Аналітична геометрія_2011 Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю
..pdfВ останньому рівнянні |
перейдемо до нових змінних |
за |
формулами |
||||||||||||||
X x 1, Y y 2. Отримаємо канонічне рівняння еліпса |
|
X 2 |
|
Y 2 |
1. В |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
16 |
|
|
системі координат xOy центр еліпса знаходиться в точці C 1; 2 , півосі |
|||||||||||||||||
|
|
|
b a . Тому фокуси цього еліпса (рис.15) знахо- |
||||||||||||||
a 2 3, b 4 . Як бачимо, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
дяться на осі CY на відстані c b2 |
a2 |
|
|
2 від його центру. |
|||||||||||||
16 12 |
|||||||||||||||||
Позначимо їх F1 та F2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) x2 4y2 2x 24y 39 0 x2 2x 4 y2 6y 39 0 |
|||||||||||||||||
x 1 2 1 4 y 3 2 9 39 0 x 1 2 4 y 3 2 4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
x 1 2 |
y 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
1 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X x 1, |
|||||
В останньому рівнянні перейдемо до нових змінних за формулами |
|||||||||||||||||
Y y 3. Отримаємо канонічне рівняння гіперболи |
X 2 |
|
Y 2 |
1. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
3 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-1 |
0 |
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 16 |
|
|
|
|
|
|
||
|
xOy |
|
|
||||||||
В системі координат |
центром гіперболи є точка C 1;3 , півосі |
||||||||||
a 2, b 1. Вершини гіперболи знаходяться на осі CX . |
Фокуси F1 та F2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
знаходяться на цій же осі на відстані c |
a2 b2 |
|
від центру. Гіпербо- |
||||||||
5 |
|||||||||||
лу зображено на рис.16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) 16x2 9 y2 18y 135 0 16x2 9 y2 2 y 135 0 |
|||||||||||
16x2 9 y 1 2 |
1 135 16x2 9 y 1 2 |
144 |
21
|
|
|
x2 |
|
|
y 1 2 1. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
9 |
|
|
16 |
|
|
|
x, Y y 1. Отримаємо |
||||||||
Перейдемо до нових змінних за формулами X |
||||||||||||||||
канонічне рівняння гіперболи |
X 2 |
|
Y 2 |
|
|
1. В |
системі координат xOy |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
16 |
|
|
|
|
|||
центром гіперболи є точка C 0; 1 , |
півосі a 3, b 4. Зробимо креслення |
|||||||||||||||
(рис.17). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
-3 |
|
C |
0 3 |
|
|
|
X |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
Фокуси гіперболи F1, |
F2 та її вершини знаходяться на осі CY . Відстань від |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a2 b2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
центру до фокуса c |
|
|
9 16 5. |
|
д) x2 6x 4y 29 0 x2 6x 4y 29 x 3 2 9 4y 29
x 3 2 4y 20 x 3 2 4 y 5 .
Перейдемо до нових змінних за формулами X x 3, Y y 5. Отримаємо канонічне рівняння параболи X 2 4Y . В системі координат xOy її вершина знаходиться в точці C 3;5 і парабола розміщується у верхній півплощині відносно прямої y 5 . Оскільки 2 p 4 або p 2 , то фокус F знаходиться на
осі CY на 2p 1 вище за вершину. Директриса перпендикулярна осі CY і пе-
ретинає її в точці, що знаходиться на 1 нижче за вершину. Для схематичної побудови параболи використаємо той факт, що точки A і B (рис. 18), що лежать на прямій, яка проходить через точку F паралельно директрисі, і знахо-
22
дяться на відстані |
p 2 від фокуса, належать параболі (адже відстань від ко- |
||||||||||||||||||||||||||||
жної з них до фокуса та до директриси однакова). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A F B |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 18 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
е) Рівняння |
x 3 |
|
8 2 y y2 задає лінію, точки x; y |
якої мають |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
задовольняти умови |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 2 y y2 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Піднесемо до квадрату обидві частини рівняння. Одержимо |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x 3 2 |
|
4 |
8 2 y y2 |
x 3 2 |
4 |
|
y2 2 y 8 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 3 2 |
4 |
y 1 2 9 0 x 3 2 |
4 |
y 1 2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||||
x 3 2 |
|
y 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y y 1, отримаємо кано- |
||||||||||||||||
4 |
|
9 |
|
|
|
|
1. Після заміни X x 3, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
нічне рівняння еліпса |
X 2 |
|
|
Y 2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Але |
не всі |
точки |
|
еліпса |
належать |
лінії, |
що |
задана |
рівнянням |
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
а лише ті, що задовольняють умови |
|
. Зауважи- |
||||||||||||||||||||
x 3 |
|
|
8 2 y y2 , |
|
27 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
мо, що |
умова |
|
|
8 2 y y2 0 |
виконана |
для |
всіх |
точок |
еліпса, адже |
8 2y y2 0 y2 2 y 8 0 y 1 2 9 Y 2 9 Y 3.
