Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:
\documentstyle[12pt,draft,russcorr]{article}
\tolerance4400
%\newcommand{\ctg}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
%\newcommand{\sh}{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\newcommand{\ch}{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\newcommand{\th}{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\newcommand{\cth}{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\newcommand{\rot}{\mathop{\rm rot}\nolimits}
%\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
%\newcommand{\arcctg}{\mathop{\rm arcctg}\nolimits}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\let\o=\omega
\let\e=\varepsilon
\let\t=\tau
\let\tet=\vartheta
\let\f=\varphi
\let\d=\partial
\let\a=\alpha
\let\b=\beta
\let\z=\zeta
\let\g=\gamma
\let\O=\Omega
\let\de=\delta
\let\De=\Delta
\let\D=\Delta
\let\di=\displaystyle
\let\ss=\section
\let\sss=\subsection
\begin{document}
\begin{center}\large \bf ЊЁЁбвҐабвў® ®Ўа §®ў Ёп ђ®ббЁ©бЄ®© ”Ґ¤Ґа жЁЁ
\bigskip
\it ``ЊЂ’€"- ђЋ‘‘€‰‘Љ€‰ ѓЋ‘“„Ђђ‘’‚…ЌЌ›‰
’…•ЌЋ‹Ћѓ€—…‘Љ€‰ “Ќ€‚…ђ‘€’…’ Ё¬.~Љ.~ќ.~–€Ћ‹ЉЋ‚‘ЉЋѓЋ
\vskip30pt
\rm
Љ 䥤а "‚лби п ¬ ⥬ вЁЄ "
\vskip 80pt
\bf Ђ.~‚.~†Ґ¬ҐаҐў
\vskip20pt
„€””…ђ…Ќ–€Ђ‹њЌЋ… €‘—€‘‹…Ќ€… ”“ЌЉ–€€ Ћ„ЌЋ‰ Џ…ђ…Њ…ЌЌЋ‰
\bigskip
— бвм 1
\bigskip
\rm ЊҐв®¤ЁзҐбЄ®Ґ Ї®б®ЎЁҐ ¤«п бв㤥⮢ 1-Ј® Єгаб 2-Ј®~д Єг«мвҐв ЊЂ’€
\vskip 150pt
Њ®бЄў 2003 Ј.
\end{center}
\thispagestyle{empty}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\ss{Џа®Ё§ў®¤ п дгЄжЁЁ}
Џгбвм дгЄжЁп $y=f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $•$.
‚®§м¬Ґ¬ $x\in X$. „ ¤Ё¬ § 票о $x$ ЇаЁа 饨Ґ $\D x\ne 0$,
в®Ј¤ дгЄжЁп $y(x)$ Ї®«гзЁв
ЇаЁа 饨Ґ $\D y=f(x+\D x)-f(x)$.
{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ}. {\it {\bf Џа®Ё§ў®¤®© дгЄжЁЁ} $y=f(x)$
§лў Ґвбп ЇаҐ¤Ґ« ®в®иҐЁп ЇаЁа 饨п дгЄжЁЁ $\D y$ Є ЇаЁа 饨о
Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®© $\D x$ ЇаЁ бв६«ҐЁЁ Ї®б«Ґ¤ҐЈ® Є г«о (Ґб«Ё нв®в
ЇаҐ¤Ґ« бгйҐбвўгҐв)}:
$$y'=\lim_{\D x\to 0}\frac{\D y}{\D x}=
\lim_{\D x\to 0}\frac{f(x+\D x)-f(x)}{\D x}\equiv f'(x)\equiv \frac{dy}{dx}.$$
Ќ 宦¤ҐЁҐ Їа®Ё§ў®¤®© дгЄжЁЁ §лў Ґвбп {\it ¤ЁддҐаҐжЁа®ў ЁҐ¬} нв®©
дгЄжЁЁ.
{\it …б«Ё дгЄжЁп ў в®зЄҐ $x$ Ё¬ҐҐв Є®Ґзго Їа®Ё§ў®¤го,
в® дгЄжЁп §лў Ґвбп {\bf ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®©} ў нв®©
в®зЄҐ}.
”гЄжЁп, ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 п ў® ўбҐе в®зЄ е Їа®¬Ґ¦гвЄ $•$
§лў Ґвбп {\it ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© н⮬
Їа®¬Ґ¦гвЄҐ}.
\sss{‘奬 ўлзЁб«ҐЁп Їа®Ё§ў®¤®©}
Џа®Ё§ў®¤ п дгЄжЁЁ $y=f(x)$ ¬®¦Ґв Ўлвм ©¤Ґ Ї® б«Ґ¤го饩 {\bf б奬Ґ:}
{\bf 1.} „ ¤Ё¬ аЈг¬Ґвг $x$ ЇаЁа 饨Ґ $\D x\ne 0$
Ё 室Ё¬ ЇаЁа 饨Ґ дгЄжЁЁ $\D y=f(x+\D x)-f(x)$.
{\bf 2.} ‘®бв ў«пҐ¬ ®в®иҐЁҐ $\di{\frac{\D y}{\D x}}$.
{\bf 3.} Ќ 室Ё¬ ЇаҐ¤Ґ«
$$\lim_{\D x\to 0} \frac{f(x+\D x)-f(x)}{\D x}=y'$$
(Ґб«Ё ® бгйҐбвўгҐв).
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤го дгЄжЁЁ $y(x)=x^2$.
$$\D y=(x+\D x)^2 -x^2=2x\D x+(\D x)^2.$$
$$\lim_{\D x\to 0}\frac{(2x+\D x)\D x}{\D x}=2x.$$
\sss{ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« Їа®Ё§ў®¤®©}
{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ Є б ⥫쮩.}
‡ ¬ҐвЁ¬, зв® Є б ⥫мго Є ЄаЁў®© $y=f(x)$
Ґ«м§п ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм Є Є Їап¬го, Ё¬Ґойго
б ЄаЁў®© ®¤г ®Ўйго в®зЄг, в Є Є Є ў н⮬ б«гз Ґ «оЎго Їап¬го,
ЇҐаҐбҐЄ ойго ЄаЁўго $y=f(x)$, ¬®¦® Ўл«® Ўл §ў вм Є б ⥫쮩.
„ ¤Ё¬ аЈг¬Ґвг $x_0$ ЇаЁа 饨Ґ $\D x$ Ё а бᬮваЁ¬ ¤ўҐ в®зЄЁ
ЄаЁў®© $M_0=\{x_0;f(x_0)\}$ Ё $M_1=\{x_0+\D x;f(x_0+\D x)\}$ (б¬. аЁб. 1).
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F6.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
Џа®ўҐ¤Ґ¬ ᥪгйго $M_1M_0$.
