 2
																	2
	Користуючись рівнянням 5 , запишемо рівняння бісектриси AN
						AN :						x 1						y 2								або						AN :5x y 3 0 .
													1		1			4		2
										3							3
	Вправа					1.10.				Записати								рівняння												прямої,				яка	проходить через точку
M 2;1 під кутом 45 до прямої l1 :2x 3y 4 0 .

12

Розв’язання.

l3 , що проходять через

Як бачимо на рисунку 9, існують 2 прямі

l2 і

точку M під кутом 45 до прямої l1 .

M

l2

l3

45

45

l1

Рис. 9

Якщо позначити через ki - кутовий коефіцієнт прямої li , i 1, 2,3, то за

формулою 14

одержимо

k2 k1

tg45 1,

k1 k3

tg45 1 .

1 k

k

1 k

k

2

1

1

3

Запишемо рівняння прямої

l

з кутовим коефіцієнтом

l : y

2

x

4

.

1

1

3

3

k

2

2

k

Тоді k

2

. З рівнянь

2

3

1,

3

3

1 знаходимо:

k

1і

2

1

3

1

2

k2

1

2

k3

3

3

6

маємо

k3 5. Застосувавши формулу

l2 : y 1 1 x 2

або

l2 : y x 1,

l3 : y 1 5 x 2

або l3 : y 5x 11.

Вправа 1.11. Задано дві вершини трикутника A 10;2 ,

B 6;4

і точка

перетину його висот N 5;2

. Знайти координати третьої вершини C .

Оскільки пряма AN

Розв’язання.

BC

- це висота, проведена до сторони

(рис.10),

то AN BC , тобто AN 15;0 -

нормальний вектор прямої BC . За

формулою 1

одержимо BC :15 x 6 0

y 4 0

або x 6.

Аналогічно складаємо рівняння сторони

AC

за точкою A 10;2

та

нормальним вектором BN 1; 2 .

AC : 1 x 10 2

y 2 0 або

x 2 y 6 0.

13

Знайдемо третю вершину C як точку перетину прямих AC				та BC .
x 6,		або x 6, y 6	. Отже C 6; 6 .
x 2 y 6	0,

C

N

A

B

Рис. 10

Вправи для самостійного розв’язування.

1.12.Записати рівняння прямої, яка проходить через точку M 3; 5 і точку перетину прямих 3x 2 y 7 0 та 2x y 0

1.13.Записати рівняння прямої, яка проходить через точку M 0;2

а) паралельно прямій 5x y 4 0 : б) перпендикулярно прямій x 3y 0 .

1.14. Знайти кут між прямими

а) 3x 2 y 7 0 i 2x 3y 5 0 ; б) 2x y 5 0 i x 3y 2 0 ;

в) y	1	x 2 i y 3x 1; г)	y 3x 4 i y	1	x 4 .
2			3
1.15. Знайти відстань між двома паралельними прямими 3x 4 y 15						0
та 3x 4 y 20 0 .
1.16. Задано рівняння			двох сторін паралелограма 2x y 7 0			та

x 2 y 4 0 і точка перетину його діагоналей M 1;0 . Записати рівняння

двох інших сторін.

1.17. Задано рівняння двох висот трикутника 2x 3y 1 0, x y 0 та координати однієї з його вершин A 1;2 . Записати рівняння сторін цього трикутника.

1.18. Задано дві вершини трикутника A 3;4 і B 3;1 , рівняння сторони AC : x y 7 0 та медіани BM : x 8y 11 0 . Записати рівняння висоти, опущеної з вершини C на сторону AB та обчислити її довжину.

14

1.19. Між пунктами A і B проходить шосейна дорога. На плані місцевості ці пункти мають координати A 2;4 , B 16;0 (розміри в км). Завод, що в

цій же системі координат позначено точкою C 10;14 , треба з’єднати найко-

ротшим шляхом з цим шосе. Знайти на шосе точку входження в нього дороги і довжину дороги.

