Экзаменационные билеты (і семестр)

1. Множества и операции над ними. Основные числовые множества. Высказывания. Логические операции над выше названными.

Ответ: Множество-первичное неопределяемое понятие, характеризуется как набор элементов обладающих одинаковым свойством.

Операции над множеством

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В.

Разностью множеств А,В-множеств, состоящее из всех тех элементов которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Основные числовые множества

Множество всех натуральных, целых, рациональных(это множество

всех обыкновенных дробей), иррациональных(это множество

всех бесконечных десятичных непериодических дробей) ,действительных и комплексных чисел.

Высказывания

Простое высказывание- повествовательное предложение, в отношении которого можно сказать, истинно оно или ложно. Взыскания обозначаются А,В,С,..,….

Если А-истинное высказывание то его значение –«И», если ложное то –«Л».

Логические операции над выше названными

Сложные высказывания получают из простых при помощи логических операций, к которым относятся отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность (эквиваленция).

Конъюнкцией двух высказываний называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба составляющие ее высказывания истинны.

Дизъюнкцией двух высказываний называется такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба составляющие ее высказывания ложны.

Импликация высказываний А, В определяется как такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание А истинно, а высказывание В ложно.

Эквивалентность двух высказываний А, В определяется

как высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда

высказывания А, В оба истинны или оба ложны.

2. Факториал. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Формулы сокращенного умножения: (a±b) 3, a±b3

Ответ :Факториал- произведение натуральных чисел от единицы до какого-нибудь данного натурального числа n, т.е. , обозначается n!.

Метод математической индукция.

Бином Ньютона

Формулы квадрата и куба суммы являются частными случаями формулы бинома Ньютона

Коэффициенты в формуле бинома Ньютона называются биномиальными коэффициентами. Биномиальные коэффициенты можно вычислять, используя схему, которая называется треугольником Паскаля. Все строки начинаются и заканчиваются единицей, каждый внутренний элемент строки равен сумме двух соседних элементов в предыдущей строке, стоящих над искомым элементом:

Формула бинома Ньютона обладает следующими свойствами:

1) в разложении двучлена (a + b)n по формуле Ньютона содержится n + 1 член;

2) в разложении (a + b)n показатель степени а убывает от n 0, а показатель степени b возрастает от 0 до n;

3) сумма показателей степеней a и b в каждом члене равна n;

4) биномиальные коэффициенты членов, равноудаленных от концов разложения, равны между собой;

5) сумма биномиальных коэффициентов разложения (a + b)n равна 2n;

6) сумма биномиальных коэффициентов членов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов членов, стоящих на

нечетных местах, и равна 2n-1.

Формулы сокращенного умножения: (a±b) ³, a³ ± b³

(a±b) ³= a³ ± 3a²b + 3ab²±b³⁽куб суммы)

a³ ± b³ =(a ± b)( a² ± ab + b²)( сумма кубов;)

3. Многочлены. Корни многочлена. Теорема Безу.

Выражение вида

называется многочленом n-й степени от одной переменной х, записанным в стандартном виде.

Теорема Безу. Если уравнение а₀хⁿ + a₁x^n-1+ … + a_n-1x+a_n = 0, где все коэффициенты целые, имеет целые корни, то это делители свободного члена.

4. Рациональные дроби. Разложение на сумму простейших дробей. Метод неопределенных коэффициентов.

Рациональной дробью называется выражение вида, где многочлены степени n и m соответственно и

Если для рациональной дроби выполняется n . m, то дробь называется неправильной, если n < m – дробь называется правильной.

Среди рациональных дробей выделяют 4 типа простейших дробей:

Разложение на сумму простейших дробей

1. необходимо выделить целую часть делением многочлена на многочлен

2.Разложить на множители

3. Если разложение знаменателя имеет вид , то дробь

можно представить в виде суммы простейших дробей

4.Для нахождения коэффициентов привести правую часть равенства к общему знаменателю, который будет равен знаменателю исходной дроби

5.Приравнять числители дробей.

6. Вычислить значения неопределенных коэффициентов A1;A2; ... и т. д. Для вычисления данных коэффициентов используют следующие методы:

а) метод неопределенных коэффициентов: многочлены влевой и правой части равенства записать в стандартном виде и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях числителя;

б) метод частных значений: придать произвольные значения переменной х (удобнее использовать значения x = a; x = b и т. д.) и получить равенства для исходных коэффициентов;

7)Подставить полученные числовые значения коэффициентов в равенство , что и будет искомые разложением

Метод неопределенных коэффициентов-

метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций Понятие комплексного числа, и арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме.

5. Понятие комплексного числа, и арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме.

5. Тригонометрическая форма комплексного числа, действия над числами в тригонометрической форме. Показательная форма комплексного числа.

Абсцисса a и ордината b комплексного числа a + b·i выражаются через модуль r и аргумент φ формулами Это так называемая, нормальная тригонометрическая форма, или просто, тригонометрическая форма комплексного числа.

В противоположность тригонометрической форме выражение вида a + b·i называется алгебраической или координатной формой комплексного числа.

7. Понятие матрицы, виды матриц. Линейные операции над матрицами. Транспонирование и умножение матриц.

Матрица - это таблица, состоящая из определенного количества строк и столбцов, заполненная элементами. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера n x n  называют матрицей n-го порядка.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной

Сложение матриц.- Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В,

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Перемножение матриц.

Матрицы бывают нескольких видов

1)Прямоугольная

2) Квадратная-это матрица равная с количеством строк и столбцов

3)Нулевая-это матрица которые все элементы равны нулю

4)Диагональная-это квадратная матрица у которой все элементы не стоящие на главной диагонали равны нулю

5)Единичная – это Диагональная матрица у которой каждые элемент главной диагонали равен единице

6)Треугольная -это квадратная матрица у которой все элементы расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю

7)Матрица столбец

7. Определители 2-го, 3-го порядка, их свойства, способы вычисления.

Пусть задана квадратная таблица из 4-х чисел:

, -элементы определителя

Число называется определителем 2-го порядка

Определителем3-го порядка, вычисляется по правилу треугольника

* * * * * *

* * * * * *

* * * * * *

Минором какого-либо элемента называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со своим или противоположным знаком по следующему правилу:

Если сумма номеров столбца и строки, на пересечении которых стоит элемент, есть число четное, то минор берется со своим знаком, если не четная- с противоположным.

Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

7. Обратная матрица.

Обратная матрица.-это такая матрица A⁻¹,которая при умножении на исходную матрицу A которая получает результат в единичной матрице. А также обратная матрица может существовать только в квадратной матрице