ТехМех метода Расчет вала на прочность Ляндзберг, Надольская 2008

При изгибе, если сила или момент изгибают балку вверх (т.е. выпуклостью вниз), то они принимаются со знаком плюс, если сила или момент изгибают балку вниз (т.е. выпуклостью вверх), то они принимаются со знаком минус. Данное правило иногда формулируют еще и так: эпюра моментов строится на сжатом волокне.

III. Правила построения эпюр сил и моментов.

1). Сосредоточенная сила вызывает скачок на эпюре поперечных сил и излом на эпюре изгибающих моментов. Направление скачка выбирается по «главному правилу», величина скачка равна величине силы.

2). Сосредоточенный момент вызывает скачок на эпюре изгибающих моментов и не влияет на эпюру поперечных сил. Направление скачка выбирается по «главному правилу», величина скачка равна величине момента.

3). Если на балке нет ни распределенных, ни сосредоточенных сил, то эпюра поперечных сил равна нулю, а эпюра изгибающих моментов постоянна (параллельна оси).

4). Если на участке балки нет распределенных, но есть сосредоточенные силы, эпюра поперечных сил постоянна (параллельна оси), а эпюра изгибающих моментов – наклонная прямая.

5). Если на участке есть распределенные силы, то эпюра поперечных сил – наклонная прямая, эпюра изгибающих моментов – парабола. Выпуклость параболы направлена против действия распределенных сил, т.е. если распределенные силы направлены вниз, строим эпюру изгибающих моментов выпуклостью вверх, и наоборот.

6). Изменение эпюры поперечных сил на участке равно воздействию распределенных сил: Q = ql.

7). Изменение эпюры изгибающих моментов на участке равно площади под эпюрой поперечных сил на этом участке (с учетом знака): Ми = SЭQ.

8). Если в какой-либо точке эпюра поперечных сил пересекает ось (равна нулю), на эпюре изгибающих моментов возникает экстремум. В этом случае проводим дополнительное сечение через данную точку и рассматриваем отдельно участки справа и слева от экстремума.

21

Применим данные правила к построению эпюр внутренних сил и моментов вала.

1). Первоначально строим эпюру крутящих моментов. Найденный для колеса D1 крутящий момент на валу составляет Mкр = 955 Н·м, это значение мы и откладываем от нулевой линии.

Далее в точке 3 на колесе D2 левом (далее будем обозначать данную точку «3Л») крутящий момент, как уже было сказано выше, понижается вдвое, так как передача вращения на ведомый вал идет через два колеса одновременно. Величина момента между колесами D2 левым и правым составляет Mкр2 = 955/2 = 477,5 Н·м.

Наконец, в точке 3 на колесе D2 правом (далее будем обозначать данную точку «3П») крутящий момент падает до нуля, т.к. полностью передается на следующий вал.

Построенные значения отмечаются на эпюре, сама эпюра штрихуется и подписывается «ЭМкр» (т.е. «эпюра крутящего момента»).

2). Строим эпюру сил по оси OX. Нами уже были получены и отложены на схеме величины всех активных и реактивных сил, действующих на вал по оси OX. Теперь согласно этим силам проведем построение.

Обратим внимание, что на вал ни на каком участке не действует распределенная нагрузка, а действуют только сосредоточенные силы. Следовательно, правила (3), (5) и (6) к данной балке не относятся. В то же время, согласно правилу (4), величина поперечных сил на каждом отдельном участке будет постоянна, а ее эпюра будет проходить параллельно оси. Осталось применить правило (1), согласно которому и найдем конкретные значения сил на участках.

В точке 1 на вал действует тангенциальная сила Fτ1 = 9555 Н. Откладываем ее на эпюре от нуля. Направление скачка выбираем по «главному правилу», а именно: поскольку мы начали построение слева направо, то направление скачка соответствует направлению силы.

22

До точки 2 на вал не действуют никакие новые внешние силы, поэтому величина внутренних сил в 9555 Н сохраняется (эпюра идет параллельно оси).