Умова x 3 0 рівносильна X 0 . Вона виконується лише для таких точок еліпса, що знаходяться на осі CY і праворуч від неї. Отже шукана лінія є правою половиною еліпса. Зробимо креслення (рис.19).
23
уY
|
• F1 |
|
1 |
C |
X |
0 |
3 |
x |
|
|
• F2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Фокуси |
цього еліпса |
F1 та |
F2 знаходяться на |
осі CY |
на |
відстані |
|||||||||||
|
|
b2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c |
|
|
|
9 4 |
|
5 від його центру . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
є) Рівняння y 3 4 |
x 1 задає лінію, для точок якої виконано умови |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 0, |
|
|
|
|
28 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
Піднесемо до квадрату обидві частини рівняння. Маємо y 3 2 |
16 x 1 |
|||||||||||||||||
або |
Y 2 16 X , |
де X x 1, Y y 3. Зобразимо |
параболу, |
яку |
задано |
|||||||||||||
отриманим рівнянням (рис 20). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
Y |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
К |
3 |
С |
F |
|
0 |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
B |
Рис. 20
24
Точка C 1;3 - вершина параболи, |
p 8 , CF CK |
p |
4 |
. Враховую- |
|||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
чи умови 28 або |
X 0, |
|
|
|
|
|
|
|
, одержимо тільки нижню відносно осі CX поло- |
Y 0
вину параболи.
Вправи для самостійного розв’язування
Вправа 2.5. Скласти рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис, симетричні відносно початку координат, якщо а) його велика вісь дорівнює 20, а відстань між фокусами 24;
б) відстань між фокусами дорівнює 8, а ексцентриситет 0,8.
Вправа 2.6. Скласти рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі ординат, симетричні відносно початку координат, якщо
а) асимптоти задані рівняннями y 2x , а фокуси знаходяться на відстані 5 від центру;
б) гіпербола має спільні фокуси з еліпсом |
x2 |
|
y2 |
1, а її ексцентриситет |
|
|
|||
1, 25. |
24 |
49 |
|
|
|
|
|
|
Вправа 2.7. Скласти рівняння параболи з вершиною в початку координат, якщо а) парабола симетрична відносно осі абсцис і проходить через точку
M 1;3 ;
б) парабола симетрична відносно осі ординат, директриса задана рівнянням y 1.
Вправа 2.8. Визначити, яку лінію задає рівняння. Зобразити її на рисунку.
а) x2 y2 4x 2 y 4 0 ; б) 5x2 9 y2 30x 0;
в) 9x2 4 y2 36x 8 y 4 0 ; г) 16x2 9 y2 18y 153 0 ; д) 3x2 5y2 18x 20 y 32 0; е) y2 4x 6 y 17 0;
є) 4x2 4x 3y 2 0 ; ж) x 9 2 y2 4y 8 ;
з) y 2 5 6x x2 ; и) x 5 34 y2 4 y 12 ; і) x 4 3 y 5 .
Вправа 2.9. Земля рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце. Найменша відстань від Землі до Сонця приблизно дорівнює 147,5 мільйона кілометрів, а найбільша - 152,5 мільйона кілометрів. Знайти більшу піввісь та ексцентриситет орбіти Землі.
25
Вправа 2.10. Дзеркальна поверхня прожектора утворена обертанням параболи навколо її осі симетрії. Діаметр дзеркала 80 см , глибина 10 см . На
якій відстані від вершини параболи, що є осьовим перерізом цієї поверхні, знаходиться її фокус? Відомо, що розмістивши у фокусі джерело світла, отримаємо жмуток паралельних променів.
Розділ 3. Пряма лінія і площина у просторі
§1 Різні види рівняння прямої лінії і площини у просторі
1. Різні форми рівняння площини
1. Рівняння площини, що проходить через точку M0 x0 ; y0 ; z0 перпен-
дикулярно векторові n A; B;C ( |
його називають нормальним вектором |
||
площини) |
|
|
|
A x x0 |
B y y0 |
C z z0 0 . |
29 |
2. Розкривши дужки у рівнянні 29 , отримаємо загальне рівняння площини
Ax By Cz D 0 .
3. |
Рівняння площини, яка проходить через 3 задані точки M1 x1; y1; z1 , |
||||||||||
M2 x2 ; y2 ; z2 , M3 x3; y3; z3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x x1 |
y y1 |
z z1 |
|
|
31 |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 x1 |
y2 y1 |
z2 z1 |
|
0 . |
|||||
|
|
x3 x1 |
y3 y1 |
z3 z1 |
|
|
M1 a; 0; 0 , |
||||
4. |
Рівняння площини, |
яка |
проходить через точки |
||||||||
M2 0; b; 0 , M3 0; 0; c , або рівняння «у відрізках» |
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
1. |
32 |
||
|
|
|
a |
b |
c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Різні форми рівняння прямої у просторі
1. Загальне рівняння. Пряму задають, як лінію перетину двох площин
A1x B1 y C1z D1 0,A2 x B2 y C2 z D2 0.
2. Канонічні рівняння – це рівняння прямої, що проходить через точку
26
M0 x0 ; y0 ; z0 паралельно векторові |
s m;n; p |
( його називають на- |
||||||
прямним вектором прямої) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
34 |
|
|
|
|
|
|||||
|
m |
|
n |
|
|
p |
|
|
3. Якщо в рівняннях 34 позначити через t коефіцієнт пропорційності, |
що дорівнює кожному з відношень, то вони будуть еквівалентні трьом рівнянням
x mt x0 , |
y nt y0 , |
z pt z0 . |
35 |
|||||||
4. Рівняння прямої, що проходить через 2 задані точки M0 x0 ; y0 ; z0 , |
||||||||||
M1 x1; y1; z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
36 |
|||
|
|
|
y |
|
||||||
|
x |
x |
y |
|
z |
z |
|
|||
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
||
§ 2 Основні формули |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Кут між двома площинами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Один з лінійних кутів між площинами P |
: A x B y C z D 0 та |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|||
P2 : A2 x B2 y C2 z D2 0 дорівнює куту між їх нормальними вектора- |
|||||||||||||||||||||||
ми n1 A1 ; B1;C1 та n2 |
A2 ; B2;C2 . Тому |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
A1A2 B1B2 |
C1C2 |
|
|
. 37 |
|
|||
cos P ,P |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 2 |
|
n1, n2 |
|
|
|
n1 |
|
n2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 B1 |
C1 |
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
2. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Кут між двома прямими l |
: |
x x1 |
|
|
y y1 |
|
z z1 |
та |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
m1 |
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x x2 |
|
|
y y2 |
|
z z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
l |
: |
|
|
|
|
визначається як кут між їх напрямними векто- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
m2 |
|
|
|
n2 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
рами s1 |
m1 ;n1; p1 та s2 |
m2 ;n2; p2 за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
s2 |
|
|
|
|
|
|
|
m1m2 n1n2 p1 p2 |
|
|
|
|
. 38 |
|||||||||||||||
cos l |
|
,l |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
s1, s2 |
|
|
s1 |
|
s2 |
|
|
|
|
m |
2 |
n |
2 |
p |
2 |
m |
2 |
n |
2 |
p |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умовою паралельності прямих є колінеарність їх напрямних векторів
27
l |
|
l |
s |
s |
m1 |
|
n1 |
|
p1 |
. |
39 |
|
|
|
|||||||||
1 |
|
2 |
1 |
2 |
m2 |
|
n2 |
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умовою перпендикулярності прямих є ортогональність їх напрямних векторів
l1 l2 s1 s2 s1 s2 0 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0. 40
3.Кут між прямою та площиною. Умови паралельності і перпендикулярності
|
Кут між прямою l : |
x x0 |
|
|
y y0 |
|
z z0 |
|
|
та площиною |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P : Ax By Cz D 0 визначається за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Am Bn Cp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
sin |
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
41 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
l , P |
|
s, n |
|
|
|
s |
|
n |
|
|
|
|
m |
2 |
n |
2 |
p |
2 |
2 |
|
2 |
C |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Умовою паралельності прямої і площини є ортогональність напрямного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектора прямої і нормального вектора площини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
P s n s n 0 Am Bn Cp 0. |
|
|
|
|
|
42 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Умовою перпендикулярності прямої і площини є колінеарність напрям- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ного вектора прямої і нормального вектора площини |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
l P s n |
|
A |
|
B |
|
|
C |
. |
|
|
|
|
|
43 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4. Відстань від точки до площини |
|
M0 x0 ; |
y0 ; z0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Відстань |
|
d |
від |
|
|
|
|
|
точки |
|
до |
|
|
площини |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ax By Cz D 0 обчислюється за формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
d |
|
|
Ax0 By0 |
Cz0 D |
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
§3 Приклади і вправи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вправа 3.1. Записати рівняння площини, що проходить через точку |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M0 1; 5; 2 |
|
перпендикулярно осі Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Розв’язання.
Оскільки площина перпендикулярна осі Oy , то її нормальним вектором є будь-який вектор, паралельний осі Oy , наприклад, n j 0;1;0 . Скорис-
таємось рівнянням 29 . Отримаємо |
0 x 1 1 y 5 0 z 2 0 |
або y 5 0 . |
|
Вправа 3.2. Записати рівняння площини, що проходить через точку
M0 4; 0;1 і паралельна двом |
векторам a 2i 3 j та a i 3 j 2k . |
||||
|
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|||
Обчислимо векторний добуток a b |
2 |
3 |
0 |
6i 4 j 3k . Век- |
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
тор a b є ортогональним до векторів a і b . Таким чином, він перпендикулярний до шуканої площини. Отже, знаючи нормальний вектор цієї площини
n 6;4;3 |
і точку |
M0 4; 0;1 , через яку вона проходить, скориставшись |
|
рівнянням |
29 , |
отримаємо 6 x 4 4 y 0 3 z 1 0 або |
|
6x 4 y 3z 21 0 . |
|
||
Вправа 3.3. Записати рівняння площини, що проходить через точку |
|||
M0 2; 1;1 перпендикулярно до двох площин 2x z 1 0 |
та y 0. |
||
|
|
Розв’язання. |
|
Нормальні вектори заданих площин n1 2;0; 1 та n2 |
0;1;0 пара- |
лельні до шуканої площини. Тому її нормальний вектор є їх векторним добут-
i |
j |
k |
ком. Тобто n n1 n2 2 |
0 |
1 i 2k . Скористаємось рівнянням 29 , |
0 1 0
одержимо рівняння площини за точкою M0 2; 1;1 , через яку вона прохо-
дить, та нормальним вектором n 1;0;2
1 x 2 0 y 1 2 z 1 0 або x 2z 4 0 .
29
Вправа 3.4. |
Вершини тетраедра знаходяться в |
точках A 2;3;1 , |
|||||||||
B 4; 1; 2 , C 6;3;7 , D 5; 4;8 . Знайти довжину його висоти опущеної |
|||||||||||
з вершини D . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
|
|
|
|
||||
Запишемо рівняння площини, в якій лежить основа тетраедра - ABC . |
|||||||||||
Скориставшись рівнянням |
31 площини, |
|
яка проходить через три точки |
||||||||
A, B і C . Одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x 2 |
y 3 |
z 1 |
|
|
|
x 2 |
y 3 |
z 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 2 |
1 3 |
2 1 |
|
0 або |
|
2 |
2 |
3 |
|
0 |
|
6 2 |
3 3 |
7 1 |
|
|
|
4 |
0 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розкривши визначник за елементами першого рядка, отримаємо
12 x 2 24 y 3 8 z 1 0 або 3x 6 y 2z 22 0 .
Знайдемо, довжину висоти тетраедра як відстань d від точки D до цієї пло- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щини за формулою 44 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
3 5 6 4 2 8 22 |
|
|
|
|
77 |
|
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 62 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Вправа 3.5. Знайти кут між площиною P |
:x y 2 0 та площиною |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P2 , що відтинає на координатних осях відрізки a 3, b 2, c 1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Запишемо рівняння площини P2 "у відрізках" за формулою 32 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
1 або |
1 |
x |
|
1 |
y z 1 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Нормальними векторами площин P |
|
і P |
|
є відповідно n |
1; 1;0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
та n |
|
|
1 |
; |
1 |
; 1 . Знайдемо кут між площинами за формулою 37 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos |
P , P |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n1, n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
7 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 1 |
02 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отже, P |
, P |
arccos |
|
5 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
7 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30