Учебники, методички / Maple в курсе математического анализа. Формула Тейлора / taylor6

\documentclass[12pt,draft]{article}
\usepackage{amsmath,amsthm,russcorr}
%\usepackage{srctex}

\begin{document}
\tolerance1700
\input title.lat
\begin{center}
\vspace{5mm}

{\large 1. ‚ўҐ¤Ґ­ЁҐ}\\
\end{center}

‚ ­ бв®п饥 ўаҐ¬п Єа ©­Ґ  Євг «м­л¬ ЇаҐ¤бв ў«пҐвбп ᮧ¤ ­ЁҐ
г祡\-­®-¬Ґ\-⮤ЁзҐбЄЁе Ї®б®ЎЁ© Ї® Ё§г祭Ёо Єгаб  ўлб襩 ¬ вҐ¬ вЁЄЁ
бв㤥­в ¬Ё вҐе­ЁзҐбЄЁе ўг§®ў б ЁбЇ®«м§®ў ­ЁҐ¬ Ї®пўЁўиЁебп ў
Ї®б«Ґ¤­ҐҐ ўаҐ¬п Є®¬ЇмовҐа­ле ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе Ї ЄҐв®ў Ё бЁб⥬.
Ќ бв®пй п а Ў®в  Ё ЇаҐ¤бв ў«пҐв б®Ў®© ®¤Ё­ Ё§ и Ј®ў ў а §ўЁвЁҐ
нв®Ј® ­ Їа ў«Ґ­Ёп.
\\
\par
‚ ­ бв®п饬 ¬Ґв®¤ЁзҐбЄ®¬ Ї®б®ЎЁЁ Ё§« Ј овбп ­ҐЄ®в®алҐ вҐ®аҐвЁзҐбЄЁҐ
१г«мв вл ¤«п д®а¬г« Ё а冷ў ’Ґ©«®а  Ё ­  а拉 ЇаЁ¬Ґа®ў
Ї®Є §лў Ґвбп ЇаЁ¬Ґ­Ґ­ЁҐ Ї ЄҐв  MAPLE ЇаЁ Ёе Ё§г祭ЁЁ.