Розділ 2. Лінії другого порядку

§1 Еліпс

Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок F1 та F2 цієї площини (що називаються фокусами) є величина стала (вона позначається 2a ). Ця величина більша, ніж відстань між фокусами F1F2 2c . Отже, a c .

Якщо осі прямокутної декартової системи координат вибрано так, що фокуси еліпса знаходяться на осі Ox і симетричні відносно початку координат,

то рівняння еліпса має вигляд
	x2		y2	1,	20
	a2		b2

де b a2 c2 . Рівняння 20 називають канонічним рівнянням еліпса.

					y		M
					B b
			A1					A
				F1	О		F2			x
	a		-a					a		a
					B1 -b

Рис. 11

Розглянемо еліпс, зображений на рис.11. Точки A, A1 , B , B1 називають вершинами, O - центром еліпса. OA та OB відповідно великою і малою півосями. Нехай M - довільна точка еліпса. Відрізки F1M та F2 M називають фо-

15

кальними радіусами. Число ac 0 1 , називають ексцентриситетом.

Якщо 0 (або с 0), то фокуси співпадають один з одним та з центром.

	Такий еліпс є колом радіуса a . Прямі	x	a	та	x	a	називають директри-
	сами еліпса.

§2 Гіпербола Означення. Гіперболою називається геометричне місце точок, для яких

різниця відстаней до двох фіксованих точок F1 та F2 площини (що називаються фокусами) є величина стала (що дорівнює 2a ). Якщо F1F2 2c , то

a c . Якщо осі прямокутної декартової системи координат вибрано так, що фокуси гіперболи знаходяться на осі Ox і симетричні відносно початку коор-

динат, то рівняння гіперболи має вигляд

x2

y2

1,

21

a2

b2

де b

с2 a2 . Рівняння 21 називають канонічним рівнянням гіперболи.

D2

y

D1

B

b

M

F1

A1

A

F2

x

- a

a

B1

-b

Рис. 12

Розглянемо гіперболу, зображену на рис.12. Точки

A i A1 називають ве-

ршинами, O - центром гіперболи.

OA та OB відповідно дійсною та уявною

півосями. Якщо M - довільна точка гіперболи,

то відрізки F1M та F2 M на-

зивають її фокальними радіусами. Число

c

, де a - відстань від центру гі-

a

перболи

до її вершини, називають

ексцентриситетом 1 , а прямі

16

D

: x

a

та D

: x

a

- директрисами. Прямі

y

b

x та

y

b

x

1

2

a

a

називають асимптотами гіперболи.

Зауважимо, що гіпербола може також задаватись канонічним рівнянням

x2

y2

1,

22

a2

b2

Фокуси і вершини такої гіперболи знаходяться на осі Oy і симетричні відносно початку координат. Різниця відстаней від будь-якої точки гіперболи до

її фокусів дорівнює 2b, a c2 b2 .

§3 Парабола

Означення. Параболою називається геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від фіксованої точки F (що називається фокусом) і деякої фіксованої прямої (директриси).

Введемо прямокутну декартову систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокус параболи перпендикулярно до директриси. Спрямуємо її від директриси до фокуса, а початок координат розмістимо посередині між фокусом та директрисою (рис 13).

y

M

F	x

О

D
Рис. 13
В цій системі координат канонічне рівняння параболи має вигляд
y2 2 px ,	23

17

	p 0 . Фокусом такої параболи є точка	p
де		F		;0		, а директрисою - пряма
			2

D :x 2p . Парабола в цьому випадку лежить в правій півплощині віднос-

но осі Oy і має одну вісь симетрії Ox . Її називають віссю параболи. З нею па-

рабола перетинається в одній точці O , яку називають вершиною параболи. Якщо вершина параболи знаходиться у початку координат, віссю симетрії

є вісь абсцис, але парабола розміщена в лівій півплощині відносно осі Oy , то

вона задається рівнянням y2 2 px . Якщо вісь параболи суміщена з віссю ординат, а вершина - з початком координат, то рівняння параболи має вигляд

x2 2 py .

