ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ КОСМИЧЕСКИХ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Теория вероятностей и математическая статистика
Типовой расчет
Вариант 8
Выполнил: Ермолин Павел
Группа КИ10-07
Проверил: Шлёпкин А.К.
Красноярск
2011
Задача 1
Число возможных способов упорядочить множество чисел
Событие A – при упорядочивание множества чисел каждое четное число имеет четный номер среди множества nчетных чисел и n нечетных чисел.
Число способов упорядочить множество чисел благоприятствующие наступлению события А, равно
По определению вероятности
Ответ: вероятность того что при упорядочивании множества чисел каждое четное число имеет четный номер, равна
Задача 2
Определить вероятность безотказной работы за время Т электрической цепи, состоящей из пяти независимо работающих элементов. Вероятности отказов элементов за время Т заданы таблицей.
|
|
|
|
|
|
p |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
Решение:
Пусть событие ={выход из строя элемента }, тогда .
Событие Е – цепь вышла из строя, тогда . Используя теоремы сложения и умножения вероятностей, а также условия независимости события получаем, что:
0.1+0.2+0.3+0.4*0.5-0.1*0.2-0.1*0.3-0.1*0.4*0.5-0.2*0.3-0.2*0.4*0.5-0.3*0.4*0.5+0.1*0.2*0.3+0.2*0.3*0.4*0.5+0.1*0.3*0.4*0.5+0.1*0.2*0.4*0.5=0.578
Тогда вероятность безотказной работы 1-P(E)=1- =0.422
Ответ: 0.422
Задача 3
Игра между А и В ведется на следующих условиях: первый ход всегда делает А, он может выиграть с вероятностью , если А не выигрывает, то ход делает В и может выиграть в вероятностью . Если В не выигрывает, то А делает второй ход, который может привести к выигрышу с вероятностью . Если А вторым ходом проигрывает, то победителем считается В. Найти вероятность выигрыша для А и В.
Дано:
Решение: Введем обозначения:
Событие А1 – игрок А выиграл с первого раза
Событие – игрок А не выиграл с первого раза
Событие А2 – игрок А выиграл со второго раза
Событие – игрок А не выиграл со второго раза
Событие B1 – игрок B выиграл с первого раза
Событие – игрок B не выиграл с первого раза
Событие C – выиграл игрок А
Событие D – Выиграл игрок В
Выразим события С, D через события А1, , А2, , B1, :
C=
Тогда
Ответ: Вероятность выигрыша для игрока А равна 0,181, а для игрока B–0,819
Задача 4
На складе готовой продукции находитсяn=9изделий, среди которых k=6 высшего качества. Наудачу выбирают m=3 изделий. Найти вероятность того, что среди них l=1 изделий высшего качества.
Решение
Событие А- среди выбранных 3 изделий оказалось высшего качества. Число N всех возможных способов выбора 3 изделий из 9 (общее число исходов) равно числу сочетаний (без повторения элементов) из n элементов по m:
Число M способов выбора 3 изделий из 9, благоприятствующих наступлению события А равно:
Тогда по определению вероятность события А равна:
Ответ: Вероятность того, что среди выбранных 3 изделий оказалось 1 высшего качества равна 0,2143
Задача 5
На складе хранится изделий, изготовленных на заводе 1, изделий – на заводе 2, изделий - на заводе 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе1, высшего качества равна . Для деталей изготовленных на заводах 2 и 3, эти вероятности равны . Найти вероятность того, что при проверке наудачу взятая деталь окажется высшего качества. Какова вероятность того, что она была изготовлена на заводе 2?
Дано: , , , , ;
Решение:
Событие А при проверке наудачу взятая деталь оказалась высшего качества. Это событие может произойти вместе с одной из гипотез , образующих полную группу попарно не совместимых событий:
- наудачу взятая деталь со склада изготовлена на заводе 1;
- наудачу взятая деталь со склада изготовлена на заводе 2;
- наудачу взятая деталь со склада изготовлена на заводе 3.
Найдем вероятности гипотез , следовательно
Проверка: следовательно, вероятности гипотез определены верно.
Вычислим условные вероятности i=1,2,3 того, что наудачу взятая деталь оказалась высшего качества при условии, что она изготовлена на заводеI.
По формуле полной вероятности : имеем
Определим теперь вероятность того, что наудачу взятая деталь, оказавшаяся высшего качества, была изготовлена на заводе 2.
Применим формулу Байеса: ,
Таким образом, ;
Ответ: Вероятность того, что при проверке наудачу взятая деталь окажется высшего качества, равна 0,804, а вероятность того, что она была изготовлена на заводе 2, равна 0,31343