Задачи Надольский РТЦ

Задача №10

На вход линейного четырёхполюсника с передаточной функцией воздействует белый шум, спектральная плотность мощности которого равна

Требуется:

1. Найти выражение спектральной плотности мощности выходного сигнала. Построить её график.

2. В соответствии с теоремой Винера-Хинчина получить выражение корреляционной функции выходного сигнала. Построить график корреляционной функции и определить интервал корреляции на уровне 0,1 от максимального значения.

3. Записать выражение плотности вероятности выходного сигнала имея ввиду, что его математическое ожидание равно нулю вследствие того, что математическое ожидание “белого” шума полагается равным нулю. Построить график плотности вероятности.

Исходные данные для расчётов:

1. Энергетический спектр выходного сигнала

где - Спектральная функция

Находим зависимость энергетического спектра выходного сигнала от частоты

Строим график спектральной плотности выходного сигнала.

2. Нахождение корреляционной функции

В соответствии с теоремой Винера-Хинчина

Строим график корреляционной функции выходного сигнала.

Находим интервал корреляции на уровне 0,1 от максимального значения

3. Находим дисперсию выходного сигнала

Запишем выражение плотности вероятности для нормального распределения

Так как математическое ожидание выходного сигнала равно нулю вследствие того, что математическое ожидание “белого” шума полагается равным нулю, то плотность вероятности будет равна

График плотности вероятности выходного сигнала

Задача № 11.

На вход безынерционного четырехполюсника с заданной функцией преобразования воздействует стационарный нормальный случайный процесс Х(t) с математическим ожиданием и дисперсией .

Требуется:

1. Записать выражение плотности вероятности входного сигнала. Построить графики функций и .

2. Получить выражение плотности вероятности сигнала на выходе четырёхполюсника. Построить её график.

3. Рекомендуется проверить выполнение условия нормировки

,

а также рассчитать математическое ожидание и дисперсию выходного сигнала.

Исходные данные для расчётов:

1. Запишем выражение плотности вероятности входного сигнала

Строим график функции преобразования

Строим график плотности вероятности входного сигнала

2. В целом плотность вероятности выходного процесса определяется выражением

где - вероятность принятия выходным сигналом нулевого значения.

Таким образом, выражение плотности вероятности выходного сигнала имеет вид

Строим график плотности вероятности выходного сигнала

3. Проверка выполнения условия нормировки

Условие нормировки выполняется.

Запишем математическое ожидание выходного сигнала.

Так как, и , то

Для расчёта дисперсии сначала вычислим момент второго порядка

Отсюда

Задача №12

На вход фильтра поступает аддитивная смесь сигнала u(t) и помехи в виде “белого” шума со спектральной плотностью мощности . Фильтр согласован с полезным сигналом.

Требуется:

Рассчитать отношение сигнал/шум на выходе фильтра.

Исходные данные для расчётов:

B

с

Согласованный фильтр представлен в виде четырёхполюсника с соответствующими суммами на входе и выходе.

В некоторый момент времени выходной сигнал можно представить в виде обратного преобразования Фурье

Дисперсия шума на выходе фильтра равна

Отсюда искомое отношение сигнал/шум на выходе фильтра определяется формулой

Для решения задачи воспользуемся неравенством Коши-Буняковского

,

где и - некоторые комплексные функции.

Это неравенство обращается в равенство при выполнении условия

,

где - функция, комплексно сопряжённая функции

Сделаем следующую запись:

Таким образом, формула отношения сигнал/шум имеет вид

где - энергия сигнала;

- односторонний спектр мощности, представляющий собой среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на интервал частот шириной в 1 Гц.

Это неравенство обращается в равенство при соблюдении условия

Энергия сигнала равна

Односторонний спектр мощности равен

Отсюда отношение сигнал/шум на выходе фильтра будет равно

9