Лабораторная работа №4 Исследование погрешности численного интегрирования
4.1. Постановка задачи
Рассмотрим способы приближенного вычисления определенных интегралов от заданной на отрезке [a,b] функции f(x)
, (1)
основанные на замене интеграла конечной суммой
, (2)
где - числовые коэффициенты; - точки отрезка [a,b], называемые узлами квадратурной формулы ; k=0,1,...,n.
Разность называется погрешностью квадратурной формулы.
Введем на [a,b] равномерную сетку с шагом h, т.е. множество точек и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам
. (3)
Для построения формулы численного интегрирования на всем отрезке [a,b] достаточно построить квадратурную формулу для интеграла .
4.2. Формулы численного интегрирования
Формула прямоугольников.
Численное интегрирование на частичном отрезке осуществляется по формуле:
.
Формула (3) для интегрирования на всем отрезке [a,b] примет вид
. (4)
Погрешность формулы (4) определяется выражением
(5)
Формула трапеций.
На частичном отрезке эта формула имеет вид
.
Составная формула на отрезке [a,b]:
. (6)
Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:
. (7)
Формула Симпсона.
Если число элементарных промежутков N=2m четно, то
. (8)
Погрешность этой формулы:
(9)
Оценка погрешности методом Рунге.
Этот метод предназначен для апостеорной (т.е. после проведения расчетов) оценки погрешности.
Пусть квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности m. Обозначим - точное значение интеграла, а - приближенное (численное) значение. В этом случае - некоторая константа. Если интеграл вычислить с вдвое меньшим шагом h/2, то .Отсюда по результатам расчетов на последовательности двух сеток h и h/2 можно дать оценку погрешности численного интегрирования с шагом h/2:
.
Погрешность на отрезке [a,b]:
. (10)
4.3. Задание на лабораторную работу
На отрезке [a,b] задана функция f(x). Требуется :
1. Вычислить значение интеграла тремя методами (прямоугольников, трапеций, Симпсона) с точностью 10-6 (см. приложения 4, задание №1).
2. Вычислить интеграл (k=0,1,...,5) аналитически и используя квадратурную формулу (трапеций, Симпсона) (см. приложения 4, задание №2).
3. Построить график функции , . Для вычисления интеграла с точностью 10-8 использовать квадратурную формулу, Симпсона (см. приложения 4, задание №3).
4. Найти зависимость погрешности интегрирования каждым методом от величины шага интегрирования h и сравнить с теоретическими оценками (5), (7), (9) (для задания №2).
5. Апостериорно оценить погрешность методом Рунге для метода второго порядка точности (метод трапеций) и для метода четвертого порядка точности (метод Симпсона) в зависимости от шага h и также сравнить с теоретическими оценками (для задания №2).
4.4. Содержание пояснительной записки
Пояснительная записка должна содержать :
постановку задачи;
описание используемых численных методов;
исходные данные, задаваемые преподавателем;
результаты расчетов;
график численных и теоретических зависимостей логарифма ошибки от шага интегрирования h для каждого метода;
график зависимостей логарифма ошибки от шага интегрирования h , полученных по методу Рунге и теоретически для двух методов с m=2 и m=4;
анализ полученных результатов и выводы.
Литература.
Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.:Наука,1989г.
Калиткин Н.Н. Численные методы.- М.:Наука,1978г.