Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Правильной областью в полярных координатах (определение полярных координат см. в лекции 14 за 2-й семестр) назовем такую область, границу которой каждый луч, выходящий из полюса, пересекает не более чем в двух точках (рис.4).

ρ=Φ₂ (φ)

Рис.4.

ρ=Φ₁ (φ)

φ₂ φ₁

Зададим в области D, ограниченной кривымиρ=Φ₁ (φ) иρ=Φ₂ (φ), гдеφ_{1 <} φ < φ₂,

непрерывную функцию z = f(φ, ρ) . Разобьем областьDна части ΔS_ik , ограниченные лучами ρ = ρ_i-1и ρ = ρ_i, выходящими из полюса, и дугами окруж-ностей φ = φ_k-1и φ = φ_kс центром в полюсе, и составим интегральную сумму, гдеP_ik – точка, принадлежащая ΔS_ik. Найдем площадь части ΔS_ik, не пересекаемой границей области, как разность площадей двух секторов:

, где. Учитывая, что площади частей, пересекаемых границей области, стремятся к нулю прии, получим:

(8.7)

Пример.

Выведем с использованием двойного интеграла формулу для площади круга радиуса Rс центром в начале координат:

30