ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ»

Институт информационных систем управления

Кафедра экономической кибернетики

Лабораторная работа №1

По дисциплине «МСЭПиЭК»

на тему

«Прогноз тенденций развития одномерных временных рядов»

Выполнила: студентка ИИСУ

Группы ММЭ 4-1

Журавлева Мария

Проверила: Аксюк С.А.

Москва - 2011

Предварительный этап. Подготовка исходного массива данных. Общие сведения о показателе.

В данной работе будет исследоваться одномерный временной ряд показателя AEX (Amsterdam Exchange index) CONSUMER GOODS (индекс потребительских товаров, страна – Нидерланды). Базой для построения моделей являются помесячные наблюдения данного показателя. Ретроспективный период составляет 129 месяцев (01/2001-09/2011). Тестовая выборка составит 5 наблюдений для трендовой модели и одно – для всех остальных. Период упреждения – 1 месяц (10/2011). Массив данных находится в приложении 1.

Этап 1. Сглаживание временного ряда методом средней и простой скользящей средней. Оценка точности уровня показателя.

1. Модель средней

В приложении 2 построена модель простой средней. Она имеет вид: .

2. Модель скользящей средней

В приложении 3 было построено несколько вариантов модели адаптивной простой скользящей средней в зависимости от длительности интервала сглаживания (m). Модели имеют вид:

Где

Таким образом, при m=2 p=1 и модель имеет вид:

При m=3:

При m=4:

В таблице 1 представлены предсказанные значения, полученные двумя методами.