Џ®¤ Є б ⥫쮩 Є ЄаЁў®© $y=f(x)$ ў в®зЄҐ $M_0$ Ї®Ё¬ Ґвбп ЇаҐ¤Ґ«м®Ґ
Ї®«®¦ҐЁҐ ᥪг饩 $M_0M_1$, ЇаЁ ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁЁ
в®зЄЁ $M_1$ Є в®зЄҐ $M_0$, в® Ґбвм ЇаЁ $\D x\to 0$.
“а ўҐЁҐ Є б ⥫쮩 Є ЄаЁў®© $y=f(x)$ ў в®зЄҐ $x_0$:
$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$
Ћвбо¤ б«Ґ¤гҐв {\it {\bf ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« Їа®Ё§ў®¤®©: }
Їа®Ё§ў®¤ п $f'(x_0)$ Ґбвм {\bf гЈ«®ў®© Є®нддЁжЁҐв} (в ЈҐб гЈ« Є«® )
{\bf Є б ⥫쮩,} Їа®ўҐ¤Ґ®© Є ЄаЁў®© $y=f(x)$ ў в®зЄҐ $x_0)$},
в.Ґ. $k=f'(x_0)$.
\sss{ЊҐе ЁзҐбЄЁ© б¬лб« Їа®Ё§ў®¤®©}
Џгбвм ў¤®«м ҐЄ®в®а®© Їаאַ© ¤ўЁ¦Ґвбп в®зЄ Ї® § Є®г $s=s(t)$, Ј¤Ґ $s$ --
Їа®©¤Ґл© Їгвм, $t$ -- ўаҐ¬п, Ё Ґ®Ўе®¤Ё¬® ©вЁ бЄ®а®бвм в®зЄЁ ў ¬®¬Ґв
ўаҐ¬ҐЁ $t_0$.
Љ ¬®¬Ґв㠢६ҐЁ $t_0$ Їа®©¤Ґл© Їгвм а ўҐ $s_0=s(t_0)$, Є ¬®¬Ґвг
ўаҐ¬ҐЁ $t_0+\De t$ -- Їгвм $s_0+\De s=s(t_0+\De t)$ (б¬. аЁб. 2).
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,40)
\put(90,40){\special{em:graph F7.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
’®Ј¤ § Їа®¬Ґ¦гв®Є $\De t$ б।пп бЄ®а®бвм Ўг¤Ґв
$$v_{mean}=\frac{s(t+\D t)-s(t)}{\D t}.$$
ЋзҐўЁ¤®, з⮠祬 ¬ҐмиҐ $\De t$, ⥬ «гзиҐ б।пп бЄ®а®бвм $v_{middle}$
е а ЄвҐаЁ§гҐв ¤ўЁ¦ҐЁҐ в®зЄЁ ў ¬®¬Ґв ўаҐ¬ҐЁ $t_0$. Џ®н⮬㠯®¤ {\it
бЄ®а®бвмо в®зЄЁ ў ¬®¬Ґв ўаҐ¬ҐЁ $t_0$} б«Ґ¤гҐв Ї®Ё¬ вм ЇаҐ¤Ґ« б।Ґ©
бЄ®а®бвЁ § Їа®¬Ґ¦гв®Є ўаҐ¬ҐЁ ®в $t_0$ ¤® $t_0+\De t$, Є®Ј¤ $\De t\to 0$
$$v=\lim_{\De t\to 0}v_{mean}=\lim_{\De t\to 0}\frac{\D s}{\D t}.$$
Ћвбо¤ б«Ґ¤гҐв {\it {\bf ¬Ґе ЁзҐбЄЁ© б¬лб« Їа®Ё§ў®¤®©:} Їа®Ё§ў®¤ п ЇгвЁ Ї®
ўаҐ¬ҐЁ $s'(t_0)$ Ґбвм {\bf бЄ®а®бвм} в®зЄЁ ў ¬®¬Ґв ўаҐ¬ҐЁ $t_0$:
$v(t_0)=s'(t_0)$.}
\ss{„ЁддҐаҐжЁа㥬®бвм дгЄжЁЁ, ҐҐ бўп§м б ҐЇаҐалў®бвмо}
{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} {\it …б«Ё дгЄжЁп $y=f(x)$ ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 ў в®зЄҐ $x_0$,
в® ® ў нв®© в®зЄҐ ҐЇаҐалў .}
Џ® гб«®ўЁо дгЄжЁп $y=f(x)$ ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 ў в®зЄҐ $x_0$, в.Ґ. бгйҐбвўгҐв
Є®Ґзл© ЇаҐ¤Ґ«
$$\lim_{\D x\to 0}\frac{\D y}{\D x}=f'(x_0),$$
Ј¤Ґ $f'(x_0)$ -- Ї®бв®п п ўҐ«ЁзЁ , Ґ § ўЁбпй п ®в $\D x$.
’®Ј¤ ®б®ў ЁЁ вҐ®аҐ¬л ® бўп§Ё ЎҐбЄ®Ґз® ¬ «ле б ЇаҐ¤Ґ« ¬Ё дгЄжЁ© ¬®¦®
§ ЇЁб вм
$$\frac{\D y}{\D x}=f'(x_0)+\a(\D x),$$
Ј¤Ґ $\a(\D x)$ -- ЎҐбЄ®Ґз® ¬ « п ўҐ«ЁзЁ ЇаЁ $\D x \to 0$ Ё«Ё
$$\D y=f'(x_0)\D x +\a(\D x)\D x.$$
ЏаЁ $\D x\to 0$ ®б®ў ЁЁ бў®©бвў ЎҐбЄ®Ґз® ¬ «ле 室Ё¬, зв® $\D y\to 0$
Ё, б«Ґ¤®ў ⥫м®, Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо 2 ҐЇаҐалў®© дгЄжЁЁ дгЄжЁп $y=f(x)$ ў
в®зЄҐ $x_0$ пў«пҐвбп ҐЇаҐалў®©.
ЋЎа в п ⥮६ , ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, ҐўҐа , в.Ґ. Ґб«Ё дгЄжЁ© ҐЇаҐалў ў
¤ ®© в®зЄҐ, в® ® Ґ ®Ўп§ вҐ«м® ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 ў нв®© в®зЄҐ.
’ Є, ЇаЁ¬Ґа, дгЄжЁп $y=|x|$ ҐЇаҐалў ў в®зЄҐ $x=0$,
® Ґ Ё¬ҐҐв Їа®Ё§ў®¤®© ў нв®© в®зЄҐ.
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, {\it ҐЇаҐалў®бвм дгЄжЁЁ -- Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ, ®
Ґ ¤®бв в®з®Ґ гб«®ўЁҐ ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®бвЁ дгЄжЁЁ}.