Вточке 2 на вал действует сила RX2 = 19662 H, направленная вниз. Из существующей силы в 9555 Н отнимаем 19662 H (т.е. строим скачок величиной 19662 H вниз) и находим новое значение силы: -10107 Н. Данное значение сохраняется (эпюра параллельна оси) до точки 3 (левой).

Вточке 3Л на вал действует сила FX3 = 7298 H. Откладываем от величины -10107 Н скачок в 7298 H вверх, получаем новое значение -10107 + 7298 = -2809 Н. Это значение сохраняется (эпюра параллельна оси) до точки 3П.

Вточке 3П на вал еще раз действует сила FX3 = 7298 H. Откладываем от величины -2809 Н скачок в 7298 H наверх, получаем значение -2809 + 7298 = 4489 Н. Это значение сохраняется (эпюра параллельна оси) до точки 4.

Вточке 4 на вал действует сила RX4 = 4489 H, направленная вниз. Из существующей силы в 4489 Н отнимаем 4489 H, получаем ноль. Строим скачок до нуля.

Таким образом, к концу балки эпюра пришла в ноль. Это признак того, что эпюра построена правильно.

Окончательно заштриховываем эпюру, отмечаем на ней

знаки сил на участках, подписываем ее «ЭFX» (т.е. «эпюра сил по оси OX»).

3). Строим эпюру моментов по оси OX. Как указывалось выше, на вал действуют только сосредоточенные силы. Следовательно, правила (3), (5) и (6) к данной балке не относятся. При построении эпюры моментов не усчитываем также правила (1) b (2): (1) – поскольку оно относится к силам, а (2) – поскольку сосредоточенных моментов на балке нет.

Согласно правилу (4), эпюра моментов на каждом участке будет представлять собой наклонную прямую. Изменение эпюры изгибающих моментов на участке будем находить по правилу (7), согласно которому оно равно площади под эпюрой поперечных сил на этом же участке (с учетом знака).

В точке 1 на вал не действуют никакие сосредоточенные моменты, поэтому величина момента в этой точке будет равна 0.

23

На участке 1-2 момент равномерно увеличивается (эпюра представляет собой наклонную прямую), а величина изменения

равна площади под эпюрой поперечных сил: МИ(1-2) = SЭQ(1-2) = Fτ1 · a = 9555 · 0,1 = 955 Н·м1. Строим это значение к конце уча-

стка и соединяем начало и конец прямой линией.

На участке 2-3Л эпюра также представляет собой наклонную прямую. Величина изменения момента равна площади под

эпюрой поперечных сил: МИ(2-3Л) = SЭQ(2-3Л) = -10107 · 0,2 = = -2021 Н·м. Если в начале участка величина момента была рав-

на 955 Н·м, то к концу станет равна 955 - 2021 = -1066 Н·м. Строим это значение в точке 3Л и соединяем начало и конец прямой линией.

На участке 3Л-3П изменение момента равно МИ(3Л-3П) =

SЭQ(3Л-3П) = -2809 · 0,1 = -281 Н·м. В начале участка величина момента была равна -1066 Н·м, к концу станет равна -1066 - 281

=

= -1347 Н·м. Строим это значение в точке 3П и соединяем начало и конец прямой линией.

Наконец, на участке 3П-4 изменение момента равно

МИ(3П-4) = SЭQ(3П-4) = 4489 · 0,3 = -1347 Н·м. В начале участка величина момента была равна -1347 Н·м, к концу станет равна

-1347 + 1347 = 0 Н·м. Проводим линию от величины -1347 Н·м в точке 3П в ноль в точке 4. Как видим, к концу балки эпюра пришла в ноль, что является признаком, что эпюра построена правильно.

Окончательно заштриховываем эпюру, отмечаем на ней знаки моментов на участках, подписываем ее «ЭMX» (т.е. «эпюра моментов по оси OX»).

4). Эпюры сил и моментов по оси OY строим аналогично.

5). Окончательно получаем результат, представленный на рисунке 3.

1 Данное значение можно заранее вычислить и указать рядом с эпюрой поперечных сил, что и сделано в примере построения (см. рис. 3).

