16. Конечная игра двух лиц с нулевой суммой.

Матричную игру с нулевой суммой из двух игроков называют антагонистической. Пусть И1 и И2 имеет множество стратегий. Под стратегиями понимаем совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом ходе игрока в зависимости от сложившейся ситуации. Пусть

A={a₁,a₂…} – игрок 1

B={b₁,b₂…} – игрок 2

Условия игры представлены так называемой функцией выигрыша И1 H(a_i,b_j) в игре с нулевой суммой выигрыш И2 = проигрыш И1. предположим, что функция выигрыша известна обоим игрокам т к в игре только двое игроков, то игра антагонистическая, коалиция невозможна. Если то игра называется матричной. В этом случае H(a_i,b_j) имеет вид матрицы с элементами [a_ij] i=1.m j=1.n. строки – стратегии И1, столбцы – И2, элемент a_ij – выигрыш И1, в случае когда он применяет стратегию a_i, а И2 b_j. В игре двух лиц с нулевой суммой игрок выигрывает столько же, сколько проигрывает И2, причем все выплаты производятся из кармана противника. Решить игру значит найти оптимальную стратегию игроков и их выигрыш. В такой игре исход зависит от поведения обоих игроков. Ни один из игроков не знает, какую стратегию выберет противник_, поэтому имеет место ситуация полной неопределённости, при которой теория вероятностей не может помочь в выборе решения. Игроки действуют рационально. И1 руководствуется принципом максимального выигрыша , И2 руководствуется принципом наименьшего проигрыша . В случае α=β их общее значение – цена игры, седловая точка, т е (a_i^*, b_j^*) – седловая точка. Если седловая точка отсутствует, то исход такой игры определить сложнее, т к не существует ни одной чистой стратегии ни для одного игрока, тогда рассматривают смешанные расширенные игры. Смешанная стратегия игрока – случ вел, значениями которой являются его чистые стратегии. Чтобы задать смешанную стратегию игрока необходимо указать вероятности с которыми выбирается его первоначальная стратегия. Предположим, что игра повторяется многократно. Для матричной игры m*n обозначают P=(p₁, _...p_m) – смешанная стратегия И1, сумма p=1, Q=(q₁, _...q_m) – смешанная стратегия И2, сумма q=1. мат ожидание выигрыша И1 . Смешанная стратегия, которая гарантирует данному игроку наибольший возможный средний выигрыш называется оптимальной смешанной стратегией, а стратегия из которой складываются оптимальные смешанные стратегии – выгодной. Пусть P* - смешанная стратегия И1, Q* - И2. ситуация, когда - седловая точка смешанной расширенной игры, а v=M(P*,Q*) – цена игры.

18. Основные понятия теории принятия решений в условиях неопределенности.

Игра – математическая модель конкретной ситуации, которая предпологает наличие следующего: заинтересованность сторон, возможность действий каждой из сторон, интерес сторон. В экономике модель поведения лиц в виде игры, возникающей при попытке нескольких фирм завоевать более выгодное место на конкурентном рынке или при желании нескольких компаний разделить некоторое количество ресурсов, чтобы каждому досталось как можно больше. Для игр характерна неопределенность результата. Причины неопределенности:

1. Комбинаторные источники

2. Влияние случайных факторов

3. Стратегическое происхождение игр, где игрок не знает, какого образа действий придерживается его противник.

Игры, в которых неопределенность имеет стратегическое происхождение называются стратегическими. Они классифицируются по: числу игроков, количеству стратегий, количеству информации, принципу деления выигрыша( коалиционные и безкоалиционные).

19. Игры с природой: основные понятия.

Принимать решение можно в условиях неопределенности и определенности. Когда решения принимаются в условиях определенности, то имеет место достоверная информация. Принятие решений в отсутствие достоверной информации связано с риском. Теория принятия решений – это аналитический подход к выбору наилучшей альтернативы или последовательности действий. Выделяют три основных уровня классификации принятия решений, которые зависят от степени определенности возможных исходов, с которыми сталкивается лицо, прнимающее решение (ЛПР). Выделяют три типа моделей принятия решений:

1. принятие решений в условиях определенности – ЛПР точно знает последствия исходов любой альтернативы или выбора решений (если на вклад ложим сумму, то она там).

2. принятие решений в условиях риска – ЛПР знает вероятности наступления исходов.

3. принятие решений в условиях неопределенности – ЛПР не знает вероятности наступления исходов для каждого решения.

20. Игры с природой: критерий принятия решений.

Если имеет место полная неопределенность в отношении возможности реализации состояний среды, с которым имеем дело при выборе решений можно представить как вид стратегической игры, в которой первый игрок – лицо, принимающее решение (ЛПР), второй игрок – некая объективная действительность, называемая природой. В этом случае даже приблизительно неизвестны вероятности наступления каждого возможного исхода. Условия такой игры обычно представляются таблицей решений, в которой строки соответствуют стратегиям ЛПР, столбцы – стратегиям природы.

