Вариант 13.
Задача №1.
Обработать ряд наблюдений, полученных в результате многократных прямых измерений физической величины (ФВ), и оценить случайную погрешность измерений, считая результаты исправленными и равноточными. Результат измерения представить по одной из форм МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Вид ФВ - напряжение, ее размерность - мкВ, число наблюдений N=15, первый элемент выборки ряда J=10 взять из таблицы по предпоследней цифре шифра зачетной книжки студента, номер ряда взять из таблицы по последней цифре шифра. Доверительную вероятность принять Рд = 0,99 - для нечётных вариантов. Берем из таблицы 3-й ряд и выбираем 15 членов с 10-го по 24-й включительно.
Решение: Таблица 1.
|
i |
Xi |
Vi |
Vi2 |
|
1 |
10,2688 |
-0.1771 |
0.0314 |
|
2 |
10,6268 |
0.1809 |
0.0327 |
|
3 |
10,7516 |
0.3057 |
0.0934 |
|
4 |
10,3913 |
-0.0546 |
0.0030 |
|
5 |
10,3496 |
-0.0963 |
0.0093 |
|
6 |
10,2725 |
-0.1734 |
0.0301 |
|
7 |
10,2539 |
-0.1920 |
0.0369 |
|
8 |
10,3990 |
-0.0469 |
0.0022 |
|
9 |
10,2790 |
-0.1669 |
0.0279 |
|
10 |
10,5937 |
0.1478 |
0.0218 |
|
11 |
10,7457 |
0.2998 |
0.0899 |
|
12 |
10,3457 |
-0.1002 |
0.0100 |
|
13 |
10,6968 |
0.2509 |
0.0629 |
|
14 |
10,2640 |
-0.1819 |
0.0331 |
|
15 |
10,4506 |
0.0047 |
2.1778e-5 |
Так как в условии задачи указано, что результаты измерения являются исправленными и равноточными, то производить исключение систематических погрешностей нет необходимости.
Вычислим среднее арифметическое результатов наблюдений:
Значение
принимается за результат измерения.
Определим
случайные отклонения
результатов отдельных наблюдений.
Результаты занесем в таблицу 1.
Правильность
вычислений
и
определяем по формуле
.
Если
,
то имеют место ошибки в вычислениях.
Вычислим
оценку среднего квадратичного отклонения
результатов наблюдений
.
С
помощью критерия грубых погрешностей
(критерий «трех сигм») проверяем наличие
грубых погрешностей. Если
,
то такое наблюдение содержит грубую
погрешность и его необходимо исключить.
.
Из таблицы 1 видно, что грубые погрешности
отсутствуют.
Определим
оценку среднего квадратического
отклонения результата измерения
:
Критерий 1. Вычисляем смещённую оценку среднего квадратического отклонения по формуле
мкВ.
Вычисляем параметр
.
Результаты наблюдений можно считать распределенными нормально, если
,
где
и
- квантили распределения.
Выбираем
уровень значимости q равным 1 %. Из таблицы
находим
=
0,9137,
=
0,6829.
Сравнивая полученное значение
с этими величинами, делаем вывод о том,
что по критерию 1 результаты наблюдений
распределены по нормальному закону.
Критерий 2. Этот критерий используется дополнительно для проверки «концов» распределений.
Гипотеза
о нормальности по критерию 2 не отвергается,
если не более m разностей Vi
превзошли значение
,
где верная квантиль распределения
нормированной функции Лапласа отвечает
вероятности P/2.
Для решаемой задачи выбираем уровень значимости q2 = 1% и для n = 15 P = 0,99 и m = 1. Тогда находим ZP/2 = 2,58. Отсюда
=
0.355 мкВ.
Согласно критерию 2 не более (m = 1) разности Vi могут превзойти значение 0,355 мкВ.
По данным, приведенным в таблице 2, видим, что ни одно V не превышает критическое значение. Следовательно, критерий 2 выполняется.
Таким образом, с уровнем значимости q q1+ q2 = 0,1 гипотеза о нормальности полученных данных согласуется с данными наблюдений.
