Информатика_1 семестр 2017 / Работа 2 по MathCAD Матрицы и определители

Вычислительная система Mathcad

Работа 2. Матрицы и определители. Решение систем линейных уравнений.

Цель работы

Изучение работы с векторами и матрицами. Знакомство с различными способами решения систем линейных уравнений.

Задание

Решить систему линейных уравнений

тремя способами:

1.С помощью определителей.

2.С помощью векторов и матриц.

3.С помощью блока Given/Find.

Значения коэффициентов приведены в таблице.

									Таблица
						Коэффициенты уравнения
Вариант	a1	a2	a3	b1	b2	b3	c1	c2	c3	d1		d2	d3
1	1,1	5,0	2,2	2,0	-4,5	1,3	-1,0	1,8	-3,3	2,0		0	-5,1
2	2,0	1,3	1,7	1,1	5,0	-3,3	2,0	0	-0,8	-3,8		0	-4,5
3	-0,8	0	-3,3	2,0	1,3	1,7	1,1	-0,8	-4,5	0		1,0	5,0
4	-1,7	1,7	3,3	-4,5	-0,8	-3,3	2,0	5,0	1,3	1,1		2,0	0
5	2,0	-4,5	-0,8	-3,3	1,7	2,0	0	-3,8	-1,7	5,0		5,0	1,3
6	1,3	2,0	0	-3,8	6,0	-4,5	4,0	1,7	-5,2	-3,3		1,3	-0,8
7	1,0	2,0	4,0	-2,0	1,0	-3,0	3,0	5,0	1,0	-1,0		9,0	7,0
8	1,0	3,0	1,0	2,0	5,0	1,0	1,0	1,0	3,0	0		-10	-10

Теоретические сведения

Одиночное число называется скаляром. Столбец чисел называется вектором, а прямоугольная таблица чисел – матрицей. Вектор и матрица

1

рассматриваются в программе как одномерный и двумерный массивы данных.

Создаются векторы и матрицы с помощью панели Матрица щелкая по кнопке . В диалоговом окне задается число строк и столбцов.

Появляется вектор или матрица с полями для заполнения. Заполнение полей производится последовательно от первого до последнего, перемещение курсора по вектору или матрице – с

помощью клавиши Tab или клавиш со стрелками.

Можно изменять размер матрицы, вставляя и удаляя строки и столбцы. Для этого необходимо выполнить следующее.

1)Щелкнуть на одном из элементов матрицы, чтобы заключить его в выделяющую рамку. MathCAD будет начинать вставку или удаление с этого элемента.

2)На панели Матрица щелкнуть по кнопке . Появится диалоговое окно, как при создании матрицы.

3)Указать число строк и (или) столбцов, которые нужно вставить или удалить. Затем щелкнуть по кнопке Вставить или Удалить. Например, чтобы удалить столбец, который содержит выбранный элемент, набрать 1 в поле Столбцов, 0 в поле Строк и щелкнуть по кнопке Удалить.

Если вставляются строки, MathCAD создает строки пустых полей

ниже выбранного элемента. Если вставляются столбцы, MathCAD создает столбцы пустых полей справа от выбранного элемента.

Если строки или столбцы удаляются, MathCAD начинает со строки или столбца, занятых выбранным элементом (т.е. строка или столбец, содержащие выделенный элемент обязательно удаляются). Если удаляются несколько строк и столбцов, строки удаляются вниз от этого элемента, а столбцы – вправо от этого элемента.

Пример результата вставки в матрицу одного столбца и двух строк после выделенного курсором элемента.

Можно обращаться к отдельным элементам массива (вектора или матрицы), используя нижние индексы у обозначения массива. Можно также обращаться к отдельному столбцу массива, используя верхний индекс. Для ввода нижнего индекса используется кнопка на

панели Матрица, верхнего индекса – кнопка . Нумерация строк и столбцов массива начинается с 0 (т.е. первый столбец и первая строка имеют номер 0).

2

Вектор можно умножать на число, векторы одинаковой размерности можно складывать или вычитать.

Матрицы можно умножать на число, транспонировать, перемножать, а также находить определители квадратных матриц.

Примеры способов умножения матрицы на число.

Для транспонирования матрицы ее надо выделить целиком и щелкнуть по кнопке на панели Матрица и ввести знак равенства.

Примеры способов транспонирования матриц

Примеры умножения матриц

Чтобы найти определитель квадратной матрицы нужно после

заполнения матрицы числами щелкнуть по кнопке , а затем ввести знак равенства.

3

Решение системы линейных уравнений с помощью определителей.

Для системы трёх линейных уравнений находится главный определитель системы и вспомогательные определители x, y, z.

a1

b1

c1

Если

a2

b2

c2

0 , решение примет вид:

a3

b3

c3

d1

b1

c1

y

a1

d1

c1

a1

b1

d1

x

x

,

где

d

b

c

; y

,

a

d

c

,

z

z

,

a

b

d

.

x

2

2

y

2

2

2

z

2

2

2

2

d3

b3

c3

a3

d3

c3

a3

b3

d3

Решение системы линейных уравнений с помощью векторов и матриц.

Система n линейных алгебраических уравнений имеет вид:

a11x1 a12 x2 a1n xn b1
					a2n xn				b2
a21x1 a22 x2
a	x a	n 2	x	2	a	nn	x	n	b
	n1 1								n

Ее можно записать в матричной форме Ax b , где A - матрица коэффициентов левой части уравнений системы размерностью n n , С - вектор неизвестных, b - вектор правых частей уравнений системы.

a11	a12	a1n
a21	a22	a2n
A			,
	an 2
an1		ann

x1
x2
C			,
xn

b1 b b2bn

Система имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной, т. е. ее определитель не равен нулю. В этом случае ее решение имеет вид:

С A 1b

При этом

Решение системы линейных уравнений с помощью блока Given/Find.

Для решения систем уравнений может использоваться специальный вычислительный блок, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

4

x1 ,..., xn .

Given — ключевое слово.

Система, записанная логическими операторами в виде равенств и,

возможно, неравенств (при этом в уравнениях используется знак логического равенства в виде символа – жирного знака

равенства, в неравенствах – обычные символы неравенств);

x1 ,..., xn — встроенная функция для решения системы

относительно переменных Вставлять логические операторы следует, пользуясь панелью

инструментов Булевы операторы.

Блок Given/Find использует для поиска решения итерационные методы, поэтому требуется задать начальные значения для всех x1 ,..., xn . Сделать это необходимо до ключевого слова Given. Значение функции Find есть вектор, составленный из решения по каждой переменной. Таким образом, число элементов вектора равно число аргументов Find.

Записать функцию Find (перечислив в скобках неизвестные, входящие в систему) и нажать на клавишу «=». После знака равенства появится вектор решений.

Пример выполнения задания.

Решить тремя способами систему трех линейных уравнений:

x 5y 2z 10,7x 12 y 5z 2,9

3x 4z 3,1

1. Решение системы уравнений с помощью определителей.

5

2. Решение системы уравнений с помощью векторов и матриц.

3. Решение системы уравнений с помощью блока Given/Find.

Содержание отчёта

1Титульный лист.

2Задание.

3Распечатка файла .mcd содержащего выполненное задание с подробными комментариями.

4Выводы по работе.

Контрольные вопросы:

1.Как создаются вектора и матрицы?

2.Как выполняются действия с векторами и матрицами?

3.Как решаются системы линейных уравнений с помощью определителей?

4.Как решаются системы линейных уравнений с помощью векторов и матриц?

5.Как решаются системы линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given/Find?

6