24

§4 Приклади і вправи

Вправа 2. 1. Записати рівняння еліпса, фокуси якого знаходяться на осі Ox , симетричні відносно початку координат. Точка M 5;2 лежить на

еліпсі, відстань між директрисами дорівнює 10. Розв’язання.

Скористаємось рівнянням 20 і рисунком 11. Оскільки точка M нале-

жить еліпсу, то її координати задовольняють рівняння 20 , де a b . Отже,

5

a2

2a

a2

4

1

або

5

4

1.

Відстань

між директрисами

дорівнює

a2

a2 c2

b2

10 . Враховуючи, що

c

, з останньої рівності маємо

2a2

10 або

a

c

5c .

5

4

1,

Таким

чином,

утворилась

система

рівнянь a2

a2

c2

2

5c

a

Розв’язавши яку, маємо a 15 , c 3. Тоді b2 15 9 6 .

Рівняння еліпса має вигляд x2 y2 1.

15 6

18

Вправа 2.2. Записати рівняння гіперболи, фокуси якої знаходяться на осі ординат і симетричні відносно початку координат, якщо рівняння асимптот

мають вигляд y 125 x , а відстань між вершинам дорівнює 48.

Розв’язання.

Скористаємось рівнянням 22 , в якому 2b 48 b 24. З рівняння

асимптот отримаємо

b

12

24

12

a 10 .

a

5

a

5

Таким чином, рівняння гіперболи має вигляд

x2

y2

1.

100

576

Вправа 2.3. Записати рівняння параболи, знаючи, що вона симетрична ві-

дносно осі Ox і проходить через точку M 9; 6 ,

а її вершина знаходиться у

початку координат.

Розв’язання.

Канонічне рівняння параболи,

симетричної відносно осі Ox має вигляд

y2 2 px . Підставивши в нього координати точки M ,

маємо 36 2 p 9

або p 2 . Отже, шукане рівняння параболи має вигляд y2

4x .

Вправа 2.4. Визначити, яку лінію задає рівняння. Зобразити її на рисунку.

а) x2 y2 4x 4 y 17 0 ; б) 4x2 3y2 8x 12 y 32 0 ;

в) x2 4 y2 2x 24 y 39 0 ; г)

16x2 9 y2 18 y 135 0;

2

д) x2 6x 4 y 29 0 ; е) x 3

8 2 y y2 ; є) y 3 4

x 1 .

3

Розв’язання.

а) Згрупуємо доданки з x

та

y

окремо. Доповнимо кожен з

отриманих

виразів до повного квадрату двочлена.

x2 4x y2 4y 17 x2 4x 4 4 y2 4y 4 4 17

x 2 2 4 y 2 2 4 17 x 2 2 y 2 2 25

x 2 2	y 2 2
	1.
25	25

В останньому рівнянні перейдемо до нових змінних за формулами X x 2 ,

Y y 2. Таке перетворення з геометричної точки зору означає паралельне

перенесення системи координат. Отримаємо рівняння	X 2		Y 2	1, що є ка-
	25	25

19

нонічним рівнянням еліпса з центром в точці X 0, Y 0 або x 2, y 2 та півосями a b 5 . Тобто, одержано рівняння кола радіуса 5 , центр якого в системі координат xOy знаходиться в точці C 2; 2 . Виконаємо креслення

(рис.14).

уY

			х
	О	2
			X
	-2	С

Рис. 14

б) Виконаємо аналогічні перетворення.
4x2 3y2 8x 12 y 32 0 4 x2 2x 3 y2 4 y 32
4 x 1 2 1 3 y 2 2 4 32 0 4 x 1 2 3 y 2 2 48
	x 1 2	y 2 2
		1.
	12	16
В останньому рівнянні	перейдемо до нових змінних за формулами

X x 1, Y y 2. Отримаємо канонічне рівняння еліпса			X 2		Y 2	1.
			12	16
у	Y
0	F1	х
-1	С	X
	• F2

Рис. 15

20