По заданной доверительной вероятности РД=0,99 и числу степеней свободы (n-1)=14 распределения Стьюдента определим коэффициент t:
Рассчитаем границы случайной погрешности результата измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №2.
Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его по МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Значение доверительной вероятности принять Рд = 0,99 для нечётных вариантов. При расчётах полагать, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30.
В
процессе обработки результатов прямых
измерений напряжения U
определено (все значения в вольтах):
среднее арифметическое
;
среднее квадратическое отклонение
результата измерения
;
границы неисключенных остатков двух
составляющих систематической погрешности
и
Решение:
Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения:
Для РД=0,99 и n>30 коэффициент Стьюдента t=2,576. Тогда
.
Определим доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения:
где m − число суммируемых погрешностей;
− граница
i-ой неисключенной погрешности;
к − коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.
При
доверительной вероятности Рд
= 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4,
если число суммируемых неисключенных
систематических погрешностей более
четырёх (m >4). Если число суммируемых
погрешностей m4,
то коэффициент k определяют по графику
зависимости (рисунок) k=f(m, l), где m - число
суммируемых погрешностей;
;
кривая 1 - для m =2; кривая 2 - для m = 3; кривая
3 - для m = 4.
График зависимости k = f(m, l).
При
трёх или четырёх составляющих в качестве
принимают составляющую, по числовому
значению наиболее отличающуюся от
других. В качестве
следует принять ближайшую к
составляющую.
Для
нашей задачи
.
Используя первую кривую графика, находим k = 1,28.
Вычислим алгебраическую сумму систематических погрешностей:
За
оценку неисключенной систематической
погрешности принимаем то из значений
,
которое меньше. Таким образом,
.
Найдем
отношение:
,
значит граница погрешности результата
будет:
,
Где
– коэффициент, зависящий от соотношения
случайной и неисключенной систематической
погрешностей.
– оценка
суммарного среднего квадратического
отклонения результата измерения.
Коэффициент
вычисляют по эмпирической формуле:
Определим доверительные границы суммарной погрешности результата измерения:
Запишем результат измерения:
Задача №6.
В
процессе обработки результатов прямых
измерений частоты f
определено (все значения в кГц): среднее
арифметическое
кГц; среднее квадратическое отклонение
результата измерения
кГц границы неисключенных остатков
трёх составляющих систематической
погрешности
кГц,
кГц и
кГц.
Необходимо определить доверительные границы суммарной погрешности результата измерения и записать его в соотсетствии МИ 1317-86 или ГОСТ 8.207-76. Значение доверительной вероятности РД=0.99 – для нечетных вариантов. Случайные погрешности распределены по нормальному закону, а число наблюдений существенно больше 30.
Решение:
Рассчитываем доверительные границы случайной погрешности результата измерения:
Для РД=0,99 и n>30 коэффициент Стьюдента t=2,576[1].
Тогда
.
Определим доверительные границы неисключенной систематической погрешности результата измерения:
,
где m − число суммируемых погрешностей;
− граница
i-ой неисключенной погрешности;
к
− коэффициент, определяемый принятой
доверительной вероятностью. При
доверительной вероятности Рд
= 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4,
если число суммируемых неисключенных
систематических погрешностей более
четырёх (m >4). Если число суммируемых
погрешностей m4,
то коэффициент k определяют по графику
зависимости (рисунок) k=f(m, l), где m - число
суммируемых погрешностей;
;
кривая 1 - для m =2; кривая 2 - для m = 3; кривая
3 - для m = 4.
График зависимости k = f(m, l).
При
трёх или четырёх составляющих в качестве
принимают составляющую, по числовому
значению наиболее отличающуюся от
других. В качестве
следует принять ближайшую к
составляющую.
Для
нашей задачи
.
Используя вторую кривую графика, находим k = 1,38.
Вычислим алгебраическую сумму систематических погрешностей:
За
оценку неисключенной систематической
погрешности принимаем то из значений
,
которое меньше. Таким образом,
.
Найдем
отношение:
.
Значит, граница погрешности результата будет [2]:
,
Запишем результат измерения:
