Двумерные случайные величины
Проверить
домашнее задание и ответить на вопросы
студентов. Напомнить понятия двумерной
случайной величины
системы
двух случайных величин.
Дать геометрическую интерпретацию
(случайная точка на плоскости, случайный
вектор). Объяснить студентам, что закон
распределения
дискретной двумерной случайной величины
задается таблицей с двойным входом,
содержащей возможные значения и их
вероятности:
При этом суммы элементов строк (столбцов)
этой таблицы определяют закон распределения
составляющей
(
):
,
.
Дать
определения функции
распределения
и плотности
распределения
непрерывной двумерной случайной
величины. Напомнить их свойства, сделав
основной упор на плотность распределения.
Напомнить формулу для вероятности
попадания случайной точки в область на
плоскости. Выразить плотности распределения
составляющих
и
через
совместную плотность распределения.
Напомнить условие независимости
составляющих
и
.
Дать определения двумерного
равномерного распределения
и двумерного
нормального закона.
Решить вместе со студентами задачи 408, 413, 415, 419, 420, 420, 424, 426, 435.
Примерное домашнее задание: №№ 409, 414, 416, 418, 425, 427, 428.
ЗАНЯТИЕ 10
Числовые характеристики случайных векторов
Проверить
домашнее задание и разобрать задачи,
вызвавшие затруднения. Напомнить формулы
для вычисления математических ожиданий
и дисперсий случайных величин
и
составляющих случайный вектор
(рассмотреть
дискретный и непрерывный случай). Кроме
того, напомнить понятия корреляционного
момента
и коэффициента
корреляции.
Дать определение коррелированных
случайных величин. Напомнить определение
двумерного нормального закона и
разъяснить смысл его параметров.
Решить следующие задачи из пособия “Высшая математика в упражнениях и задачах, Ч. 2” (Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я., “Высшая школа”, М., 1980).
ЗАДАЧА
1. В двух ящиках находятся по шесть шаров;
в первом ящике: один шар - с № 1, два шара
- с № 2, три шара - с № 3; во втором ящике:
два шара - с № 1, три шара - с № 2, один шар
- с № 3. Пусть
- номер шара, вынутого из первого ящика,
- номер шара, вынутого из второго ящика.
Из каждого ящика вынули по шару. Составить
таблицу закона распределения системы
случайных величин
.
ЗАДАЧА
2. Найти математические ожидания случайных
величин
и
по условию предыдущей задачи.
ЗАДАЧА
3. Найти дисперсии случайных величин
и
по
условию задачи 1.
ЗАДАЧА 4. Найти коэффициент корреляции по условию задачи 1.
ЗАДАЧА
5. Система случайных величин
подчинена закону распределения с
плотностью
где
в области
и
вне этой области.
Область
- квадрат, ограниченный прямыми
,
,
,
.
Требуется:
1) определить коэффициент
;
2)
вычислить вероятность попадания
случайной точки
в квадрат
,
ограниченный прямыми
,
,
,
;
3)
найти математические ожидания
и
;
4)
средние квадратичные отклонения
и
.
ЗАДАЧА
6. Система случайных величин
подчинена
закону распределения с плотностью
где
в области
и
вне этой области.
Область
определяется неравенствами
,
.
Найти:
1) коэффициент
;
2)
математические ожидания
и
;
3)
средние квадратичные отклонения
и
;
4)
коэффициент корреляции
.
Примерное домашнее задание: №№ 431, 432, 434, 435 из задачника В. Е. Гмурмана и еще три задачи:
ЗАДАЧА
7. Дана таблица, определяющая закон
распределения системы двух случайных
величин
:
-
20
40
60
10
0
20
30
Найти:
1) коэффициент
;
2)
математические ожидания
и
;
3)
дисперсии
и
;
4)
коэффициент корреляции
.
ЗАДАЧА
8. Система случайных величин
подчинена закону распределения с
плотностью
где
в области
и
вне этой области.
Область
- треугольник, ограниченный прямыми
и
Найти:
1) коэффициент
;
2)
математические ожидания
и
;
3)
дисперсии
и
;
4)
коэффициент корреляции
.
ЗАДАЧА
9. Система случайных величин
подчинена закону распределения с
плотностью
где
если
,
и
если
.
Найти:
1) коэффициент
;
2)
математические ожидания
и
;
3)
дисперсии
и
;
4)
коэффициент корреляции
.
ЗАНЯТИЕ 11