	В1	В2	…	Вn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Элемент a_ij – выигрыш ЛПР, выбравшего стратегию А_i при неопределенности В_j.

В рассмотренной ситуации при выборе наилучшей стратегии из множества {A₁,…,A_m} используются следующие критерии:

1. максимальный критерий или критерий крайнего оптимизма – определяет альтернативу, которая максимизирует максимальный результат для каждой альтернативы, т.е. ЛПР выбирает стратегию, которая соответствует

2. максиминный критерий Вальда или критерий крайнего писсимизма – определяет альтернативу, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы, т.е. ЛПР выбирает стратегию, которая соответствует

3. критерий минимаксного риска Сэвиджа, согласно которому выбирается стратегия, при которой величина риска r_ij в наихудших условиях минимизируется: Риск определяется как

4. критерий оптимизма, пессимизма Гурвица – рекомендуется при выборе решения не руководствоваться ни крайним оптимизмом, ни крайним пессимизмом. Согласно этому критерию стратегия выбирается из условия выбирается ЛПР. При к-1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда.

5. критерий безразличия, согласно которому предпологается, что всевозможные состояния среды (природы) равновесны. Этот критерий определяет стратегию с максимальным средним результатом:

21. Ожидаемая стоимостная оценка, ожидаемая стоимость достоверной информации.

Если известна таблица решений с оценками условий и вероятностями реализации для всех состояний среды можно определить ожидаемую стоимостную оценку EMV для каждой стратегии. Один из наиболее распростроненных критериев выбора альтернативы – максимизация EMV. Для каждой альтернативы ожидаемая стоимостная оценка EMV есть сумма всевозможных оценок условий или выигрышей для этой альтернативы, умноженная на вероятности этих выигрышей: где а_ij – выигрыш лица, принимающего решения при выборе стратегии i и реализации состояний среды j, р_j – вероятность наступления состояния среды j.

Ожидаемой ценностью достоверной информации EVPI называется разность между выигрышем в условиях определенности и выигрышем в условиях риска. Чтобы определить EVPI необходимо:

1. рассчитать математическое ожидание в условиях определенности, которое равно ожидаемому среднему доходу в случае, кода мы имеем достоверную информацию перед тем, как принять решение. Ожидаемый выигрыш в условиях достоверной информации определяется как:

2. рассчитывается

22. Деревья принятия решений: этапы анализа задачи.

Метод «деревья решений» применяется для принятия решений в условии неопределенности. Дерево решений – это графическое изображение процесса решений, в котором отражены состояния среды, альтернативные решения, а также соответствующие вероятности для любых комбинаций альтернатив и состояний среды. Анализ задач осуществляется в 5 этапов:

1. формулировка задач. Среди множества факторов, относящихся к задаче, выделяют существенные и несущественные. На этом этапе должно быть выполнено следующее: а) определение возможности смены информации для эксперимента и реального действия. Б) составление перечня событий, которые с определенной вероятностью могут произойти. В) установление временного порядка расположения событий. Г) установление последовательных действий, которые нужно предпринять.

2. построение дерева решений.

3. оценка вероятностей сложившейся среды, т.е. сопоставление шансов возникновения каждого конкретного события. Данные вероятности определяются либо на основании статистических данных, либо экспериментальным путем.

4. установление выигрышей для каждой возможной комбинации альтернатив и состояний среды.

5. решение задачи путем расчета ожидаемой стоимостной оценки EMV для каждой вершины состояния среды.

В зависимости от отношения к риску решение задачи может выполняться с позиции объективистов и субъективистов. EMV также называется безусловным денежным эквивалентом (БДЭ) игры, который лицо принимающее решение готов заплатить за участие в игре, или та минимальная сумма денег, за которую готов отказаться от игры. Игрок, для которого БДЭ= EMV игры, называется объективистом. Игрок, для которого БДЭне= EMV игры, называется субъективистом.

24. Простейшая модель оптимального размера.

Предположение:

1. темп спроса на товар известен и постоянен

2. получение заказа мгновенно

3. закупочная цена не зависит от размера заказа

4. дефицит не допускается

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки хранения. Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.

Будем считать, что размер заказа постоянный, заказ выполняется мгновенно, уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, пока не достигнет нулевого значения. В этот момент времени делается и мгновенно выполняется заказ и уровень запасов восстанавливается до максимального значения. При этом оптимальным решением задачи будет такой размер заказов, при котором минимизируются общие издержки за период, равный сумме издержек хранения и издержек заказа.

Формализация модели: Пусть Q – размер заказа, Т – продолжительность периода планирования. D,d – величина спроса за период планирования и за единицу времени соответственно. К – издержки одного заказа. H,h – удельные издержки хранения за период и единицу времени соответственно. Тогда С₁=DK/Q – издержки запасов за период планирования. С₂=QH/2 – издержки хранения за период планирования. С=С₁+С₂ – совокупные издержки. Решая задачу на экстремум С=С(Q) получаем

оптимальный размер заказа, когда С->min. Оптимальное число заказов за период: N=D/Q^*. Время цикла, т.е. оптимальное время между заказами: t=T/N или t=Q^*/d. Оптимальный размер заказов не зависит от тены товаров заказа.