24

Рисунок 3. Схема нагружения вала и построение эпюр ВСФ

25

6. Определение эквивалентной нагрузки

Определяем эквивалентную нагрузку на вал. Для наиболее нагруженных сечений вала находим эквивалентный момент. Величина эквивалентного момента (т.е. момента, учитывающего одновременно и кручение, и изгиб по осям OX и OY) определяется как:

Mэкв = M X2 + MY2 + M кр2

Отсюда находим эквивалентный момент. В сечении 2:

Мx2 = 955 H·м; My2 = 382 H·м; Mкр2 = 955 H·м Mэкв2 = M X2 2 + MY22 + M кр2 2 = 1403 H·м

Из двух сечений 3 выбираем правое, т.к. в нем все действующие на вал моменты больше. Тогда:

Мx3 = 1347 H·м; My3=71 H·м; Mкр3 = 477,5 H·м Mэкв3 = M X2 3 + MY23 + M кр2 3 = 1431 H·м

Таким образом, сечение 3П наиболее опасно, т.к. в нем на вал действует наибольший эквивалентный момент. Данную величину момента и выбираем для дальнейших расчетов.

7. Расчет размеров вала из условия прочности

Условие прочности при сложном нагружении имеет вид

σЭКВ ≤ [σkТ ].

Здесь σЭКВ – т.н. «эквивалентная нагрузка», учитывающая действие одновременно нормальных и тангенциальных напряжений. Однако при разных условиях нагружения нормальные и тангенциальные напряжений вносят различный вклад в разрушение материала. Это означает, что невозможно вывести единую формулу, учитывающую влияние сразу и нормальных, и тангенциальных напряжений при всех случаях нагружения. Поэтому в сопротивлении материалов используются гипотезы прочности, т.е. расчетные гипотезы, позволяющие установить

26

относительный вклад различных видов напряжений в разрушение материала.

Одной из широко применимых является т.н. «третья гипотеза прочности», она же «гипотеза максимальных тангенциальных напряжений» или «гипотеза Треска – Сен-Венана» (по имени предложивших ее ученых). Согласно третьей гипотезе прочности, при сложном нагружении

σЭКВ = σ 2 +4τ 2 .

Здесь

σ = Ми , τ = Мкр .

Wи Wкр

Величины Wu и Wкр – это т.н. моменты сопротивления из-

гибу и кручению. Они являются конструктивными параметрами вала, учитывающими его прочность при изгибе и кручении соответственно. Обращаем особое внимание, что данные параметры учитывают прочность не материала, а формы вала, т.е. показывают, насколько эффективно будет сопротивляться нагрузке вал той или иной конструкции (того или иного поперечного сечения). Моменты сопротивления изгибу измеряются в м3 и равны:

-для сплошного круглого вала Wu = 32π D3, Wкр = 16π D3;

-для цилиндрического вала Wu = 32πD (D4 – d4) = 32π D3(1 – δ4),

Wкр = 16πD (D4 – d4) = 16π D3(1-δ4), где δ = d/D.

Видим, что в обоих случаях выполняется соотношение Wкр = 2Wu, что позволяет упростить расчетную формулу:

2

2

М

и

2

М

кр

2

М

2

Мкр 2

σЭКВ =

σ

+

4τ

=

+

=

и

W

4

W

кр

W

+4

2W

и

и

и

=

М 2

Мкр

2

=

Ми2 + Мкр2

=

Ми2 + Мкр2

М

W

+

W

W 2

W

=

W .

и

экв

и

и

и

и

и

27

Таким образом, напряжения при сложном нагружении вала одновременно изгибающим и крутящим моментами можно определить как

σЭКВ = Мэкв ,

Wи

что дает вид условия прочности

Мэкв ≤ [σТ ].

