Лабораторна робота № 17

Тема: Лагова модель динамічної системи

Мета: побудувати лінійну модель з врахуванням лагових змінних

Теоретична частина

У більшості економетричних моделей з використанням динамічних рядів, які описують економічні процеси, типовим є проявлення впливу деякого фактору (або факторів) на результативний показник через якийсь період часу. Таке явище називається лагом (запізнення). Наприклад, у динамічних моделях необхідно враховувати лаг при встановленні зв’язку між обсягом продукції і капітальними вкладеннями, між затратами виробничих ресурсів і обсягом виробництва, між доходами та витратами, тощо. Лаг може проявлятися не лише через певний період часу, а й протягом кількох часових періодів. У такому разі маємо справу з економетричною моделлю розподіленого лагу.

Досить часто на поточне значення показника У можуть робити вплив також попередні значення як пояснюючих змінних так і самого показника.

Наприклад, при моделювання попиту У на даний товар ми можемо вважати, що поточне значення попиту визначається поточним доходом z і поточною ціною цього товару p. Тоді лінійна регресія має вигляд:

у_t = а₀ + а₁z_t + а₂p_t + u_t. (1)

Можна вважати, що поточні витрати зв’язані з попередніми витратами:

у_t = b₀ + b₁у_t-1 + u_t, (2)

або з поточними і попереднім доходами

у_t = d₀ + d₁z_t + d ₂z_t-1 + u_t, (3)

або

у_t = с₀ + с₁у_t-1 + с₂z_t + с ₃z_t-1 + u_t. (4)

Можна покласти враховуючи запізнення на два, три і більше періодів:

у_t = d₀ + d₁у_t-1 + d₂z_t + d₃p_t + d ₄z_t-1 + d ₅p_t-1 + u_t. (5)

Регресії типу (2) – (5) називаються структурами з запізненням або лаговими структурами. У загальному випадку, якщо якась змінна з’являється в моделі з запізненням на s періодів, то вона називається лаговою, записується з нижнім індексом t – s і, кажуть, має лаг довжиною s.

Приклад. Необхідно побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між витратами на харчування і доходом сім’ї згідно з даними таблиці:

Таблиця 1.

Рік	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Витрати на харчування, г. о.	4	5	6	6	8	11	14	16	14	14
Дохід, г. о.	25	29	34	33	41	50	55	54	56	62

Розв’язок:

1. Ідентифікуємо змінні та визначимо специфікацію моделі:

Y_t – дохід в період t, залежна змінна;

X_t – витрати на харчування в період t, незалежна змінна;

Y_t-1 – дохід в період (t – 1), який виступає в якості залежної змінної.

Економетрична модель має вигляд:

Y_t = а₀ + а₁X_t + а₂Y_t-1 + u_t;

.

Таким чином, витрати на харчування в період t залежить від доходу в період t та витрат на харчування в період (t – 1).

2. . Оцінка параметри моделі.

Для оцінювання параметрів моделі застосуємо алгоритм Уолліса, який базується на методі інструментальних змінних і методі Ейткна.

2.1. Згідно з методом інструментальних змінних Х_t-1 використовується як інструментальна змінна для Y_t-1. Тоді в операторі оцінювання відповідні матриці запишуться так:

Z' = ﴾	5	6	6	8	11	14	16	14	14	﴿
	4	5	6	6	8	11	14	16	14

	5	25			29
	6	29			34
	6	34			33
X =	8	33		Y =	41
	11	41			50
	14	50			55
	16	55			54
	14	54			56
	14	56			62

Виконаємо розрахунки:

	МУМНОЖ()
Z'X =	1126	4338
	1020	3943
					МУМНОЖ()
	МОБР()				7,789
(Z'X)^-1=	0,261854	-0,288086			-0,936
	-0,067738	0,074778
	МУМНОЖ()
	Z'Y =	4711
		4255

Визначимо та :

, , .

Отже, а₀ = 3,8469.

Економетрична модель має вигляд:

Yt =

3,8469

+

7,78875

Xt

-

0,93572

Yt-1