- •Соединения
- •Дать определение вероятности и относительной частоты событий.
- •Сформулировать теорему сложения вероятностей и теорему умножения вероятностей.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •Дать определение формулы полной вероятности и формулы Бейеса.
- •Формула полной вероятности и формула Бейеса
- •Написать формулу Бернулли.
- •Написать формулу Биномиального закона распределения.
Дополнительные вопросы по теории вероятности и математической статистике.
Написать формулу размещения или перестановки или сочетания и привести пример для каждой из формул.
Соединения
Размещениями из n по m называются такие их соединения, которые различаются друг от друга самими элементами или их порядком. Например: размещения из 3 элементов a, b, c по 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb ( ). Число всех размещений n различных элементов по m обозначается .
Перестановками из n элементов называют их соединения, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в них элементов. Например: перестановки из трех элементов a, b, c: abc, bca, cab, cba, bac, acb. Число всех перестановок из n обозначается :
Если среди n элементов a, b, c, … имеются одинаковые ( a повторяются раз, b - раз, c - раз и т. д.), то
.
Сочетаниями из n элементов по m отличающиеся друг от друга только самими элементами. Например: сочетания из трех элементов a, b, c по 2: ab, ac, bc. Число всех сочетаний из n различных элементов по m (обозначается ):
, (0!=1).
Основное свойство сочетаний:
.
Дать определение вероятности и относительной частоты событий.
Классическое и статистическое определение вероятности.
При классическом определении вероятность события определяется равенством
где m- число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A; n- общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.
Относительная частота события A определяется равенством
число испытаний, в которых A наступило, n- общее число произведенных испытаний.
При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту.
Сформулировать теорему сложения вероятностей и теорему умножения вероятностей.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий:
(1).
В этой формуле: - вероятность суммы двух несовместных событий и , т. е. вероятность наступления одного из двух событий, безразлично какого (или , или ); - вероятность наступления события ; - вероятность наступления события ; - сумма вероятностей и .
Если - n попарно несовместных событий, то
(2).
Если образуют группу, то
. (3).
Если и - два несовместных события, образующих полную группу, то - событие противоположное событию . Вероятность события равна
Теорема умножения вероятностей:
(4)
В этой формуле - вероятность произведения двух зависимых событий и , т. е. вероятность их совместного наступления (наступления и события , и события ); - вероятность наступления события ; - условная вероятность события , вычисленная в предположении, что событие уже наступило; - произведение вероятности события на условную вероятность .
В частности, для двух независимых событий и :
(5)
В этой формуле - вероятность произведения двух независимых событий и , т. е. вероятность их совместного наступления (наступления и события , и события ), - вероятность наступления события ; - вероятность наступления события ; - произведение вероятностей событий и .
Если - n зависимых событий, то
(6).
В этой формуле - вероятность произведения событий , т. е. вероятность их совместного наступления; - условная вероятность события , вычисленная в предположении, что событие наступило; …, - вероятность события , вычисленная в предположении, что все предыдущие события наступили.
В частности, для независимых событий :
, (7)
Где - вероятность произведения событий ; - произведение вероятностей этих событий.