период	значение показателя	средняя	скользящая средняя
			m=2	m=3	m=4
1	813,17	987,152
2	877,02	987,152
3	844,36	987,152	845,095
4	856,69	987,152	860,69	844,85
5	924,97	987,152	850,525	859,357	847,81
6	953,18	987,152	890,83	875,34	875,76
7	892,74	987,152	939,075	911,613	894,8
8	874,46	987,152	922,96	923,63	906,895
9	771,4	987,152	883,6	906,793	911,338
10	785,72	987,152	822,93	846,2	872,945
11	829,36	987,152	778,56	810,527	831,08
12	865,08	987,152	807,54	795,493	815,235
13	892,15	987,152	847,22	826,72	812,89
14	947,28	987,152	878,615	862,197	843,078
15	948,6	987,152	919,715	901,503	883,467
16	992,79	987,152	947,94	929,343	913,278
17	1017,36	987,152	970,695	962,89	945,205
18	997,49	987,152	1005,08	986,25	976,507
19	911,97	987,152	1007,43	1002,55	989,06
20	837,21	987,152	954,73	975,607	979,903
21	857,42	987,152	874,59	915,557	941,008
22	798,01	987,152	847,315	868,867	901,023
23	859,33	987,152	827,715	830,88	851,152
24	849,27	987,152	828,67	838,253	837,993
25	838,65	987,152	854,3	835,537	841,007
26	824,31	987,152	843,96	849,083	836,315
27	820,56	987,152	831,48	837,41	842,89
28	821,28	987,152	822,435	827,84	833,197
29	812,44	987,152	820,92	822,05	826,2
30	786,55	987,152	816,86	818,093	819,647
31	804,84	987,152	799,495	806,757	810,207
32	834,95	987,152	795,695	801,277	806,277
33	863,61	987,152	819,895	808,78	809,695
34	816,88	987,152	849,28	834,467	822,487
35	862,39	987,152	840,245	838,48	830,07
36	839,67	987,152	839,635	847,627	844,457
37	812,22	987,152	851,03	839,647	845,638
38	822,04	987,152	825,945	838,093	832,79
39	823,26	987,152	817,13	824,643	834,08
40	843,39	987,152	822,65	819,173	824,298
41	865,42	987,152	833,325	829,563	825,227
42	825,66	987,152	854,405	844,023	838,527
43	850,26	987,152	845,54	844,823	839,432
44	828,34	987,152	837,96	847,113	846,183
45	783,02	987,152	839,3	834,753	842,42
46	807,71	987,152	805,68	820,54	821,82
47	791,73	987,152	795,365	806,357	817,332
48	829,32	987,152	799,72	794,153	802,7
49	863,65	987,152	810,525	809,587	802,945
50	878,19	987,152	846,485	828,233	823,102
51	894,68	987,152	870,92	857,053	840,723
52	873,43	987,152	886,435	878,84	866,46
53	841,42	987,152	884,055	882,1	877,488
54	923,94	987,152	857,425	869,843	871,93
55	919,01	987,152	882,68	879,597	883,367
56	919,19	987,152	921,475	894,79	889,45
57	881,18	987,152	919,1	920,713	900,89
58	911,06	987,152	900,185	906,46	910,83
59	921,6	987,152	896,12	903,81	907,61
60	1016,39	987,152	916,33	904,613	908,257
61	1055,37	987,152	968,995	949,683	932,558
62	1103,51	987,152	1035,88	997,787	976,105
63	1112,47	987,152	1079,44	1058,42	1024,22
64	1119,03	987,152	1107,99	1090,45	1071,93
65	1113,04	987,152	1115,75	1111,67	1097,6
66	1028,2	987,152	1116,03	1114,85	1112,01
67	1038,78	987,152	1070,62	1086,76	1093,18
68	1086,43	987,152	1033,49	1060,01	1074,76
69	1105,96	987,152	1062,61	1051,14	1066,61
70	1125,8	987,152	1096,2	1077,06	1064,84
71	1124,88	987,152	1115,88	1106,06	1089,24
72	1162,68	987,152	1125,34	1118,88	1110,77
73	1204,92	987,152	1143,78	1137,79	1129,83
74	1232,24	987,152	1183,8	1164,16	1154,57
75	1138,69	987,152	1218,58	1199,95	1181,18
76	1230,79	987,152	1185,47	1191,95	1184,63
77	1271,72	987,152	1184,74	1200,57	1201,66
78	1307,78	987,152	1251,26	1213,73	1218,36
79	1328,18	987,152	1289,75	1270,1	1237,24
80	1310,47	987,152	1317,98	1302,56	1284,62
81	1326,15	987,152	1319,33	1315,48	1304,54
82	1344,56	987,152	1318,31	1321,6	1318,15
83	1348,83	987,152	1335,36	1327,06	1327,34
84	1324,74	987,152	1346,69	1339,85	1332,5
85	1347,72	987,152	1336,78	1339,38	1336,07
86	1213,49	987,152	1336,23	1340,43	1341,46
87	1145,62	987,152	1280,61	1295,32	1308,69
88	1180,98	987,152	1179,55	1235,61	1257,89
89	1181,07	987,152	1163,3	1180,03	1221,95
90	1145,27	987,152	1181,03	1169,22	1180,29
91	995,52	987,152	1163,17	1169,11	1163,24
92	957,73	987,152	1070,4	1107,29	1125,71
93	1030,47	987,152	976,625	1032,84	1069,9
94	987,7	987,152	994,1	994,573	1032,25
95	874,21	987,152	1009,09	991,967	992,855
96	749,78	987,152	930,955	964,127	962,528
97	815,25	987,152	811,995	870,563	910,54
98	788,89	987,152	782,515	813,08	856,735
99	688,15	987,152	802,07	784,64	807,033
100	689,85	987,152	738,52	764,097	760,517
101	758,83	987,152	689	722,297	745,535
102	813,63	987,152	724,34	712,277	731,43
103	820,49	987,152	786,23	754,103	737,615
104	906,61	987,152	817,06	797,65	770,7
105	902,04	987,152	863,55	846,91	824,89
106	941,57	987,152	904,325	876,38	860,693
107	988,37	987,152	921,805	916,74	892,678
108	1024,29	987,152	964,97	943,993	934,648
109	1117,68	987,152	1006,33	984,743	964,068
110	1125,11	987,152	1070,99	1043,45	1017,98
111	1142,6	987,152	1121,4	1089,03	1063,86
112	1196,45	987,152	1133,86	1128,46	1102,42
113	1193,84	987,152	1169,53	1154,72	1145,46
114	1163,26	987,152	1195,15	1177,63	1164,5
115	1141,02	987,152	1178,55	1184,52	1174,04
116	1170,72	987,152	1152,14	1166,04	1173,64
117	1132,32	987,152	1155,87	1158,33	1167,21
118	1143,91	987,152	1151,52	1148,02	1151,83
119	1120,08	987,152	1138,12	1148,98	1146,99
120	1128,26	987,152	1131,99	1132,1	1141,76
121	1207,35	987,152	1124,17	1130,75	1131,14
122	1148,54	987,152	1167,8	1151,9	1149,9
123	1163,89	987,152	1177,94	1161,38	1151,06
124	1166,96	987,152	1156,22	1173,26	1162,01
125	1156,66	987,152	1165,43	1159,8	1171,68
126	1155,66	987,152	1161,81	1162,5	1159,01
127	1134,28	987,152	1156,16	1159,76	1160,79
128	1104,87	987,152	1144,97	1148,87	1153,39
129	1055,55	987,152	1119,57	1131,6	1137,87
130		987,152	1080,21	1098,23	1112,59

