14.3. Упругие столкновения
Столкновение двух частиц называется упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Поэтому при описании упругого соударения в законе сохранения энергии внутреннюю энергию тел можно не учитывать.
Выберем лабораторную систему отсчета, где одна из частиц обладает импульсом , а вторая покоится ( ) и запишем законы сохранения энергии и импульса:
. (14.17)
Выразим из закона сохранения импульса и подставим в закон сохранения энергии:
Введя угол между векторами и , выразим :
. (14.18)
Полученный результат можно интерпретировать геометрически с помощью векторных диаграмм, построенных для различных соотношений масс сталкивающихся частиц:
; и .
Обозначим
, (14.19)
где приведенная масса, скорость налетающей частицы (вторая частица покоится ),
и проведем окружность радиусом .
Построим вектор .
Из (14.19) следует
. (14.20)
Направленный отрезок на диаграмме изображает импульс налетающей частицы до рассеяния. При этом точка лежит внутри (если ), вне (если ) или на окружности (если ).
Из (14.20) видно, что складывается из отрезков и , пропорциональных массам сталкивающихся частиц, и , соответственно.
В свою очередь из (14.18) следует, что диаметр окружности, равный
,
будучи умноженным на , дает вектор (см. рисунок: как угол, вписанный в окружность).
Из уравнения (14.17) следует, что вектору на диаграмме соответствует отрезок, направленный из точки в точку . Тогда угол отклонения 1-ой частицы (налетающей) от её первоначального направления движения после столкновения.
Угол угол разлета 1 и 2-ой частиц после столкновения.
Возможные направления рассеяния первой частицы определяются вращением вектора вокруг точки . При этом конец вектора (точка ) всегда должен лежать на окружности радиусом .
При угол рассеяния может принимать значения от до , а угол разлета изменяется от до .
При очевидно, что существует максимальный угол отклонения налетающей частицы , определяемый точкой касания вектором окружности:
.
угол разлета в этом случае изменяется от до .
Угол соответствует центральному удару, или лобовому столкновению частиц.
При все точки начала и конца векторов лежат на
окружности. Угол , т.е. разлет частиц происходит под
прямым углом. В этом случае .
Исключением является лобовое столкновение, при котором
.
Тот же результат можно получить аналитически, решая
совместно уравнения законов сохранения энергии и импульса:
,
.
Возводя в квадрат второе уравнение и сравнивая с первым, легко убедиться, что совместно эти уравнения могут быть удовлетворены лишь при указанных значениях углов.
На всех рисунках центральный угол представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции. Из рисунков видно, что углы и связаны с углом соотношениями:
, .
Модули скоростей частиц после столкновения выражаются через угол и скорость налетающей частицы следующим образом:
, ,
где .
1.15. Рассеяние частиц.
15.1. Рассеяние частицы на силовом центре. Формула Резерфорда.
Рассмотрим снова рассеяние частицы на силовом центре.
Если на налетающую частицу действуют силы отталкивания, то, как мы установили в § 13, её движение всегда инфинитно, а траектория частицы - гипербола.
Для рассмотрения задачи введем
перпендикуляра, опущенного из
рассеивающего центра на направление
касательной к траектории (асимптоту гиперболы)
от центра частицы,
бесконечно большом удалении от центра.
Угол определяет наклон асимптот гиперболы, по которой движется рассеиваемая частица (см. рисунок и уравнение (13.17)), к оси и связан с углом рассеяния очевидным соотношением
(15.1)
Значение угла может быть найдено из уравнения (13.17), если положить, что частица находится на бесконечно большом удалении от рассеивающего центра ( ). В этом случае уравнение (13.17) приводится к виду:
и . (15.1а)
Тогда, с учетом (15.1) и (15.1а),
.
Учитывая (13.5), получаем
. (15.2)
На бесконечно большом расстоянии от рассеивающего центра ( , ), полная энергия и момент импульса частицы равны
. (15.3)
Подставляя эти величины в выражение (15.2), получаем формулу, связывающую угол рассеяния с прицельным параметром :
. (15.4)
Заметим, что при движении частицы в поле притяжения ( ) связь между углом рассеяния и прицельным параметром получается точно такой же, т.е. также выражается формулой (15.4).
Задача о рассеянии на силовом центре имеет важное практическое значение. Однако, формулу (15.4) не удается непосредственно использовать для описания результатов эксперимента, т.к. она написана для определенного прицельного параметра и определяет индивидуальное отклонение частицы. В эксперименте же мы имеем дело не с отдельной частицей, а наблюдаем рассеяние целого пучка одинаковых частиц, падающих на рассеивающий центр с одинаковыми скоростями , но с разными значениями прицельного параметра . Следовательно, и рассеиваются частицы под разными углами .
Поэтому в физике вводится другая, очень важная, характеристика процесса рассеяния - сечение или эффективное сечение.