Львівський державний університет безпеки життєдіяльності
МНС України
Кафедра фундаментальних дисциплін
Стасюк М.Ф., Карабин О.О.,
Меньшикова О.В., Трусевич О.М.
Методичні вказівки та завдання
до розрахункової роботи
з вищої математики
Елементи лінійної та векторної алгебри
та аналітичної геометрії
для студентів та курсантів I-го курсу
Львів 2007
Стасюк М.Ф., Карабин О.О., Меньшикова О.В., Трусевич О.М. Методичні вказівки та завдання до розрахункової роботи з вищої математики .Елементи лінійної та векторної алгебри та аналітичної геометрії. Для студентів та курсантів I-го курсу
Затверджено на засіданні кафедри фундаментальних дисциплін Львівського державного університету безпеки життєдіяльності МНС України. Протокол № ____ від “__” ____________ 2007 року.
2007, Стасюк М.Ф., Карабин О.О., Меньшикова О.В., Трусевич О.М.
Важливим фактором в засвоєнні математики і оволодіння її методами є самостійна робота студента (курсанта). Система типових розрахунків активізує самостійну роботу студентів і сприяє більш глибокому вивченню курсу вищої математики. Застосування системи типових розрахунків рекомендовано програмою з вищої математики для вузів.
Даний методичний посібник містить теоретичні питання і розрахункову частину задачі. Теоретичні питання є спеціальними для всіх студентів, задачі для кожного студента групи індивідуальні (кожна задача складена в 31 варіанті).
Рекомендована література
А.Д.Кузик., О.М.Трусевич, О.О. Карабин. Аналітична геометрія. – ЛДУ БЖД.– 2006.– 101 с.
В. П. Дубовик, І. І. Юрик. Вища математика. – АСК. – К. 2001. – 647 С.
В. П. Дубовик, І. І. Юрик. Вища математика. Збірник задач – АСК. – К. 2001. – 479 С.
П. П. Овчинников, Ф.П. Яремчук, В. М. Михайленко. Вища математика. – Ч. 1, 2. – К. “Техніка”. – 2000.
Теоретичні питання
Матриці та дії над ними.
Визначники матриць, їх властивості.
Розв'язування систем лінійних рівнянь матричним способом і по правилу Крамера.
Вектори. Лінійні дії над векторами.
Скалярний добуток двох векторів, його властивості, застосування.
Векторний добуток двох векторів: означення, властивості, застосування,
Мішаний добуток трьох векторів: означення, властивості, застосування.
Площина. Векторна і координатна форми рівняння площини. Кут між двома площинами. Віддаль від точки до площини.
Пряма в просторі. Векторне, параметричне, канонічне рівняння прямої.
Основні задачі на пряму і площину.
Приклади розв’язання розрахункових завдань
Завдання №1. Розв’язати систему лінійних рівнянь:
(1)
а) методом Гауса;
б) методом Крамера;
в) матричним методом.
Розв’язання
а) Виконаємо елементарні перетворення над рядками розширеної матриці системи:
Ці перетворення не змінюють розв’язків системи (1), тобто є еквівалентними і позначаються символом « ». В даному прикладі їх можна описати в такий спосіб:
перший рядок матриці залишаємо без змін;
до другого рядка додаємо перший помножений на (-2);
міняємо місцями другий і третій рядок;
множимо другий рядок на 0,5;
до третього рядка додаємо другий помножений на (-3);
множимо третій рядок на 2.
За останньою розширеною матрицею складаємо еквівалентну до (1) систему рівнянь:
(2)
З системи (2) послідовно виключаємо невідомі: . Отже трійка чисел – єдиний розв’язок системи (2), а отже і (1).
Перевірка
Переконаємося, що розв’язок знайдений вірно, підставивши його в кожне з рівнянь системи (1). Отримаємо тотожності:
б) Обраховуємо послідовно головний та допоміжні визначники системи (1):
Тоді, за правилом Крамера, маємо:
Як бачимо, розв’язок отриманий методом Крамера, співпадає з попереднім, отриманим методом Гауса.
в) Запишемо систему (1) в матричній формі:
, (3)
де
Оскільки – невироджена матриця , то існує обернена до неї матриця . Тоді, як відомо, єдиний розв’язок системи лінійних рівнянь (1) можна знайти у вигляді:
(4)
Шукаємо матрицю . Нагадаємо її структуру:
де – алгебраїчні доповнення до елементів матриці .
Далі маємо:
Тому
Отже за формулою (4) остаточно отримуємо:
тобто трійка чисел: , як і в попередніх двох випадках, є розв’язком системи лінійних рівнянь (1).
Завдання №2. Задані точки: , Потрібно знайти:
а) кут між векторами і ;
б) площу паралелограма, побудованого на векторах і , де
в) з’ясувати лінійну залежність векторів де ;
г) знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах де .
Розв’язання
а) Знайдемо спочатку вектори і за координатами їх початку і кінця:
Обчислимо довжини цих векторів:
і їх скалярний добуток:
З означення скалярного добутку векторів отримуємо:
де – кут між векторами і . Отже,
б) Площа паралелограма, побудованого на векторах і , обчислюється з допомогою векторного добутку
(5)
Знайдемо вектори
та векторний добуток в координатній формі
Обраховуючи довжину векторного добутку за формулою (5), маємо:
(кв. од.).
в) Знайдемо вектор де Як і в попередній задачі, маємо
Обчислимо мішаний добуток векторів і в координатній формі:
Отже, вектори – некомпланарні, тобто лінійно незалежні.
г) Як відомо, об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах і , обчислюється за допомогою мішаного добутку векторів, а саме:
. (6)
Обчислимо цей добуток:
Тому за формулою (6) маємо
(куб. од).
Об’єм цього паралелепіпеда можна знайти й іншим шляхом, якщо зауважити, що вектор . Тоді
(скалярний квадрат був порахований в задачі 2б)).
Завдання №3.. Задано точки : , . Написати:
а) канонічне рівняння прямої, що проходить через точку паралельно до вектора
б) рівняння площини , що проходить через точку , перпендикулярно до вектора
в) рівняння площини , що проходить через точки ;
г) знайти кут між площинами і ;
д) якщо , записати канонічне рівняння прямої, що утворюється в результаті перетину площин і .
Розв’язання
а) Канонічне рівняння прямої, що проходить через точку паралельно до вектора має вигляд:
Оскільки і то шукане рівняння запишеться так:
б) Запишемо рівняння площини , використовуючи рівність нулю скалярного добутку взаємно перпендикулярних векторів і , де – біжуча точка площини . Далі маємо:
Тоді отримуємо:
Отже, – загальне рівняння площини .
в) Рівняння площини , що проходить через точки як відомо, має вигляд:
(7)
Зауважимо, що рядками визначника (7) є координати векторів відповідно, де – біжуча точка площини . Розкривши визначник в лівій частині рівності (7) за елементами першого рядка, прийдемо до загального рівняння площини :
або остаточно
г) Кут між площинами і – це кут між нормальними векторами і цих площин. Знайдемо ці вектори:
Використовуючи скалярний добуток векторів і , отримуємо:
тобто і площини , – взаємно перпендикулярні.
д) Щоб записати канонічне рівняння лінії перетину площин і потрібно знайти:
напрямний вектор прямої ;
яку-небудь точку перетину цих площин (прямої ).
За напрямний вектор можна взяти векторний добуток векторів і (див. пункт г)). Знайдемо вектор в координатній формі:
.
Спільною точкою площин і є, наприклад, точка .
Тому канонічним рівнянням прямої (див. задачу 3а)) є наступне рівняння: