5 Соответствия и функции

Определение 11 Соответствием между множествами A и B называется подмно-

жество их прямого произведения (G ? A * B). Множество ?p1G называется областью

определения соответствия, а ?p2G - областью значений.

Соответсвие G называется:

- всюду определенным, если ?p1G = A(в противном случае - частичным),

-сюръективным, если ?p2G = B,

-инъективным, если прообразом любого элемента из ?p2G является единственный эле-

мент из ?p1G.

Рис. 3: Всюду определенное

соответствие

Рис. 4: Частичное соответ-

ствие

Рис. 5: Сюръективное и инъ-

ективное соответствие

Определение 12 G называется функциональным соответствием (или функци-

ей), если образом любого элемента из ?p1G является единственный элемент из ?p2G.

Функция G называется взаимно однозначным соответствием или биекцией, если

она:

- всюду определена,

- сюръективна,

- инъективна.

Рис. 6: Функция

Рис. 7: Взаимно однозначное соответствие

Пример 12 A - множество стационарных телефонов г. Красноярска, B - множество

семизначных номеров.

Соответствие G ? A * B всюду определенное (у каждого телефона есть номер), но

не сюръективное (не каждому семизначному числу соответствует телефон).Кустицкая Т.А. Дискретная математика 11

Пример 13 Англо-русский словарь устанавливает соответствие между множеством

английский и множеством русских слов.

Это соответствие не является функциональным, т.к.многим английским словам со-

ответствует несколько русских слов.

Пример 14 Круг G радиуса 1 c центром в (3, 2) задает со-

ответсвие между R и R (осью абсцисс и осью ординат).

G = {x, y|(x ? 3)

2

+ (y ? 2)

2

? 1}

Соответствие не является функциональным.

G : 4 ? 2, G : 3 ? [1, 3]

Пример 15 y = x

2

Это соответствие между R и R функциональное,но не взаимно однозначное, т.к.

например прообразами числа 4 являются числа 2 и ?2.

Пример 16 Множество векторов вида (n, 2

n?1

) задает взаимнооднозначное соответ-

ствие между множеством натуральных чисел N и множеством M2n степеней числа

2.

Утверждение 1 Если между конечными множествами A и B существует взаимно од-

нозначное соответствие, то |A| = |B|.

Доказать самостоятельно.

5.1 Функции

Если функция f устанавливает функциональное соответствие между множествами A и B,

то это записывается следующим образом: f : A ? B.

Каждому элементу a из своей области определения функция ставит в соответствие

единственный элемент b из области значений. Это обозначается хорошо известной запи-

сью f(a) = b.

Элемент a называется аргументом функции f, а число b - значением функции.

Определение 13 Всюду определенная функция f : A ? B называется отображением

множества A в множество B. Если соответствие f является при этом сюръективным,

то говорят, что имеет место отображение A на B.

Пример 17 Каждому человеку живущему на Земле в фиксированный момент време-

ни соответствует множество его знакомых. Это отображение множества людей M

в множество всех подмножеств M - 2M.

Каждому человеку соответствует его время рождения (в формате час-минута). Это

отображение множества людей на множество моментов времени в сутках.12 Кустицкая Т.А. Дискретная математика

Рис. 8: Отображение A в B Рис. 9: Отображение A на B

Функции f и g равны, если их область определения - одно и тоже множество A и

?a ? A f(a) = g(a)

Функция типа A1 *A2 *· · ·*An ? B называется n - местной. В этом случае она имеет

n аргументов f(a1, a2, . . . , an) = b, a1 ? A1, . . . , an ? An, b ? B.

Пример 18 Арифметическая функция (сложение, вычитание, умножение и деление дей-

ствительных чисел) - 2-х местная функция (f : R2 ? R).

Вычисление длины трехмерного вектора d(x, y, z) =

p

x

2 + y

2 + z

2

- 3-х местная.

Определение 14 Функция g : B ? A называется обратной к функции f : A ? B

(g = f

?1

), если

f(g(y)) = y ?y ? B,

g(f(x)) = x ?x ? A.

Теорема 4 Функция f(x) обратима на M ? A тогда и только тогда, когда она инъек-

тивна на M.

Определение 15 Пусть даны две функции f : A ? B, g : B ? C. Функция h : A ? C

называется композицией функций f и g (h = f ? g), если имеет место равенство h(x) =

g(f(x)); ?x ? A. Говорят, что h получена подстановкой f в g.

Функция, полученная из функций f1, . . . , fn последовательной подстановкой их друг в

друга и переименованием аргументов называется суперпозицией f1, . . . , fn.

Пример 19 Функция f(x1, x2) =

p

sin(x1 + x2) является суперпозицией функций - двух-

местной f1(x1, x2) = x1 + x2 и одноместных f2(x) = sin(x), f3(x) =

?

x.

Определение 16 Элементарной называется функция, являющаяся суперпозицией

фиксированного (т.е. независящего от значений аргументов) числа арифметиче-

ский функций, степенных функций, показательной и логарифмических функций,

тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Задание 7 Является ли f(x) = |x| элементарной функцией?

Является ли элементарной функцией sgnx =

?

??

??

1, x > 0;

0, x = 0;

?1, x < 0

?Кустицкая Т.А. Дискретная математика 13