ЦОРиИ
.docКонтрольное задание №20
1 Изобразитьпроизвольную дискретную последовательность, записанную в виде суммы взвешенных и задержанных цифровых единичных отсчетов,
Решение:
Произвольный дискретный сигнал можно описать в виде суммы
2 Заданы входная последовательность и импульсная характеристика дискретной системы Вычислить дискретную свертку. Построить график свертки.
Решение:
Формула светки:
N=N1+N2-1=8+3-1=10
3 Решить разностное уравнениеc начальным условием цифровой единичный импульс; отклик рекурсивной линейной дискретной системы.
Решение:
,
- цифровой единичный импульс
4 Вычислить комплексную частотную характеристику (КЧХ)(дискретизированное по времени преобразование Фурье) линейной дискретной системы с импульсной характеристикой,где
Построить графики модуля и фазы КЧХ как функции нормированной частотыв диапазоне где , – циклическая и линейная частоты, ‒ частота дискретизации.
Решение:
Исходная последовательность
График модуля
График фазы
5 Вычислить элементысистемы дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ) и записать систему в виде матрицы размером Матрицу представить в алгебраической и экспоненциальной форме.
Решение:
В дискретном преобразовании Фурье используется система дискретных экспоненциальных функций (ДЭФ), определяемых следующим выражением
Обе переменные принимают дискретные значении
Обозначим
Тогда
Всю систему ДЭФ можно записать в виде матрицы V , строки которой нумеруются переменной k , столбцы переменной п, а в пересечении k-n строки и n-го столбца записана величина
Для N=4 матрица V имеет вид:
6 Выполнить прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности Восстановить исходную последовательность через вычисление обратного ДПФпоследовательностикоэффициентовдискретного преобразования Фурье.
Решение:
, k=0,1,…,N-1;
, n=0,1,…,N-1.
Выражение для вычисления называется прямым преобразованием (ДПФ), а для вычисления - обратным (ОДПФ).
Коэффициент (постоянная составляющая) равен сумме всех отсчетных значений сигнала:
7 Дана последовательность Применить быстрое преобразование Фурье (БПФ) для вычисления коэффициентов ДПФ. Показать, что алгоритм БПФ можно применять для восстановления по коэффициентам ДПФ используемым в качестве исходного массива данных. Оценить вычислительную сложность алгоритма БПФ.
Решение:
Сигнал состоит из 8-х отсчетов во временной области. Применяя уравнение ДПФ, получаем:
Разобьем эту сумму на две при n = (0, 2, 4, 6) и (1, 3, 5, 7). Получим выражение:
Раскрывая суммы, запишем
Два различных поворачивающих множителя можно связать с помощью определения:
Тогда формула примет вид:
Полученное выражение для 8-точечного БПФ не слишком сложно, но по мере возрастания количества точек увеличивается его сложность. Чтобы упростить выражение, его обычно изображают в другом виде.
Представим в виде графа алгоритм БПФ с прореживанием по времени основанный на разбиении — объединении при
Рисунок - Граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени при N=8
На первом этапе отсчеты входного сигнала переставляются местами и исходная последовательность делится на «четную» и «нечетную последовательности» (обозначены красными и синими стрелками). Потом «четная» и «нечетная» последовательности в свою очередь делятся на «четную» и «нечетную» последовательности. При такое деление можно делать раз. В нашем случае . Данная процедура называется двоично-инверсной перестановкой, так можно выполнить перенумерацию отсчетов переписав номер отсчета в двоичной системе в обратном направлении. Например имеет индекс в десятичной системе счисления , если же переписать справа налево то получим , то есть после разбиения на четные нечетные перед первой операцией «Бабочка» встанет на место , которая в свою очередь встанет на место . По аналогичному правилу поменяются местами все отсчеты, при этом некоторые останутся на месте, в частности, так как если переписать справа налево то все равно останется , аналогично и. Очень важно понять, что данный метод перенумерации должен применяться при записи числа в двоичной системе состоящей из разрядов. В приведенном примере использовалось 3 разряда двоичного числа, но если же (), то необходимо записать число при использовании 4 разрядов. В этом случае и после переписывания получим , то есть при не останется на месте, а поменяется местами с .