Таблица 1

Оценим точность прогнозирования с помощью коэффициента несоответствия Тейла:

Также посчитаем средний квадрат ошибки прогноза – s^2 (MSE) и стандартную ошибку прогноза – s (SE) по формулам:

Результаты расчетов в сводной таблице 2.

модель	m	Характеристики модели
		s^2	s	Kt
средней	-	29479,13337	171,694885	0,06479826
скользящей средней	2	3071,681266	55,4227504	0,06065558
	3	3900,714869	62,4557033	0,07205087
	4	4799,955614	69,281712	0,07798541

Таблица 2

Наименьшее значение коэффициента Тейла, а также наименьшее значение S имеет вариант метода скользящей средней с длительностью интервала сглаживания = 2. Построим доверительные интервалы для этого случая по формуле:

Если перестроить модель по всей выборке (n=129), то прогнозное значение индекса в 130 периоде составит 1080,21.

=s=55.058

Значение индекса в периоде 130 находится в интервале между 971,25 и 1189,17.

Этап 2. Сглаживание временного ряда с использованием модели Брауна (экспоненциальное сглаживание). Оценка точности прогнозирования уровня показателя.

1. Простое экспоненциальное сглаживание

Модель простого экспоненциального сглаживания Брауна имеет вид:

Q0 является начальным уровнем временного ряда, характеризующая начальные условия.

В приложении 4 построено несколько вариантов модели простого экспоненциального сглаживания Брауна в зависимости от значения сглаживающего параметра Результаты сглаживания в сводной таблице 3:

