2. Математическая модель

В качестве математической принимается уравнение движения Навье-Стокса:

(2)

в котором:

- ускорение от массовых сил;

- градиент давления;

- оператор Гамильтона, представляющий из себя Набла-функцию вида:

; (3)

- оператор Лапласа, скалярное произведение оператора самого на себя:

(4)

Уравнение движения Эйлера (сумма локальной и субстанциональной производной):

(5)

3. Общее решение

Согласно описанной математической модели, для определения ускорения необходимо более тщательно изучить уравнение (2), для этого нужно расписать его для отдельных осей:

(6)

Так как течение стационарное, считается, что локальная производная , также нужно учесть, что для несжимаемой жидкости дивергенция скорости равна нулю, изменение давления по горизонтали равно нулю, так как присутствуют внешние силы, сдвигающие пластину, помимо этого можно считать, что горизонтальная составляющая массовой силы пренебрежимо мала по сравнению с силой тяжести. Учитывая введенные ограничения, получается:

(7)

Упростим выражение (8) с учетом формул (7):

(8)

(9)

С помощью формулы градиента скалярного произведения, левая часть уравнения (8) преобразуется и приобретает следующий вид:

(10)

Тогда, подставляя выражение (10) в уравнение (9) получаем:

(11)

Уравнение (11) – уравнение Громеки-Лэмба.

Для получения адекватного решения задачи, отличного от нуля, необходимо ввести корректирующие условия, а именно, при течении чистого сдвига имеет место качение частиц жидкости, т.е. они перекатываются относительно друг друга. Поэтому каждая частица имеет некоторую угловую скорость, а вследствие этого центробежное и центростремительное ускорение.

3.1. Вспомогательная задача

Описать поле скоростей между пластинами.

3.1.1. Вспомогательная математическая модель

(12)

3.1.2. Решение вспомогательной задачи

(13)

(14)

Подставляя найденный параметр из выражения (14) в выражение (12) получается:

(15)

Вывод

Описание поле скоростей найдено и имеет вид:

Возвращаясь к основной задаче отметим, что с учетом физической модели, при которой и вектор скорости имеет вид:

(16)

С помощью получившегося вектора скорости (16) можно раскрыть векторные произведения, стоящие в правой части выражения (11)

(17)

(18)

Таким образом, с учетом уравнения (11) и физической модели, поворотное (центростремительное) ускорение:

(19)

градиентное (центробежное) ускорение:

(20)

4. Анализ достоверности решения

П

Рис. 2. Ускорения при чистом сдвиге

олученные результаты не противоречат природе возникновения сил. Центростремительная сила порождается вязкостью среды, т. е. пытается вывести систему из состояния равновесия, а центробежная сила имеет инерционную природу (восстанавливает траекторию движения). Полученные направления ускорений соответствуют схеме движения, что свидетельствует о соответствии решения принятой физической модели. Таким образом, в рамках физической модели решение достоверно, но в реальной модели совсем другая картина.

В

Рис. 3. Схема волнообразного течения жидкости

рамках принятой физической модели полученные результаты применимы всегда. В реальной модели появляются внешние возмущения, вибрации, неровности поверхности. Ламинарное течение сохраняется лишь до тех пор, пока соотношение сил инерции и сил вязкости не превысит определённый предел, при котором силы вязкости не смогут препятствовать силам инерции, в результате чего частицы из одного слоя будут перетекать в другие слои жидкости.

Н

Рис. 4. Возникновение турбулентного пятна

екоторое случайное возмущение, из-за которого возникнет волнообразное течение, приведёт к тому, что верхняя струйка начнёт оттеснять нижнюю в область нижней стенки. Данный процесс может привести к тому, что давление у нижней стенки превысит давление торможения в потоке, в результате чего может произойти разрыв верхней струйки и последующее перемешивание жидкости.

Стремясь под действием сил инерции в область нижней стенки, верхняя частица стремится вытеснить нижнюю в область верхней стенки. В результате вся масса закрутится по часовой стрелке. В силу известных теорем о циркуляции, это должно привести к тому, что в жидкости должно появиться пятно, вращающееся против часовой стрелки. Вероятно, это произойдёт в области верхней стенки, где имеют место наибольшие значения сил инерции.

Если силы инерции в течении будут достаточно велики, волнообразное течение может стать турбулентным. При определённом соотношении сил инерции и сил вязкости, нарушения волнообразной структуры течения не происходит. Необходимо определить это соотношение:

(21)

(22)

(23)

Переход от ламинарного режима к турбулентному происходит приблизительно при

Так как изменение режима течения происходит постепенно, справедлива следующая схема изменения характера течения:

П

Рис. 5. Схема изменения характера течения по горизонтали: 1 – ламинарный поток, 2 – течение с волнами, 3 – турбулентные пятна, 4 – турбулентный поток.

олученное решение применимо в области 1 и 2. Вблизи пограничного слоя число Рейнольдса стремится к нулю, по мере удаления от стенок оно увеличивается, так как растут силы инерции, ранее всего турбулентное течение возникнет там, где имеют место наибольшие величины сил инерции, т.е. у верхней стенки. Однако, непосредственно у стенки этого не произойдёт, в силу того, что она гасит поперечные пульсации жидкости.

Re при отсчёте от верхней стенки:

(24)

Re при отсчёте от нижней стенки:

(25)

Приравнивая правые части уравнений (24) и (25) получается:

(26)

(27)

(28)

С

Рис. 6. Приблизительный характер зависимости Re от y

огласно расчетам, максимум Re находится в центре канала, в этой точке с координатой произойдёт нарушение слоистости течения, после чего оно приобретёт волнообразную структуру. Внутри области ABCDA полученное решение применимо, если усреднить его параметры по времени. Правее области ABCDА решение неприменимо, т.к. в этой области появляется турбулентность, в результате чего поле скоростей перестает быть линейным.

К

Рис. 7. Изменение скорости в зависимости от высоты канала

ак уже можно было заметить, при увеличении высоты канала, число Рейнольдса увеличивается, а следовательно меняется и характер течения. Ламинарное и волновое течение, которые применимы к задаче, наблюдаются лишь в тонких низких слоях, в силу малости отношения сил инерции и трения. Для проверки результатов можно решить задачу, в которой требуется найти высоту канала, если , при следующих условиях:

(29)

Путем подстановки данных в формулу (23), находится результат:

(30)

Зависимость скорости течения от высоты канала выражается формулой:

(31)

где n – степень отношения высоты канала к толщине пограничного слоя.

Полученный результат адекватен и сопоставим с реальными значениями, поэтому, задача решена верно.

Вывод

Таким образом, была построена и описана физическая модель, произведены расчеты, в результате которых были найдены ускорения при чистом сдвиге, найдено поле скоростей, проанализировано решение. С помощью анализа решения удалось определить точку в течении с максимальным числом Рейнольдса и найти область применимости данной задачи.

10