Џа®Ё§ў®¤ п ҐЇаҐалў®© дгЄжЁЁ Ґ ®Ўп§ вҐ«м® ҐЇаҐалў .
…б«Ё дгЄжЁп Ё¬ҐҐв ҐЇаҐалўго Їа®Ё§ў®¤го Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $•$,
в®Ј¤ ® §лў Ґвбп {\it Ј« ¤Є®©} н⮬
Їа®¬Ґ¦гвЄҐ. …б«Ё Їа®Ё§ў®¤ п дгЄжЁЁ Ё¬ҐҐв Є®Ґз®Ґ зЁб«® в®зҐЄ
а §алў (ЇҐаў®Ј® த ) в® в Є п дгЄжЁп
§лў Ґвбп {\it Єгб®з® Ј« ¤Є®©.}
Љ« ббЁзҐбЄЁ¬ ЇаЁ¬Ґа®¬ Єгб®з® Ј« ¤Є®© дгЄжЁҐ© пў«пҐвбп дгЄжЁп, § ¤ п
в Ў«ЁжҐ© § 票©, ¬Ґ¦¤г Є®в®ал¬Ё Їа®ўҐ¤Ґл Їап¬лҐ
(ЇаЁ¬Ґа, з бв® ўбваҐз Ґ¬л© ў вҐеЁЄҐ).
\ss{‘ў®©бвў Їа®Ё§ў®¤®©. Џа ўЁ« ¤ЁддҐаҐжЁа®ў Ёп}
{\bf 1.} {\it Џа®Ё§ў®¤ п Ї®бв®п®© а ў г«о}
$$C'=0.$$
{\bf 2.} {\it Џа®Ё§ў®¤ п аЈг¬Ґв а ў Ґ¤ЁЁжҐ}
$$x'=1.$$
{\bf 3.} {\it Џа®Ё§ў®¤ п б㬬л (а §®бвЁ) ¤ўге дгЄжЁ© а ў б㬬Ґ (а §®бвЁ)
Їа®Ё§ў®¤ле нвЁе дгЄжЁ©}
$$(U\pm V)'=U'\pm V'.$$
{\bf 4.} {\it Џа®Ё§ў®¤ п Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп ¤ўге ¤ЁддҐаҐжЁа㥬ле дгЄжЁ©
®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Ї® д®а¬г«Ґ}
$$(UV)'=UV'+VU'.$$
{\it Ћвбо¤ ў з бв®бвЁ б«Ґ¤гҐв, зв® $(CU)'=CU'$, в® Ґбвм Ї®бв®пл© ¬®¦ЁвҐ«м
¬®¦® ўл®бЁвм § § Є Їа®Ё§ў®¤®©}.
{\bf 5.} {\it Џа®Ё§ў®¤ п ®в з бв®Ј® ¤ўге дгЄжЁ© ®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп Ї® д®а¬г«Ґ}
$$\left(\frac{U}{V}\right)=\frac{U'V-V'U}{V^2}.$$
Џ®«гзЁ¬, ЇаЁ¬Ґа, д®а¬г«г ¤«п Їа®Ё§ў®¤®© Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп ¤ўге дгЄжЁ©.
Џгбвм Ё¬Ґовбп ¤ўҐ дгЄжЁЁ $U(x)$ Ё $V(x)$. „ ¤Ё¬ Ґ§ ўЁбЁ¬®¬г аЈг¬Ґвг
ЇаЁа 饨Ґ $\D x$. ’®Ј¤ дгЄжЁЁ $U(x)$ Ё $V(x)$ Ї®«гз в ᮮ⢥вб⢥®
ЇаЁа 饨п $\D U$ Ё $\D V$, Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁҐ дгЄжЁ© $U(x)V(x)$ ЇаЁа 饨Ґ
$U(x+\D x)V(x+\D x)-U(x)V(x)$.
Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо Їа®Ё§ў®¤®©
$$(UV)'=\lim_{\D x\to 0}\frac{U(x+\D x)V(x+\D x)-U(x)V(x)}{\D x}.$$
”гЄжЁЁ $U(x+\D x)$ Ё $V(x+\D x)$
¬®¦® ЇаҐ¤бв ўЁвм ў ўЁ¤Ґ
$$U(x+\D x)=U(x)+\D U; V(x+\D x)=V(x)+\D Vо$$
’®Ј¤ ¤«п Їа®Ё§ў®¤®© Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп ¤ўге дгЄжЁ© Ї®«гз Ґ¬
$$(UV)'=\lim_{\D x\to 0}\frac{U(x)V(x)+\D UV(x) +\D VU(x)-U(x)V(x)}{\D x}=$$
$$=\lim_{\D x\to 0}\frac{\D UV(x) +\D VU(x)}{\D x}=U'V+V'U.$$
\sss{Џа®Ё§ў®¤ п б«®¦®© дгЄжЁЁ}
Џгбвм ЇҐаҐ¬Ґ п $y$ Ґбвм дгЄжЁп ®в ЇҐаҐ¬Ґ®© $u$ $y=f(u)$, ЇҐаҐ¬Ґ п
$u$ ў бў®о ®зҐаҐ¤м Ґбвм дгЄжЁп ®в Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®© $x$ $u=\f(x)$, в.Ґ.
§ ¤ {\bf б«®¦ п} дгЄжЁп $y=[\f(x)]$.
{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} {\it …б«Ё $y=f(u)$ Ё $u=\f(x)$ -- ¤ЁддҐаҐжЁагҐ¬лҐ дгЄжЁЁ
®в бў®Ёе аЈг¬Ґв®ў, в® Їа®Ё§ў®¤ п б«®¦®© дгЄжЁЁ
бгйҐбвўгҐв Ё а ў Їа®Ё§ў®¤®©
¤ ®© дгЄжЁЁ Ї® Їа®¬Ґ¦гв®з®¬г аЈг¬Ґвг Ё 㬮¦Ґ®© Їа®Ё§ў®¤го
б ¬®Ј® Їа®¬Ґ¦гв®з®Ј® аЈг¬Ґв Ї® Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®© $x$,} в.Ґ.
$$y'=f'(u)u'.$$
„ ¤Ё¬ Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®© $x$ ЇаЁа 饨Ґ $\D x\ne 0$. ’®Ј¤ дгЄжЁЁ
$u=\f(x)$ Ё $y=f(u)$ ᮮ⢥вб⢥® Ї®«гз в ЇаЁа 饨Ґ $\D u$ Ё $\D y$.
ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® $\D u\ne 0$. ’®Ј¤ ў бЁ«г ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®бвЁ дгЄжЁЁ $y=f(u)$
¬®¦® § ЇЁб вм
$$\lim_{\D u\to 0}\frac{\D y}{\D u}=f'(u).$$
Ќ ®б®ў ЁЁ вҐ®аҐ¬л ® бўп§Ё ЎҐбЄ®Ґз® ¬ «ле б ЇаҐ¤Ґ« ¬Ё дгЄжЁ©
$$\frac{\D y}{\D u}=f'(u)+\a(\D u),$$
Ј¤Ґ $\a(\D u)$ -- ЎҐбЄ®Ґз® ¬ « п ЇаЁ $\D u\to 0$, ®вЄг¤
$$\D u=f'(u)\D u+\a(\D u)\D u.$$
ђ §¤Ґ«Ёў ®ЎҐ з бвЁ Ї®«г祮Ј® а ўҐбвў $\D x\ne 0$, Ї®«гзЁ¬
$$\frac{\D y}{\D x}=f'(u)\frac{\D u}{\D x}+\a(\D u)\frac{\D u}{\D x}.$$
ЏаЁ бв६«ҐЁЁ $\D x\to 0$ $\D u\to 0$ Ё $\a(\D u)\to 0$.
ЏҐаҐе®¤п Є ЇаҐ¤Ґ«г ЇаЁ $\D x\to 0$, Ї®«гзЁ¬
$$y'=f'(u)\lim_{\D x\to 0}\frac{\D u}{\D x}=f'(u)\cdot u'.$$
Џа ўЁ«® ¤ЁддҐаҐжЁа®ў Ёп б«®¦®© ¬®¦Ґв Ўлвм § ЇЁб ® ў ¤агЈЁе д®а¬ е:
$$y'_x=y'_u\cdot u'_x$$
Ё«Ё
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}.$$
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤го дгЄжЁЁ $y=(\sqrt{x}+5)^3$.
”гЄжЁо ¬®¦® § ЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ $y=u^3$, Ј¤Ґ $u=\sqrt{x}+5$. Џ®«гз Ґ¬
$$y'=3u^2\cdot u'=3(\sqrt{x}+5)^2(\sqrt{x}+5)'=
\frac{3(\sqrt{x}+5)^2}{2\sqrt{x}}.$$
\sss{Џа®Ё§ў®¤ п ®Ўа в®© дгЄжЁЁ}
{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} {\it „«п ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© дгЄжЁЁ б Їа®Ё§ў®¤®©, Ґ а ў®© г«о,
Їа®Ё§ў®¤ п ®Ўа в®© дгЄжЁЁ а ў ®Ўа в®© ўҐ«ЁзЁҐ Їа®Ё§ў®¤®© ¤ ®©
дгЄжЁЁ,} в.Ґ.
$$x'_y=\frac{1}{y'_x}.$$
Џ® гб«®ўЁо дгЄжЁп $y=f(x)$ ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 Ё $y'(x)=f'(x)\ne 0$.
Џгбвм $\D y\ne 0$ -- ЇаЁа 饨Ґ Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®© $y$, $\D x$ --
ᮮ⢥вбвўго饥 ЇаЁа 饨Ґ ®Ўа в®© дгЄжЁЁ $x=\f(y)$. ’®Ј¤ бЇа ўҐ¤«Ёў®
а ўҐбвў®
$$\frac{\D x}{\D y}=\frac{1}{\D y/\D x}.$$
ЏҐаҐе®¤п Є ЇаҐ¤Ґ«г ЇаЁ $\D y \to 0$ Ё гзЁвлў п, зв® ў бЁ«г ҐЇаҐалў®бвЁ
®Ўа в®© дгЄжЁЁ $\D x \to 0$, Ї®«гзЁ¬
$$\lim_{\D y\to 0}\frac{\D x}{\D y}=\frac{1}{\lim_{\D x\to 0}\D y/\D x},$$
в.Ґ.
$$x'_y=\frac{1}{y'_x}.$$
Џ®«гзҐ п д®а¬г« Ё¬ҐҐв Їа®бв®© ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« (б¬. аЁб. 3). …б«Ё
$y'_x$ ўла ¦ Ґв в ЈҐб гЈ« Є«® Є б ⥫쮩 Є ЄаЁў®© $y=f(x)$ Є ®бЁ
$Ox$, в® $x'_y$ -- {\it в ЈҐб гЈ« $\b$ Є«® в®© ¦Ґ Є б ⥫쮩 Є ®бЁ
$Oy$,} ЇаЁзҐ¬ $\a+\b=\di{\frac{\pi}{2}}$ (Ґб«Ё $\a$ Ё $\b$ -- ®бвалҐ гЈ«л)
(б¬. аЁб. 3) Ё«Ё $\a+\b=\di{\frac{3\pi}{2}}$ (Ґб«Ё $\a$ Ё $\b$ -- вгЇлҐ гЈ«л).
„«п в ЄЁе гЈ«®ў $\tg\b=\ctg\a$ Ё«Ё
$$\tg\b=\frac{1}{\tg\a}.$$
ќв®¬г а ўҐбвўг Ё а ў®бЁ«м® гб«®ўЁҐ
$$x'_y=\frac{1}{y'_x}.$$
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(120,140){\special{em:graph F8.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
\ss{Џа®Ё§ў®¤лҐ ®б®ўле н«Ґ¬Ґв але дгЄжЁ©}
\sss{Џа®Ё§ў®¤ п «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®© дгЄжЁЁ}
{\bf )} $y=\ln x$.
1. $$\D y=\ln(x+\D x)-\ln x=\ln\left(1+\frac{\D x}{x}\right).$$
2. $$\frac{\D y}{\D x}=\frac{1}{\D x}\ln\left(1+\frac{\D x}{x}\right).$$
3. $$y'=\lim_{\D x\to 0}\frac{1}{\D x}\ln\left(1+\frac{\D x}{x}\right).$$
Џгбвм $\di{\frac{\D x}{x}}=t$, в®Ј¤ $\D x=xt$ Ё
$$y'=\lim_{\D x\to 0}\frac{1}{xt}\ln(1+t)=\frac{1}{x}\lim_{t\to 0}\ln(1+t)^
{\di{\frac{1}{t}}}=\frac{1}{x}\ln e=\frac{1}{x}.$$
{\bf Ў)} $y=\log_ax$.
$$y'=\left(\log_ax\right)'=\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)'=
\frac{1}{\ln a}(\ln x)'=\frac{1}{x\ln a}.$$
\sss{Џа®Ё§ў®¤ п Ї®Є § ⥫쮩 дгЄжЁЁ}
{\bf )} $y=e^x$. Џа®«®Ј аЁд¬Ёа㥬 ®ЎҐ з бвЁ а ўҐбвў Ї® $e$, Ї®«гзЁ¬
$\ln y=x$. „ЁддҐаҐжЁагп ®ЎҐ з бвЁ Ї® ЇҐаҐ¬Ґ®© $x$ Ё гзЁвлў п, зв® $\ln y$ --
б«®¦ п дгЄжЁп, Ї®«гзЁ¬
$$(\ln y)'=x'\;\;\rm{Ё«Ё}\;\; \frac{y'}{y}=1\;\;\rm{Ё«Ё}\;\;y'=y.$$
€в Є,
$$(e^x)'=e^x.$$
{\bf Ў)} $y=a^x$.
