12) Согласно второму закону Ньютона, для тангенциальной составляющейсилы , действующей на материальную точку массой m, и ускорения
можем
записать
С
учетом, что
и
имеем
Домножимлевую
и правую части на
и получим (5.2)
или
Произведение
массы материальной точки
тела на квадрат ее расстояния
до оси вращения называется моментом
инерции материальной точки относительно
оси вращения: (5.3)
По определению, моментом инерции материальной точки массы М, относительно заданной оси, называется произведение массы на квадрат расстояния от точки до оси:
J=M*R^2.
Аддитивность - свойство системы материальных точек:
момент инерции системы точек равен сумме моментов инерции материальных точек.
Момент инерции твёрдого тела вычисляется с помощью тройного интеграла по объёму тела от произведения плотности тела на квадрат расстояния переменной точки до оси.
13) Момент импульса материальной точки и твердого тела
Момент
импульса материальной точки относительно
точки O определяется векторным
произведением
,
где — радиус-вектор, проведенный из
точки O,
— импульс материальной точки.
Момент
импульса материальной точки относительно
неподвижной оси
равен проекции на эту ось вектора
момента импульса, определенного
относительно произвольной точки O данной
оси. Значение момента импульса
не зависит от положения точки O на оси
z.
Момент
импульса твердого тела относительно
оси есть сумма моментов импульса
отдельных частиц, из которых состоит
тело относительно оси. Учитывая, что
, получим
Если
сумма моментов сил, действующих на тело,
вращающееся вокруг неподвижной оси,
равна нулю, то момент импульса сохраняется
(закон сохранения момента импульса):
Производная
момента импульса твердого тела по
времени равна сумме моментов всех сил,
действующих на тело:
.
Закон
сохранения момента импульса. Для
замкнутой системы тел момент внешних
сил всегда равен нулю, так как внешние
силы вообще не действуют на замкнутую
систему. Поэтому
,
то есть
или
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Это
один из фундаментальных законов природы.
Аналогично для замкнутой системы тел,
вращающихся вокруг оси z:
отсюда
или
Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.
Динамика вращательного движения
Основной
закон динамики вращательного движения:
или
M=Je
, где М -
момент силы M=[
r
·
F
] , J
-
момент инерции
•-момент
импульса тела.
-
если М(внешн)=0 -
закон сохранения момента импульса.
-
кинетическая энергия вращающегося
тела.
работа
при вращательном движении.
14) В динамике поступательного движения материальной точки были введены в дополнение к кинематическим величинам, понятия силы и массы. Аналогично, для изучения динамики вращательного движения тела, помимо рассмотренных кинематических характеристик, вводятся новые величины - момент силы, момент инерции и момент импульса.
Работа вращающего момента равна произведению момента на угол поворота.
Определим
мощность при вращательном движении
Мощность
при вращательном движении тела равна
произведению вращающего момента (момента
пары) на угловую скорость. Подставив в
выражение мощности значение угловой
скорости, выраженной через частоту
вращения
(об/мин) получим
откуда
При данной мощности двигателя максимальный вращающий момент, который двигатель способен развить, можно изменить путем варьирования частоты вращения. Уменьшая частоту вращения, увеличивают вращающий момент и, наоборот, увеличивая частоту вращения, вращающий момент уменьшают.