период	значение показателя	экспоненциальная средняя
		a=0,3	a=0,5	a=0,8	a=0,9	a=0,95
1	813,17	856,124	842,233	824,846	819,248	816,283
2	877,02	843,238	827,702	815,505	813,778	813,326
3	844,36	853,372	852,361	864,717	870,696	873,835
4	856,69	850,669	848,36	848,431	846,994	845,834
5	924,97	852,475	852,525	855,038	855,72	856,147
6	953,18	874,224	888,748	910,984	918,045	921,529
7	892,74	897,91	920,964	944,741	949,667	951,597
8	874,46	896,359	906,852	903,14	898,433	895,683
9	771,4	889,79	890,656	880,196	876,857	875,521
10	785,72	854,273	831,028	793,159	781,946	776,606
11	829,36	833,707	808,374	787,208	785,343	785,264
12	865,08	832,403	818,867	820,93	824,958	827,155
13	892,15	842,206	841,973	856,25	861,068	863,184
14	947,28	857,189	867,062	884,97	889,042	890,702
15	948,6	884,216	907,171	934,818	941,456	944,451
16	992,79	903,531	927,885	945,844	947,886	948,393
17	1017,36	930,309	960,338	983,401	988,3	990,57
18	997,49	956,424	988,849	1010,57	1014,45	1016,02
19	911,97	968,744	993,169	1000,11	999,186	998,417
20	837,21	951,712	952,57	929,597	920,692	916,292
21	857,42	917,361	894,89	855,687	845,558	841,164
22	798,01	899,379	876,155	857,073	856,234	856,607
23	859,33	868,968	837,082	809,823	803,832	800,94
24	849,27	866,077	848,206	849,429	853,78	856,41
25	838,65	861,035	848,738	849,302	849,721	849,627
26	824,31	854,319	843,694	840,78	839,757	839,199
27	820,56	845,317	834,002	827,604	825,855	825,054
28	821,28	837,89	827,281	821,969	821,089	820,785
29	812,44	832,907	824,281	821,418	821,261	821,255
30	786,55	826,767	818,36	814,236	813,322	812,881
31	804,84	814,702	802,455	792,087	789,227	787,867
32	834,95	811,743	803,648	802,289	803,279	803,991
33	863,61	818,705	819,299	828,418	831,783	833,402
34	816,88	832,177	841,454	856,572	860,427	862,1
35	862,39	827,588	829,167	824,818	821,235	819,141
36	839,67	838,028	845,779	854,876	858,274	860,228
37	812,22	838,521	842,724	842,711	841,53	840,698
38	822,04	830,631	827,472	818,318	815,151	813,644
39	823,26	828,053	824,756	821,296	821,351	821,62
40	843,39	826,615	824,008	822,867	823,069	823,178
41	865,42	831,648	833,699	839,285	841,358	842,379
42	825,66	841,779	849,56	860,193	863,014	864,268
43	850,26	836,944	837,61	832,567	829,395	827,59
44	828,34	840,939	843,935	846,721	848,174	849,127
45	783,02	837,159	836,137	832,016	830,323	829,379
46	807,71	820,917	809,579	792,819	787,75	785,338
47	791,73	816,955	808,644	804,732	805,714	806,591
48	829,32	809,388	800,187	794,33	793,128	792,473
49	863,65	815,367	814,754	822,322	825,701	827,478
50	878,19	829,852	839,202	855,384	859,855	861,841
51	894,68	844,353	858,696	873,629	876,357	877,373
52	873,43	859,451	876,688	890,47	892,848	893,815
53	841,42	863,645	875,059	876,838	875,372	874,449
54	923,94	856,978	858,239	848,504	844,815	843,071
55	919,01	877,066	891,09	908,853	916,028	919,897
56	919,19	889,649	905,05	916,979	918,712	919,054
57	881,18	898,512	912,12	918,748	919,142	919,183
58	911,06	893,312	896,65	888,694	884,976	883,08
59	921,6	898,636	903,855	906,587	908,452	909,661
60	1016,39	905,526	912,727	918,597	920,285	921,003
61	1055,37	938,785	964,559	996,831	1006,78	1011,62
62	1103,51	973,76	1009,96	1043,66	1050,51	1053,18
63	1112,47	1012,69	1056,74	1091,54	1098,21	1100,99
64	1119,03	1042,62	1084,6	1108,28	1111,04	1111,9
65	1113,04	1065,54	1101,82	1116,88	1118,23	1118,67
66	1028,2	1079,79	1107,43	1113,81	1113,56	1113,32
67	1038,78	1064,31	1067,81	1045,32	1036,74	1032,46
68	1086,43	1056,65	1053,3	1040,09	1038,58	1038,46
69	1105,96	1065,59	1069,86	1077,16	1081,64	1084,03
70	1125,8	1077,7	1087,91	1100,2	1103,53	1104,86
71	1124,88	1092,13	1106,86	1120,68	1123,57	1124,75
72	1162,68	1101,95	1115,87	1124,04	1124,75	1124,87
73	1204,92	1120,17	1139,27	1154,95	1158,89	1160,79