Можно сказать что напрямую двоично-инверсная перестановка удобна когда заранее количество отсчетов входного сигнала фиксировано, однако в универсальных алгоритмах БПФ на различные размеры , двоично-инверсная перестановка не эффективна, проще и быстрее поменять отсчеты местами.
После двоично-инверсной перестановки получаем четыре 2-точечных ДПФ:
|
На основе четырех 2-точечных ДПФ формируются два 4-точечных ДПФ:
|
И на последнем уровне формируется полный спектр входного сигнала.
Алгоритм с прореживанием по времени на каждом уровне требует комплексных умножений и сложений. При количество уровней разложения — объединения равно , таким образом общее количество операций умножения и сложения равно .
8 Заданы последовательности иВычислить циклическую дискретную сверткупоследовательностей с помощью ДПФ. Построить график свертки.
Решение:
Использование БПФ для вычисления свертки основано на том, что ДПФ свертки последовательностей есть покомпонентное произведение ДПФ соответствующих последовательностей.
Вычислим ДПФ последовательностей:
, k=0,1,…,7;
Далее производится поочередное умножение элементов первой последовательности с элементами второй последовательности и просуммировать полученные значения. После производится обратное преобразование по формуле обратного преобразования, в результате которого получаем свертку, рассчитанную с помощью ДПФ.
, n=0,1,…,7.
9 Вычислитьядро (матрицу)дискретного косинусного преобразования (ДКП) размером Матрицу представить в тригонометрической и числовойформе.
Решение:
Матрица С для вычисления дискретно-косинусного преобразования выглядит следующим образом
10 Выполнить прямое ДКП последовательности Изобразить график функции. Восстановить исходную последовательность через вычисление обратного ДКП последовательностикоэффициентов дискретного косинусного преобразования.
Решение:
11Вычислить двумерное ДКП массива данных размером Восстановить исходный массив, выполнив двумерноеобратное дискретное косинусное преобразование (ОДКП), если
Решение:
Матрица ДКП 8×8:
Двумерное ДКП массива данных
Обратное ДКП:
12 Вычислить среднеквадратичную ошибку восстановления исходных данных (задача 11) при обнулении 75% наименьших по значениям коэффициентов преобразования ДКП и последующем выполнении ОДКП над полученным массивом.
Решение:
Обнулим 48 наименьших значений матрицы С:
Обратное ДКП:
Среднеквадратичная ошибка восстановления исходных данных:
Список литературы
1 Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов.‒ М.: Техносфера, 2006.
2 Теория прикладного кодирования: Учеб. пособие. В 2 т. В.К. Конопелько, А.И. Митюхин и др.; Под ред. проф. В.К. Конопелько. – Мн.: БГУИР, 2004.
3 Овсянников В.А. Методы формирования и цифровой обработки сигналов. Учебное пособие для студентов специальности «Радиосвязь, радиовещание и телевидение» в 2-ух частях. ‒Мн.: БГУИР 2010.
4 Лосев В.В. Микропроцессорные устройства обработки информации. Алгоритмы цифровой обработки: Учебное пособие для вузов. – Мн: Вышэйшая школа, 1990.
5 Смит С. Цифровая обработка сигналов. Практическое руководство для инженеров и научных работников: Пер. с англ. ‒ М.: Додека-XXI, 2008.
6 Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход: Пер. с англ. ‒ М.: Издательский дом «Вильямс», 2008.
7 Гонсалес Р., Вудс Р. Цифровая обработка изображений. ‒ М.: Техносфера, 2005.
8 Андерсон Д.А. Дискретная математика и комбинаторика.: Пер. с англ. ‒ М.: Издательский дом «Вильямс», 2004.