25. Модель оптимального размера заказа с фиксированным временем его выполнения

Предположение:

1)Темп спроса на товар известен и постоянен

2) Время выполнения заказа известно и постоянно

3) Закупочная цена не зависит от размера заказа

4) Дефицит не допускается.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, время выполнения заказа.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запаса, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.

Будем считать, что размер заказов постоянный, время выполнения заказов постоянно, уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, пока не достигнет точки восстановления. В этот момент делается заказ, который выполняется за время L. К моменту поступления заказа размер запасов = 0.

Оптимальное решение задачи это такой размер заказа Q^*, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек заказа.

Пусть Q – размер заказа, L – время выполнения заказа, тогда C₁ = DK/Q – издержки заказа за период планирования. C₂ = QH/2 – издержки хранения за период планирования. C₃ = C₁ + C₂ – совокупные издержки.

R=dL, N=D/Q^*, t=Q^*/d, t=T/N

26. Модель оптимального размера заказа с производством

Предположим, что:

1) темп спроса на товар известен и постоянен.

2) Темп производства товара известен и постоянен

3) Время выполнения заказа известно и постоянно

4) Закупочная цена не зависит от размера заказа

5) Дефицит не допускается.

Исходные данные: темп спроса, темп производства, издержки заказа, издержки хранения, время выполнения заказа.

Результаты: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления.

Предполагается, что фирма производит продукт самостоятельно, хранит его на складе и расходует с постоянным темпом. Если темп производства выше темпа спроса, то излишки продукта накапливаются на складе. Когда количество продукта на складе достигает максимального значения, производство прекращается и продукт расходуется со склада с постоянным темпом. Когда запас на складе достигает точки восстановления, производство возобновляется.

Оптимальным решением задачи является такой размер запаса Q^*, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения и издержек на возобновление (запуск производства).

Q – размер заказа, р – темп производства, Т – продолжительность периода планирования, D,d – величина спроса за период планирования и единицу времени соответственно, К – фиксированные издержки на запуск производства, Н,h – издержки за период хранения и единицу времени соответственно, L – время, необходимое для запуска производства.

tgα = p – d , tgβ = d.

DK/Q - издержки на запуск производства.

3) R = dL – точка восстановления

4) N = D/Q^* - оптимальное число заказов за период

5) t = Q^*/d = T/N – оптимальное время между заказами.

В этой модели оптимальный размер заказа не зависит от цены продукта.

27. Модель оптимального размера заказа с дефицитом

Предположим, что:

1) темп спроса на товар известен и постоянен

2) время выполнения заказа известно и постоянно

3) Закупочная цена не зависит от размера заказа

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки хранения, издержки дефицита.

Результат моделирования: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запасов, совокупные издержки.

Предположим, что размер заказа постоянный, уровень запасов убывает с постоянной интенсивностью, допускается дефицит продукта. После получения заказов фирма компенсирует дефицит и восстанавливает запас продуктов на складе, заказ делается тогда, когда дефицит достигает оптимального размера.

Оптимальным решением задачи является такой размер заказа Q^*, при котором минимизируются общие издержки за период, равные сумме издержек хранения заказов и издержек дефицита. Q- размер заказа, Т – продолжительность периода планирования, D,d – величина спроса за период планирования и единицу времени соответственно, Н,h – издержки за период планирования и единицу времени соответственно, В,b – упущенная прибыль, возникающая в следствие дефицита одной единицы продукта за период планирования и единицу времени соответственно, S – максимальный запас продукции, L – время выполнения заказов.

DK/Q – издержки заказа за период планирования, S²H/2Q – издержки хранения, (Q – S)²B/2Q – издержки дефицита.

28. Модель оптимального размера заказа с количественными скидками

Предположим, что:

1) темп спроса на товар известен и постоянен

2) время выполнения заказа известно и постоянно.

Исходные данные: темп спроса, издержки заказа, издержки хранения, цена товара, количественные скидки в случае закупки крупных партий товара.

Результат: оптимальный размер заказа, время между заказами, точка восстановления запасов, количество заказов за фиксированный период времени, совокупные издержки.

Предполагаем, что известна цена продукта С_i при размере заказа Q во временном интервале a_i-1≤ 0 ≤ a_i, a₀ = 0, a_n = ∞. Тогда DK/Q – издержки заказа за период планирования. QH/2 – издержки хранения. c_iD – издержки на закупку товара. C_i = DK/Q + QH/2 + c_iD.

Оптимальный размер заказа определяется в результате решения n задач. Каждая из этих задач сводится к определению такого размера Q_i^*, при котором функция совокупных общих затрат C_i достигает минимума при ограничениях a_i-1≤ Q ≤ a_i. Решение исходной задачи определяется из условия: