n

yt a0 a1 x1t a2 x2t ... an xnt ut ai xit ut (7.1) i 0

Наилучшая линейная процедура получения оценок параметров уравнения (7.1) и условия, при которых эта процедура дает несмещенные и эффективные оценки, сформулирована в теореме Гаусса-Маркова

Карл Фридрих Гаусс

Время жизни 30.04.1777 - 23.02.1855 Научная сфера – математика, физика, астрономия

Андрей Андреевич Марков

Время жизни 14.06.1856 - 20.07.1922

Научная сфера - математика

Постановка задачи:

Имеем случайную выборку наблюдений за поведением экономического объекта объемом n

y

11

x

21 ...

x

k1

y

1

x

22 ...

Выборка наблюдений за переменными

12

k2

2

x

x

x

модели (7.1)

...

...

... ...

...

Первый индекс – номер регрессора

y

1n

2n ...

kn

n

x

x

x

Второй индекс – номер наблюдения

y

0

1

11

a

2

x

21...

n

x

k1

1

1

a

a x

a

u

y2

a0 a1 x12

a2 x22 ... an xk 2 u2

(7.2)

..................................................

a0

a1 x1n

a2 x2n ... an xkn un

y1

(7.2) - Система уравнений наблюдений, связывающая наблюдения в выборке

Сформируем вектора и матрицу коэффициентов на основе системы (7.2)

Y – вектор выборочных значений эндогенной переменной U – вектор выборочных значений случайного возмущения A - вектор неизвестных параметров модели

х – вектор регрессоров

X – матрица коэффициентов при неизвестных параметрах

Y Ax U

По данным выборки найти: Ã, Cov(ÃÃ), σu, σ(ỹ(z)) Теорема (Гаусса – Маркова)

Если матрица Х неколлинеарна и вектор случайных возмущений удовлетворяет следующим требованиям:

1. M u 0 Математическое ожидание всех

i

случайных возмущений равно нулю

	2.	2 ui u2	Дисперсия случайных возмущений
			постоянна во всех наблюдениях
			(условие ГОМОСКЕДАСТИЧНОСТИ)
	3.	Cov ui,uj 0	Случайные возмущения в разных
			наблюдениях не зависимы
		при i j
	4.	Cov xi,ui 0	Случайные возмущения и регрессоры
			не зависимы

Тогда наилучшей линейной процедурой оценки параметров модели (7.1) является:

(7.3)

которая удовлетворяет методу наименьших квадратов

При этом:02T0u210

Доказательство

Воспользуемся методом наименьших квадратов

2

T

n

u

u

S

i

u min

(7.4)

i 1

где

~

~

(7.5)

u Y

Y

Y Xa

Подставив (7.5) в (7.4) получим

T

T

T

T

T

Y

~

~

~

~

S u u Y

Xa

Y Xa Y

~

a

X

Xa

T

~

~

Y

T

T

Y a

T

X

T

Xa

(7.6)

Y

2a

X

Для получения необходимого условия экстремума дифференцируем (7.6) по вектору параметров

S	T
		T ~
	2 X Y 2 X Xa 0
~
a

Откуда система нормальных уравнений для определения искомых параметров получает вид

X	T	~	T	Y	(7.7)
		Xa	X

Решение системы (7.7) в матричном виде есть

Выражение (7.3) доказано

Докажем несмещенность оценок (7.3)

1

1

T

M a M X

X

X

Y M

X

X

X

Xa

u

~

T

T

T

M XT X

1

XT X a

u a

Несмещенность оценки (7.3) доказана

Вычислим ковариационную матрицу оценок (7.3)

~ ~

1

1

1

Cov a,a Cov X

T

X

X

Y, X

X

X

Y u

X

X

T

T

T

2

T

В результате получено выражение (7.4)

Пример 1. Пусть имеем выборку из n наблюдений за случайной величиной Y

Найти наилучшие оценки среднего значения и дисперсии этой переменной

В терминах теоремы Гаусса –Маркова задача формулируется так: необходимо построить модель типа Y = a0 +u, при этом имеем:

Решение

1. Вычисляем (XTX)-1 4. Находим дисперсию среднего

2.Вычисляем (XTY)

3.Вычисляем оценку параметра а0