$$y'=(a^x)'=\left[(e^{\ln a})^x\right]'=(e^{x\ln a})'=
e^{x\ln a}(x\ln a)'=a^x\cdot\ln a.$$
€в Є,
$$(a^x)'=a^x\ln a.$$
\sss{Џа®Ё§ў®¤ п б⥯Ґ®© дгЄжЁЁ}
$y=x^n$. Џа®«®Ј аЁд¬Ёа㥬.
$$\ln y=n\ln x.$$
Џа®¤ЁддҐаҐжЁа㥬.
$$\frac{1}{y}y'=n\cdot\frac{1}{x}.$$
ЋвЄг¤
$$y'=ny\frac{1}{x}=nx^n\cdot\frac{1}{x}=nx^{n-1}.$$
€в Є,
$$(x^n)'=nx^{n-1}.$$
\sss{‹®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ п Їа®Ё§ў®¤ п}
Џа®Ё§ў®¤ п «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®© дгЄжЁЁ
$$(\ln y)'=\frac{y'}{y}$$
§лў Ґвбп {\it «®Ј аЁд¬ЁзҐбЄ®© Їа®Ё§ў®¤®©}. …Ґ 㤮Ў® ЁбЇ®«м§®ў вм ¤«п
宦¤ҐЁп Їа®Ё§ў®¤ле дгЄжЁ©, ўла ¦ҐЁп Є®в®але бгйҐб⢥® гЇа®й овбп ЇаЁ
«®Ј аЁд¬Ёа®ў ЁЁ.
ђ ббᬮваЁ¬ Їа®Ё§ў®¤го б⥯Ґ®-Ї®Є § ⥫쮩 дгЄжЁЁ $y=f(x)^{\f(x)}$.
$$(\ln y)'=\f'(x)\ln f(x)+\f(x)\cdot\frac{f'(x)}{f(x)}.$$
Ћвбо¤
$$y'=f(x)^{\f(x)}\f'(x)\ln f(x)+\f(x)f'(x)f(x)^{\f(x)-1}.$$
в.Ґ. ¤«п в®Ј® зв®Ўл ©вЁ Їа®Ё§ў®¤го б⥯Ґ®-Ї®Є § ⥫쮩 дгЄжЁЁ,
¤®бв в®з® ¤ЁддҐаҐжЁа®ў вм ҐҐ ў з «Ґ Є Є б⥯Ґго, § ⥬ Є Є
Ї®Є § ⥫мго, Ё Ї®«гзҐлҐ १г«мв вл б«®¦Ёвм.
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤го дгЄжЁЁ $y=x^x$.
„ЁддҐаҐжЁа㥬 дгЄжЁо Є Є б⥯Ґго, § ⥬ Є Є
Ї®Є § ⥫мго Ё Ї®«гзҐлҐ १г«мв вл бЄ« ¤лў Ґ¬:
$$y'=x\cdot x^{x-1}+x^x\cdot\ln x=x^x(1+\ln x).$$
\sss{Џа®Ё§ў®¤лҐ ваЁЈ®®¬ҐваЁзҐбЄЁе дгЄжЁ©}
{\bf )} Ќ ©вЁ Їа®§ў®¤го дгЄжЁЁ $y(x)=\sin x$.
€бЇ®«м§гп д®а¬г«г
$$\sin A \pm \sin B=2\sin\frac{(A\pm B)}{2}\cos\frac{(A\mp B)}{2},$$
室Ё¬ $\D y$
$$\D y =\sin(x+\D x)-\sin(x)
=2\sin\frac{\D x}{2}\cos\left(x+\frac{\D x}{2}\right).$$
$$y'=\lim_{\D x\to 0}\frac{\D y}{\D x}=
\lim_{\D x\to 0}\frac{\sin\di{\frac{\D x}{2}}} {\di{\frac{\D x}{2}}}
\cdot \lim_{\D x\to 0}\cos\left(x+\frac{\D x}{2}\right)=\cos x.$$
€в Є,
$$(\sin x)'=\cos x.$$
{\bf Ў)} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤го дгЄжЁЁ $y(x)=\arcsin x$.
$$x=\sin y;\;\;\;\frac{dx}{dy}=\cos y=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-x^2}.$$
€в Є,
$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
\ss{’ Ў«Ёж Їа®Ё§ў®¤ле}
{\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{||c|c||c|c||}
\hline
$y(x)$ & $y'(x)$ & $y(x)$ & $y'(x)$\\
\hline
$y=x^m$ & $y'=mx^{m-1}$ & $y=\sqrt{x}$ &
$y'=\di{\frac{1}{2\sqrt{x}}}$\\[7pt]
\hline
$y=e^x$ & $y'=e^x$ &$y=a^x$ & $y'=a^x\ln a$\\
\hline
$y=\ln x$ & $y'=\di{\frac{1}{x}}$ & $y=\log_ax$ & $y'=\di{\frac{1}{x\ln a}}
$\\[7pt]
\hline
$y=\sin x$ & $y'=\cos x$ & $y=\cos x$ & $y'=-\sin x$\\
\hline
$y=\tg x$ & $y'=\di{\frac{1}{\cos^2 x}}$ & $y=\ctg x$ & $y'=-\di{\frac{1}{
\sin^2 x}}$\\[7pt]
\hline
$y=\arcsin x$ & $y'=\di{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ & $y=\arccos x$ & $y'=-
\di{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$ \\[7pt]
\hline
$y=\arctg x$ & $y'=\di{\frac{1}{1+x^2}}$ & $y=\arcctg x$ & $y'=-\di{\frac
{1}{1+x^2}}$\\[7pt]
\hline
$y=\sh x$ & $y'=\ch x$ & $y=\ch x$ & $y'=\sh x$\\
\hline
$y=\th x$ & $y'=\di{\frac{1}{\ch^2 x}}$ & $y=\cth x$ & $y'=-\di{\frac{1}
{\sh^2 x}}$\\[7pt]
\hline
\end{tabular}
}
\ss{„ЁддҐаҐжЁа®ў ЁҐ дгЄжЁЁ, § ¤ ®© Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ}
‚ а拉 б«гз Ґў дгЄжЁп ¬®¦Ґв § ¤ ў вмбп Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ. $x=x(t)$; $y=y(t)$,
Ј¤Ґ $t$ -- Ї а ¬Ґва. „®ЇгбвЁ¬, зв® ЇҐаўлҐ Їа®Ё§ў®¤лҐ Ї® $t$
Ґ ®Ўа й овбп ў ®«м
$$\dot x(t)=\frac{dx}{dt}\ne 0\;\; ;\dot y(t)=\frac{dy}{dt}\ne 0.$$
Ё бгйҐбвўгов ўв®алҐ Їа®Ё§ў®¤лҐ Ї® $t$
$$\ddot x(t)=\frac{d^2x}{dt^2};\;\; \ddot y(t)=\frac{d^2y}{dt^2}.$$
‚лзЁб«Ё¬ ЇҐаўго ${\displaystyle\frac{dy}{dx}}$ Ё ўв®аго
${\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}}$ Їа®Ё§ў®¤лҐ.
„®¬®¦Ё¬ Ё
а §¤Ґ«Ё¬ ўла ¦ҐЁҐ ${\displaystyle\frac{dy}{dx}}$ $dt$. Џ®б«Ґ
Ґб«®¦ле ЇаҐ®Ўа §®ў Ё© Ї®«гзЁ¬ ¤«п ЇҐаў®© Їа®Ё§ў®¤®©
б«Ґ¤го饥 ўла ¦ҐЁҐ
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{(dt)}{(dt)}
=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}.$$
‚ла ¦ҐЁҐ ¤«п ўв®а®© Їа®Ё§ў®¤®© ЇҐаҐЇЁиҐ¬ ў б«Ґ¤го饬 ўЁ¤Ґ
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left[\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}\right]
=\frac{(dt)}{(dt)}\frac{d}{dx}\left[\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}\right]=
\frac{1}{\dot x(t)}\frac{d}{dt}\left[\frac{\dot y(t)}{\dot x(t)}\right].$$
Џа®ўҐ¤п ¤ЁддҐаҐжЁа®ў ЁҐ Ї® $t$, Ї®«гзЁ¬ ¤«п ўв®а®© Їа®Ё§ў®¤®©
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dot x(t) \ddot y(t)-\ddot x(t) \dot y(t)}
{[\dot x(t)]^3}.$$
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤го {\it жЁЄ«®Ё¤л}
$$x(t)=a(t-\sin t);\;\;\; y(t)=a(1-\cos t).$$
$$\dot x(t)=a(1-\cos t); \dot y(t)=a\sin t.$$
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1-\cos t}{\sin t}=\tg \frac{t}{2}.$$
\ss{Џа®Ё§ў®¤лҐ ўлбиЁе Ї®ап¤Є®ў}
„® бЁе Ї®а а бб¬ ваЁў «Ёбм Їа®Ё§ў®¤лҐ $f'(x)$ ®в дгЄжЁЁ $f(x)$. €е в Є¦Ґ
§лў ов {\it Їа®Ё§ў®¤л¬Ё ЇҐаў®Ј® Ї®ап¤Є }. Ќ® Їа®Ё§ў®¤ п $f'(x)$ б ¬
пў«пҐвбп дгЄжЁҐ©, Є®в®а п в Є¦Ґ ¬®¦Ґв Ё¬Ґвм Їа®Ё§ў®¤го.
{\it Џа®Ё§ў®¤®© $n$-®Ј® Ї®ап¤Є } §лў Ґвбп Їа®Ё§ў®¤ п ®в Їа®Ё§ў®¤®©
$(n-1)$-Ј® Ї®ап¤Є .
ЋЎ®§ 票Ґ Їа®Ё§ў®¤ле: $f''(x)$ -- {\it ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є } (Ё«Ё {\it ўв®а п
Їа®Ё§ў®¤ п}), $f'''(x)$ -- {\it ваҐв쥣® Ї®ап¤Є } (Ё«Ё {\it ваҐвмп
Їа®Ё§ў®¤ п}).
„«п ®Ў®§ зҐЁп Їа®Ё§ў®¤ле Ў®«ҐҐ ўлб®Є®Ј® Ї®ап¤Є ЁбЇ®«м§говбп а ЎбЄЁҐ жЁдал
ў бЄ®ЎЄ е Ё«Ё аЁ¬бЄЁҐ жЁдал, ЇаЁ¬Ґа, $f^{(4)}(x),\cdots,f^{(n)}(x)$ Ё«Ё
$f^{\vee}(x)$ Ё в.¤.
‚лпбЁ¬ {\it ¬Ґе ЁзҐбЄЁ© б¬лб« ўв®а®© Їа®Ё§ў®¤®©}. ‚лиҐ Ўл«® Ї®Є § ®, зв®
Ґб«Ё в®зЄ ¤ўЁ¦Ґвбп Ї® § Є®г $s=s(t)$, Ј¤Ґ $s$ -- Їгвм, $t$ -- ўаҐ¬п,
в® $s'(t)$ ЇаҐ¤бв ў«пҐв бЄ®а®бвм в®зЄЁ ў ¬®¬Ґв ўаҐ¬ҐЁ $t$. ‘«Ґ¤®ў ⥫м®,
{\it ўв®а п Їа®Ё§ў®¤ п ЇгвЁ Ї® ўаҐ¬ҐЁ $s''(t)=v'(t)$ бЄ®а®бвм Ё§¬ҐҐЁп
бЄ®а®бвЁ Ё«Ё {\bf г᪮२Ґ} в®зЄЁ ў ¬®¬Ґв ўаҐ¬ҐЁ $t$}.
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤лҐ ¤® $n$-®Ј® Ї®ап¤Є ўЄ«озЁвҐ«м® ®в
дгЄжЁЁ $y=\ln x$.
$$y'=\frac1x;\;\;y''=-\frac{1}{x^2};\;\;y'''=\frac{2}{x^3};\;\;
y^{(4)}=-\frac{2\cdot 3}{x^4}\cdots$$
ЋзҐўЁ¤®, зв® Їа®Ё§ў®¤ п $n$-®Ј® Ї®ап¤Є
$$y^{(n)}=-\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}.$$
\ss{„ЁддҐаҐжЁ « дгЄжЁЁ}
Џгбвм дгЄжЁп $y=f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $•$ Ё
¤ЁддҐаҐжЁа㥬 ў ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x\in X$.
’®Ј¤ бгйҐбвўгҐв Є®Ґз п Їа®Ё§ў®¤ п
$\di{\lim_{\D x\to 0}\frac{\D y}{\D x}}=f'(x)$.
Ќ ®б®ў ЁЁ вҐ®аҐ¬л ® бўп§Ё ЎҐбЄ®Ґз® ¬ «ле ўҐ«ЁзЁ б ЇаҐ¤Ґ« ¬Ё дгЄжЁ©
®в®иҐЁҐ ЇаЁа 饨© $\di{\frac{\D y}{\D x}}$ ¬®¦® § ЇЁб вм Є Є
$$\frac{\D y}{\D x}=f'(x)+\a(\D x),$$
Ј¤Ґ $\a(\D x)$ - ЎҐбЄ®Ґз® ¬ « п ўҐ«ЁзЁ ЇаЁ $\D x\to 0$.
’®Ј¤ ЇаЁа 饨Ґ
$$\D y=f'(x)\D x+\a(\D x)\D x.$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ЇаЁа 饨Ґ дгЄжЁЁ $\D y$ б®бв®Ёв Ё§ ¤ўге
б« Ј Ґ¬ле: 1) -- «ЁҐ©®Ј® ®в®бЁвҐ«м® $\D x$;
2) -- Ґ«ЁҐ©®Ј®, ЇаҐ¤бв ў«по饣® ЎҐбЄ®Ґз® ¬ «го Ў®«ҐҐ ўлб®Є®Ј® Ї®ап¤Є ,
祬 $\D x$, ЁЎ®
$$\lim_{\D x\to 0}\frac{\a(\D x)\D x}{\D x}=\lim_{\D x\to 0}\a(x)=0.$$
{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ.} {\it {\bf „ЁддҐаҐжЁ «®¬ дгЄжЁЁ}
§лў Ґвбп Ј« ў п «ЁҐ© п ®в®бЁвҐ«м® $\D x$
з бвм ЇаЁа 饨п дгЄжЁЁ, а ў п
Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁо Їа®Ё§ў®¤®© ЇаЁа 饨Ґ Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®©}
$$dy=f'(x)\D x.$$
(б¬. аЁб.~4).
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(115,140){\special{em:graph F9.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаЁа 饨Ґ Ё ¤ЁддҐаҐжЁ « $y=2x^2-3x$
ЇаЁ $x=10$ Ё $\D x=0.1$.
$$\D y=f(x+\D x)-f(x)=$$
$$=[2(x+\D x)^2-3(x+\D x)]-(2x^2-3x)=\D x[4x+2\D x-3]$$
’®Ј¤ $$dy=f'(x)\D x=(4x-3)\D x.$$
Џ®«гз Ґ¬ $\D y=3.72$, $dy=3.70$.
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ¤ЁддҐаҐжЁ « дгЄжЁЁ $y=x$.
$$y=x; dx=\D x$$
„ЁддҐаҐжЁ « Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®© а ўҐ ЇаЁа 饨о нв®© ЇҐаҐ¬Ґ®©.
Џ®н⮬г д®а¬г«г ¤«п ¤ЁддҐаҐжЁа®ў Ёп дгЄжЁЁ ¬®¦® § ЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ
$$dy=f'(x)dx,$$
®вЄг¤ $f'(x)=\di{\frac{dy}{dx}}$. Ћв¬ҐвЁ¬, з⮠⥯Ґам $\di{\frac{dy}{dx}}$
Ґ Їа®бв® бЁ¬ў®«ЁзҐбЄ®Ґ ®Ў®§ 票Ґ Їа®Ё§ў®¤®©, ®Ўлз п ¤а®Ўм б зЁб«ЁвҐ«Ґ¬
$dy$ Ё § ¬Ґ ⥫Ґ¬ $dx$.
\sss{ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« ¤ЁддҐаҐжЁ « }
‚®§м¬Ґ¬ Ја дЁЄҐ дгЄжЁЁ $y=f(x)$ Їа®Ё§ў®«мго в®зЄг $M(x,y)$.
„ ¤Ё¬ аЈг¬Ґвг $x$ ЇаЁа 饨Ґ $\D x$. ’®Ј¤ дгЄжЁп $y=f(x)$ Ї®«гзЁв
ЇаЁа 饨Ґ $\D y=f(x+\D x)-f(x)$ (б¬. аЁб. 4).
Џа®ўҐ¤Ґ¬ Є б ⥫мго Є ЄаЁў®© $y=f(x)$ ў в®зЄҐ $M$, Є®в®а п ®Ўа §гҐв гЈ®«
$\a$ б Ї®«®¦ЁвҐ«мл¬ Їа ў«ҐЁҐ¬ ®бЁ $Ox$, в.Ґ. $f'(x)=\tg \a$.
€§ Їаאַ㣮«м®Ј® ваҐгЈ®«мЁЄ $MKN$
$$KN=MN\cdot \tg\a=\D x\tg\a=f'(x)\D x=dy,$$
Ё в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $dy=KN$.
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, {\it ¤ЁддҐаҐжЁ « дгЄжЁЁ Ґбвм ЇаЁа 饨Ґ ®а¤Ё вл Є б ⥫쮩,
Їа®ўҐ¤Ґ®© Є Ја дЁЄг дгЄжЁЁ $y=f(x)$ ў ¤ ®© в®зЄҐ, Є®Ј¤ $x$
Ї®«гз Ґв ЇаЁа 饨Ґ $\D x$}.
‡ ¬ҐвЁ¬, зв® Ё§ аЁб. 4 б«Ґ¤гҐв, зв® $dy<\D y$. ќв® ®ЎкпбпҐвбп ў®Јгв®бвмо
Ја дЁЄ дгЄжЁЁ $y=f(x)$. …б«Ё Ја дЁЄ дгЄжЁЁ $y=f(x)$, Ўл« ўлЇгЄ«л©, ў н⮬
б«гз Ґ $\D y>dy$.
\sss{‘ў®©бвў ¤ЁддҐаҐжЁ « }
‘ў®©бвў ¤ЁддҐаҐжЁ « «®ЈЁзл бў®©бвў ¬ Їа®Ё§ў®¤®©.
ЏаЁўҐ¤Ґ¬ Ёе ЎҐ§ ¤®Є § ⥫мбвў .
1.$$dc=0.$$
2.$$d(cu)=cu.$$
3.$$d(u\pm v)=du\pm dv.$$
4.$$d(uv)=vdu+udv.$$
5.$$d\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}.$$
\sss{€ў аЁ в®бвм д®а¬л ¤ЁддҐаҐжЁ « }
ђ бᬮваЁ¬ бў®©бвў®, Є®в®ал¬ ®Ў« ¤ Ґв ¤ЁддҐаҐжЁ « дгЄжЁЁ, ® Ґ ®Ў« ¤ Ґв
ҐҐ Їа®Ё§ў®¤ п.
ђ бб¬ ваЁў п ўлиҐ $y=f(x)$ Є Є дгЄжЁо Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®© $x$, ¬л Ї®«гзЁ«Ё,
зв® $dy=f'(x)dx$.