74	1232,24	1145,6	1172,1	1194,93	1200,32	1202,71
75	1138,69	1171,59	1202,17	1224,78	1229,05	1230,76
76	1230,79	1161,72	1170,43	1155,91	1147,73	1143,29
77	1271,72	1182,44	1200,61	1215,81	1222,48	1226,42
78	1307,78	1209,22	1236,16	1260,54	1266,8	1269,45
79	1328,18	1238,79	1271,97	1298,33	1303,68	1305,86
80	1310,47	1265,61	1300,08	1322,21	1325,73	1327,06
81	1326,15	1279,07	1305,27	1312,82	1312	1311,3
82	1344,56	1293,19	1315,71	1323,48	1324,73	1325,41
83	1348,83	1308,6	1330,14	1340,34	1342,58	1343,6
84	1324,74	1320,67	1339,48	1347,13	1348,2	1348,57
85	1347,72	1321,89	1332,11	1329,22	1327,09	1325,93
86	1213,49	1329,64	1339,92	1344,02	1345,66	1346,63
87	1145,62	1294,79	1276,7	1239,6	1226,71	1220,15
88	1180,98	1250,04	1211,16	1164,42	1153,73	1149,35
89	1181,07	1229,32	1196,07	1177,67	1178,25	1179,4
90	1145,27	1214,85	1188,57	1180,39	1180,79	1180,99
91	995,52	1193,97	1166,92	1152,29	1148,82	1147,06
92	957,73	1134,44	1081,22	1026,87	1010,85	1003,1
93	1030,47	1081,43	1019,48	971,559	963,042	959,998
94	987,7	1066,14	1024,97	1018,69	1023,73	1026,95
95	874,21	1042,61	1006,34	993,898	991,303	989,662
96	749,78	992,088	940,273	898,148	885,919	879,983
97	815,25	919,396	845,027	779,454	763,394	756,29
98	788,89	888,152	830,138	808,091	810,064	812,302
99	688,15	858,373	809,514	792,73	791,007	790,061
100	689,85	807,306	748,832	709,066	698,436	693,246
101	758,83	772,069	719,341	693,693	690,709	690,02
102	813,63	768,098	739,086	745,803	752,018	755,389
103	820,49	781,757	776,358	800,065	807,469	810,718
104	906,61	793,377	798,424	816,405	819,188	820,001
105	902,04	827,347	852,517	888,569	897,868	902,28
106	941,57	849,755	877,278	899,346	901,623	902,052
107	988,37	877,299	909,424	933,125	937,575	939,594
108	1024,29	910,621	948,897	977,321	983,291	985,931
109	1117,68	944,721	986,594	1014,9	1020,19	1022,37
110	1125,11	996,609	1052,14	1097,12	1107,93	1112,91
111	1142,6	1035,16	1088,62	1119,51	1123,39	1124,5
112	1196,45	1067,39	1115,61	1137,98	1140,68	1141,7
113	1193,84	1106,11	1156,03	1184,76	1190,87	1193,71
114	1163,26	1132,43	1174,94	1192,02	1193,54	1193,83
115	1141,02	1141,68	1169,1	1169,01	1166,29	1164,79
116	1170,72	1141,48	1155,06	1146,62	1143,55	1142,21
117	1132,32	1150,25	1162,89	1165,9	1168	1169,29
118	1143,91	1144,87	1147,6	1139,04	1135,89	1134,17
119	1120,08	1144,58	1145,76	1142,94	1143,11	1143,42
120	1128,26	1137,23	1132,92	1124,65	1122,38	1121,25
121	1207,35	1134,54	1130,59	1127,54	1127,67	1127,91
122	1148,54	1156,38	1168,97	1191,39	1199,38	1203,38
123	1163,89	1154,03	1158,75	1157,11	1153,62	1151,28
124	1166,96	1156,99	1161,32	1162,53	1162,86	1163,26
125	1156,66	1159,98	1164,14	1166,07	1166,55	1166,77
126	1155,66	1158,98	1160,4	1158,54	1157,65	1157,17
127	1134,28	1157,99	1158,03	1156,24	1155,86	1155,74
128	1104,87	1150,87	1146,16	1138,67	1136,44	1135,35
129	1055,55	1137,07	1125,51	1111,63	1108,03	1106,39
130		1112,62	1090,53	1066,77	1060,8	1058,09

Таблица 3

Посчитаем средний квадрат ошибки прогноза, R^2 и коэффициенты Тейла для моделей.

Где n –размер тестовой выборки = 1

m – коэффициент тренда.

Для экстраполяции на основе среднего значения временного ряда (в данном случае) m = 1, для линейного тренда m = 2, для квадратичного тренда m = 3.

, где ,

Результаты расчетов в сводной таблице 4.

модель	a	Характеристики модели
		R^2	s^2	Kt1	Kt2	Ut
Простой экспоненциальной средней	a=0,3	0,812644398	52,3310901	0,077233	0,052545	0,037181
	a=0,5	0,883910152	38,5414598	0,066281	0,045341	0,032077
	a=0,8	0,915955612	24,7637799	0,053129	0,036583	0,025877
	a=0,9	0,920115418	21,683579	0,049715	0,034291	0,024255
	a=0,95	0,921530921	20,3552953	0,048168	0,03325	0,023518

Таблица 4

Из таблицы видно, что лучшей из рассмотренных моделей является модель с параметром а=0,95.