10

Методичка по информатике №1

Лабораторное занятие по информатике

Тема: Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую. Арифметические действия в с.с. по основанию q.

Цели занятия:

• Представление чисел в различных системах счисления.

• Перевод чисел из одной системы счисления в другую систему счисления.

• Арифметические операции над числами в любой системе счисления.

Представление чисел в различных системах счисления

Количество предметов в различных системах счисления будет иметь различную запись. Рассмотрим на примере елок (см. Рисунок 1).

1100₂ = 22₅ = 13₉ = 12₁₀ = 10₁₂ = С₁₆

Рисунок 1

Каждая система счисления имеет свой алфавит – совокупность символов, используемых для записи чисел.

Основание с. с. q	Алфавит
q=2	0,1
q=3	0,1,2
q=4	0,1,2,3
…	…
q=10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
q=11	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А
q=12	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B
q=13	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,C
q=14	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,C,D
q=15	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,C,D,E
q=16	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,C,D,E,F

Количество цифр алфавита равно основанию системы счисления.

Основание системы является десятком в этой системе. Например, в двоичной с.с. количество 2 является десятком, в 16-ой с.с. десятком является количество, равное 16 и т.д.

Чтобы представить целое десятичное число в какой-либо q-ой с.с. необходимо выяснить сколько раз помещается число q в данном числе – это будет количество десятков, т.е. надо найти неполное частное и остаток.

Пример 1

13₁₀ → А₄

‌ ‌‌             13₁₀ =3*4+1 =31₄

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌13₁₀ → А₈

             13₁₀ =1*8+5 =15₈

13₁₀ → А₁₆

‌ ‌‌             13₁₀ =0*16+13 =D₁₆

32₁₀ → А₁₅

32₁₀ = (2*15+2)₁₀ =22₁₅

Если количество десятков оказалось больше, чем основание системы счисления, то необходимо выяснить сколько сотен в этом числе, т.е. количество десятков снова делить на основание системы q.

Пример 2

‌‌‌13₁₀ → А₃

             13₁₀ =4*3+1 =(1*3+1)+1=111₃

‌ ‌‌‌‌‌‌‌‌‌

60₁₀ → А₅

60₁₀ =12*5+0 = (2*5+2)+0 =220₅

Из выше рассмотренных примеров ( Пример 1, Пример 2) видно, что запись числа в q-ой с.с представляет собой остатки от целочисленного деления десятичного числа на основание q.

Пример 3

58₁₀ А₇, 58₁₀ А₁₆.

58₁₀=112₇; 58₁₀=3А₁₆.

При этом все вычисления производятся в исходной системе счисления

Для перевода правильных дробей в q-ую с.с необходимо дробную часть числа умножать на основание q. При этом целые части произведений представляют запись числа в q-ой с.с, а дробную часть произведения продолжаем умножать на q до тех пор, пока дробная часть отлична от 0 или пока не возникнет повтор (период).

Пример 4

0,375₁₀ А₂.

0 ,375  2 = 0,75	0
0,75  2 = 1,5	1
0,5  2 = 1,0	1

0,375₁₀ = 0,011₂

Арифметические операции

Операции над числами в любой позиционной с.с. осуществляются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

Только при этом необходимо помнить, что десятком является основание системы q, а значит перенос в старший разряд числа единицы осуществляется при числе, большем q. Например, при сложении двух шестнадцатеричных цифр переход в старший разряд единицы производится при сумме, превышающей 16 (см. Пример 5).

Пример 5

Пример сложения, разности и произведения двух шестнадцатеричных чисел.

Для облегчения операции деления желательно составить таблицу умножения для данной системы счисления.

Пример 6

2,212₃ / 2,1₃

Для вычисления частного составим таблицу умножения в 3-ой с.с. Деление столбиком в троичной с.с. производится по привычным для нас правилам арифметики.

Т аблица 1

(*)3	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	11

Перевод чисел из q₁ –ой с.с. в q₂ с. с.

Теперь, когда вы умеете выполнять арифметические операции над числами в любой с.с. по основанию q, вы сможете переводить не только десятичные числа в любую q-ую с.с. (А₁₀→А_q), но и наоборот А_q→А₁₀ .

Пример 7

35₆→А₁₀

Число 10 в 6-ой с.с. равно 14. Поэтому деление выполняется на 14 в 6-ой с.с.

35₆=23₁₀.

Проверка: 23₁₀=3*6+5=35₆.

Таким образом, с помощью деления можно переводить целое число из любой с.с. по основанию q₁ в любую с.с. по q_2.

Правило перевода целых чисел делением на основание новой системы счисления

1. Разделить число на основание новой с. с., выраженное символами исходной с.с. Вычисления выполнять в исходной системе счисления;

2. Зафиксировать остаток и неполное частное;

3. Если неполное частное отлично от 0, то продолжить действия с полученным неполным частным, начиная с пункта 1);

4. Если неполное частное равно 0, то записать все полученные остатки символами алфавита новой системы счисления, начиная с последнего остатка.

П ример 8

241₅→А₇.

Решение: 7=12₅

241₅=131₇.

Правило перевода правильных дробей умножением на основание новой с. С.

1. Умножить дробную часть числа на основание новой с. с., выраженное цифрами исходной системы (например, при переводе числа из 7-ой с.с. в 16-ую с.с. умножаем на 22, т.к. 16=22₇), при этом все вычисления выполняются в исходной системе счисления;

2. Зафиксировать целую и дробную части полученного произведения;

3. Если дробная часть произведения отлична от 0, то продолжить действия с дробной частью полученного произведения, начиная с пункта 1);

4. Если дробная часть произведения равна 0, составить дробную часть числа в новой системе, начиная с целой части первого произведения (выраженную цифрами алфавита новой системы счисления).

5. Если дробная часть не принимает нулевое значение, следует проанализировать полученный результат на случай обнаружения циклической дроби или прекратить вычисления, если точность представления результата удовлетворяет заданному значению.

Пример 9

0,101₂ А₅.

Так как 5=101₂, то умножаем на 101 в 2-ой с.с.

0 ,101  101 =11,001	11
0,001  101 =0,101	0
0,101  101 = 11,001	1

Так как появился повтор, то имеем периодическую дробь

0,101₂ = 0,(30)₅

Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в с.с. q

Для того, чтобы бесконечную периодическую дробь переводить в любую q-ую с.с., необходимо научиться правильно умножать период дроби на произвольное число.