ђ бᬮваЁ¬ дгЄжЁо $y=f(u)$, Ј¤Ґ аЈг¬Ґв $u=\f(x)$ б ¬ пў«пҐвбп
дгЄжЁҐ© ®в $x$, в.Ґ. а бᬮваЁ¬ б«®¦го дгЄжЁо $y=[\f(x)]$. …б«Ё дгЄжЁЁ
$y=f(u)$ Ё $u=\f(x)$ ¤ЁддҐаҐжЁагҐ¬лҐ дгЄжЁЁ ®в бў®Ёе аЈг¬Ґв®ў,
в® Їа®Ё§ў®¤ п б«®¦®© дгЄжЁЁ а ў $y'=f'(u)u'$.
’®Ј¤ ¤ЁддҐаҐжЁ « дгЄжЁЁ
$$dy=f'(x)dx=f'(u)\cdot u'dx.$$
Ќ® $u'dx=du$, Ё Ї®н⮬г
$$dy=f'(u)du.$$
Џ®б«Ґ¤ҐҐ а ўҐбвў® ®§ з Ґв, зв® д®а¬г« ¤ЁддҐаҐжЁ «
Ґ Ё§¬ҐпҐвбп, Ґб«Ё ў¬Ґбв® дгЄжЁЁ ®в
Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®© $x$ а бб¬ ваЁў вм дгЄжЁо ®в § ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®© $u$.
ќв® бў®©бвў® ¤ЁддҐаҐжЁ « Ї®«гзЁ«® §ў ЁҐ {\it Ёў аЁ в®бвЁ }
(в.Ґ. ҐЁ§¬Ґ®бвЁ) {\it д®а¬л (Ё«Ё д®а¬г«л ¤ЁддҐаҐжЁ « )}.
\sss{ЏаЁ¬ҐҐЁҐ ¤ЁддҐаҐжЁ « ў ЇаЁЎ«Ё¦Ґле ўлзЁб«ҐЁпе}
‚лиҐ Ўл«® Ї®«г祮, зв® ЇаЁа 饨Ґ дгЄжЁЁ $\D y=dy+\a(\D x)\D x$
®в«Ёз Ґвбп ®в ¤ЁддҐаҐжЁ « $dy$ ЎҐбЄ®Ґз® ¬ «го ўҐ«ЁзЁг Ў®«ҐҐ
ўлб®Є®Ј® Ї®ап¤Є , 祬 $dy=f'(x)\D x$. Џ®н⮬㠯ਠ¤®бв в®з® ¬ «ле
§ 票пе $\D x$ ¬®¦® Ї®«м§®ў вмбп ЇаЁЎ«Ё¦Ґ®© д®а¬г«®© $\D y\approx dy$ Ё«Ё
$$f(x+\D x)\approx f(x)+f'(x)\D x.$$
—Ґ¬ ¬ҐмиҐ $\D x$, ⥬ в®зҐҐ нв д®а¬г« .
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} ‚лзЁб«Ёвм ЇаЁЎ«Ё¦Ґ® $\sqrt[4]{16.64}$.
‚ ¤ ®¬ б«гз Ґ $f(x)=\sqrt[n]{x}$, $f'(x)=\di{\frac{\sqrt[n]{x}}{nx}}$.
—Ёб«ҐлҐ § 票п: $n=4$, $x=16$, $\D x=0.64$. Џ®«гз Ґ¬
$$\sqrt[4]{16.64}\approx \sqrt[4]{16}+
\frac{\sqrt[4]{16}}{4\cdot 16}\cdot 0.64=2.02.$$
\sss{„ЁддҐаҐжЁ «л ўлбиЁе Ї®ап¤Є®ў}
„«п ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© дгЄжЁЁ $y=f(x)$ ҐҐ ¤ЁддҐаҐжЁ « $dy=f'(x)dx$
Ўг¤Ґ¬ а бб¬ ваЁў вм Є Є дгЄжЁо ¤ўге аЈг¬Ґв®ў: $x$ Ё $dx$.
’®Ј¤ {\it ¤ЁддҐаҐжЁ «®¬ ўв®а®Ј® Ї®ап¤Є } (Ё«Ё {\it ўв®ал¬ ¤ЁддҐаҐжЁ «®¬})
$d^2y$
дгЄжЁЁ $y=f(x)$ §лў Ґвбп ¤ЁддҐаҐжЁ «
®в ¤ЁддҐаҐжЁ « ЇҐаў®Ј® Ї®ап¤Є нв®© дгЄжЁЁ, в.Ґ.
$$d^2y=d(dy).$$
Ђ «®ЈЁз® {\it ¤ЁддҐаҐжЁ «®¬ $n-$®Ј® Ї®ап¤Є } (Ё«Ё
{\it $n$-л¬ ¤ЁддҐаҐжЁ «®¬}) $d^ny$
§лў Ґвбп ¤ЁддҐаҐжЁ « ®в
¤ЁддҐаҐжЁ « $(n-1)$-®Ј® Ї®ап¤Є нв®© дгЄжЁЁ
$$d^ny=d(d^{n-1}y).$$
Ќ ©¤Ґ¬ ўла ¦ҐЁҐ ¤«п $d^2y$.
Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо
$d^2y=d(dy)$; $dy=f'(x)dx$; $d^2y=d(f'(x)dx)$;
Ќ® $dx$ Ґ § ўЁбЁв ®в $x$, в.Ґ. Ї® ®в®иҐЁо Є ЇҐаҐ¬Ґ®© $x$
пў«пҐвбп Ї®бв®п®© ўҐ«ЁзЁ®©, в® ¬®¦ЁвҐ«м $\D x$ ¬®¦® ўлҐбвЁ § Є
¤ЁддҐаҐжЁ « , в.Ґ.
$$d^2y=dx\cdot df'(x)=dx\cdot [f'(x)]'dx=f''(x)(dx)^2.$$
€в Є,
$$d^2y=f''(x)dx^2,$$
Ј¤Ґ $dx^2=(dx)^2$.
‚ ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ
$$d^ny=f^{(n)}(x)dx^n,$$
в.Ґ.{\it ¤ЁддҐаҐжЁ « ўв®а®Ј® (Ё ў®®ЎйҐ $n$-®Ј®) Ї®ап¤Є а ўҐ Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁо
Їа®Ё§ў®¤®© ўв®а®Ј® ($n$-®Ј®) Ї®ап¤Є Єў ¤а в ($n$-о c⥯Ґм) ¤ЁддҐаҐжЁ «
Ґ§ ўЁбЁ¬®© ЇҐаҐ¬Ґ®©}.
Ћв¬ҐвЁ¬, зв® ¤ЁддҐаҐжЁ «л ўв®а®Ј® Ё Ў®«ҐҐ ўлб®ЄЁе Ї®ап¤Є®ў Ґ ®Ў« ¤ ов
бў®©бвў®¬ Ёў аЁ в®бвЁ д®а¬л ў ®в«ЁзЁҐ ®в ¤ЁддҐаҐжЁ «
ЇҐаў®Ј® Ї®ап¤Є .
\end{document}