Wи k

Это основное уравнение конструктивного или проверочного расчета вала, из которого можно определить любой критерий, зная остальные. В нашем случае известны:

-эквивалентный момент нагрузки Мэкв – определен выше,

см. п. 6;

-коэффициент запаса прочности k – дан по условию рас- четно-графической (контрольной) работы, k = 3 для всех вариантов;

-предел текучести материала [σт], который находим по справочной таблице, например в учебнике [4]. Согласно усло-

вию, материал вала – Сталь 3 (Ст.3), откуда предел текучести

[σт] = 220 МПа = 220·106 Па.

Необходимо определить диаметр вала, который может

быть выражен из конструктивного параметра Wu. Сначала находим необходимый момент сопротивления изгибу:

Wu =	Мэкв	k	, что в нашем случае дает Wu =	1431 3	=
	[σТ	]		220 106

19,51·10-6 (м3).

Находим диаметр вала. Для круглого вала сплошного поперечного сечения необходимый диаметр равен:

		32W		32 19,51 10	−6
	Dкруг = 3	u	= 3		= 58,36·10-3	(м) = 58,36 (мм).
		π		π

Для вала цилиндрического сечения необходимый диаметр равен:

32W Dцил = 3 π(1 −δu 4 ) .

28

В нашем случае δ = 0,9, откуда

Dцил = 3	32 19,51 10−6	= 83,29·10-3 (м) = 83,29 (мм).
	π(1−0,94 )

Видим, что Dкруг < Dцил, т.е. с точки зрения габаритов вал сплошного сечения лучше цилиндрического, так как он более

компактный. Однако это не говорит о выигрыше в расходе металла. Не забудем, что цилиндрический вал имеет довольно тонкую стенку, т.к. внутренний диаметр, по условию, равен 0,9 от внешнего (d = 0,9D). Поэтому чтобы оценить расход материала на изготовление того и другого вала, необходимо провести дополнительный расчет.

Чтобы сравнить расход металла на изготовление валов, можно сравнить их погонные веса. Погонный вес – это вес профиля длиной 1 м без учета его конфигурации. Однако если мы примем несколько профилей длиной по 1 м каждый, и при этом изготовленных из одного и того же металла, то погонные веса будут соотносится так же, как площади поперечного сечения профилей. Таким образом, сравним площади поперечного сечения найденных нами валов.

Площадь вала сплошного круглого сечения (площадь кру-

га):

Sкр = πR2 = πD2/4.

В нашем случае

	πDкруг2							π		58,362						2				2
Sкр =						=							= 2675 (мм				) = 26,75 (см				).
		4									4
Площадь вала цилиндрического сечения (площадь коль-
ца):
Sкол = πR			2				2		πD2			−	πd	2	πD2	(1−δ		2
				- πr				=		4			4	=	4					) .
В нашем случае
		πDцил2				(1 −δ				2			π 83,292					2			2
Sкол =											)	=		4	(1−0,9				) = 1035 (мм ) =
			4

10,35 (см2).

Таким образом, соотношение габаритных размеров валов составляет Dкруг / Dцил = 58,36 / 83,29 = 0,7, а соотношение их площадей составляет Sкр / Sкол = 26,75 / 10,35 = 2,58. То есть, хо-

29

тя внешний диаметр цилиндрического вала примерно в полтора раза больше, чем у круглого, но на его изготовление требуется примерно в два с половиной раза меньше металла.

8. Ответ

Необходимый диаметр вала сплошного круглого сечения из условия прочности D = 58,36 мм, вала цилиндрического сечения D = 83,29 мм. Соотношение расхода металла на изготовление данных валов (или их погонных весов) составляет 2,58 в пользу вала кольцевого сечения.

Литература

1.Скрягин В.В., Соловьева Л.В. Сопротивление материалов. – Петропавловск-Камчатский: КамчатГТУ, 2002. – 62 с.

2.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник. 12 изд., стер. – М.: Высшая школа, 2001.

3.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: Учеб. для вузов. – 11-е изд., стереотип. – М.: Изд-во МГТУ им Н.Э.Баумана, 2003. – 592 с.

4.Эрдеди А.А., Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов: 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 2002. – 318 с.

Примечание. Допускается использовать другие издания данных учебников, а также другие учебники по предмету «Техническая механика».

30