\begin{center}
{\large 2. Њ вҐ¬ вЁзҐбЄЁҐ Ї ЄҐвл. Џ ЄҐв Maple}\\
\end{center}

Њ вҐ¬ вЁзҐбЄЁҐ Ї ЄҐвл пў«повбп Єа ©­Ґ ў ¦­л¬ н«Ґ¬Ґ­в®¬ ЁбЇ®«м§®ў ­Ёп
Ё Ё§г祭Ёп ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе §­ ­Ё© ­  ᮢ६Ґ­­®¬ нв ЇҐ а §ўЁвЁп
Є®¬ЇмовҐа­®© вҐе­ЁЄЁ. Љ Є ¤«п ¬ вҐ¬ вЁЄ -Ёбб«Ґ¤®ў вҐ«п, в Є Ё ¤«п
бв㤥­в , Ё§гз о饣® Єгаб ўлб襩 ¬ вҐ¬ вЁЄЁ, ­ ЁЎ®«м襥 §­ зҐ­ЁҐ
ЇаҐ¤бв ў«пов б«Ґ¤гойЁҐ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁҐ Ї ЄҐвл: Ї ЄҐв MAPLE Є®¬Ї ­ЁЁ
Wa\-terloo Maple Inc., Ї ЄҐв Mathcad Є®¬Ї ­ЁЁ Mathsoft, Ї ЄҐв
MATHEMATICA Є®¬Ї ­ЁЁ Wolfram Research Inc., Ї ЄҐв MATLAB Є®¬Ї ­ЁЁ
Mathworks, Ї ЄҐв Scientific Work Place Є®¬Ї ­ЁЁ MacKichan Software
Inc., ќ­жЁЄ«®ЇҐ¤Ёп  ¬ вҐ¬ вЁЄЁ ­  CD-ROM Ё§¤ вҐ«мбвў  Kluwer
Academic Publishers Ё ¤агЈЁҐ. Њ®¦­® ®в¬ҐвЁвм ⥭¤Ґ­жЁо ­ з « 
а бЇа®бва ­Ґ­Ёп в ЄЁе Ї ЄҐв®ў ­Ґ ­  ¦ҐбвЄЁе ­®бЁвҐ«пе,   зҐаҐ§
¤®бвгЇ ў €­вҐа­Ґв ў Є зҐб⢥ б।бвў ¤Ёбв ­жЁ®­­®Ј® ®Ўг祭Ёп.
\\
\par
Џ ЄҐв MAPLE пў«пҐвбп Є Є  ­ «ЁвЁзҐбЄЁ¬ Ё­бва㬥­в®¬, в Є Ё б।бвў®¬
Їа®Ја ¬¬Ёа®ў ­Ёп ¤«п Є ¦¤®Ј® Ё§гз о饣® ¬ вҐ¬ вЁЄг.
\\
\par
Ћ¤­Ё¬ Ё§ ­ Ё«гзиЁе Ї® нд䥪⨢­®бвЁ Ё ¬®й­®бвЁ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе Ї ЄҐв®ў
¤«п ЁбЇ®«м§®ў ­Ёп бв㤥­в ¬Ё, Ё§гз ойЁ¬Ё Єгаб ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®  ­ «Ё§ ,
пў«пҐвбп MAPLE. ќв® ®¤­  Ё§ ­ ЁЎ®«ҐҐ ¬®й­ле бЁб⥬  ­ «ЁвЁзҐбЄЁе
ўлзЁб«Ґ­Ё©. Ћ­  Ї®§ў®«пҐв §­ зЁвҐ«м­® Ї®ўлбЁвм бЄ®а®бвм ўлЇ®«­Ґ­Ёп
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе ®ЇҐа жЁ©. џ§лЄ Їа®Ја ¬¬Ёа®ў ­Ёп, Ја дЁзҐбЄЁ© Ё­вҐа䥩б,
2-D Ё 3-D ўЁ§г «Ё§ жЁЁ Ї®§ў®«пов «ҐЈЄ® Ї®«гз вм Ја дЁзҐбЄЁҐ Ё««обва жЁЁ
Ё§гз Ґ¬ле ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе Ї®­пвЁ©. ‚ ¦­Ґ©иЁ¬ н«Ґ¬Ґ­в®¬ MAPLE бЁб⥬
пў«пҐвбп 㤮Ўбвў® Ёе ЁбЇ®«м§®ў ­Ёп ¤«п бв㤥­в®ў Ё ЇаҐЇ®¤ ў вҐ«Ґ© ў
€­вҐа­ҐвҐ.
\\
\par
‘Ёб⥬  MAPLE ᮧ¤ Ґв ҐбвҐб⢥­­го ®Ўгз ойго б।㠤«п бв㤥­в®ў
ҐбвҐб⢥­­®-­ гз­®Ј® Ё вҐе­ЁзҐбЄ®Ј® Їа®дЁ«п Ї® ®Ўг祭Ёо Єгабг
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®  ­ «Ё§ . ЏаЁ аҐиҐ­ЁЁ «оЎ®© з бвЁ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®©
Їа®Ў«Ґ¬л бв㤥­в ¬®¦Ґв ЇаЁ¬Ґ­Ёвм Їа ўЁ«® ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®  ­ «Ё§ 
Ё«Ё ЁбЇ®«м§®ў вм Є®¬ ­¤г MAPLE. ‚ з бв­®бвЁ ўЁ§г «Ё§ жЁп бЇ®б®ЎбвўгҐв
Ї®­Ё¬ ­Ёо е а ЄвҐа  б室Ё¬®бвЁ Ё§гз Ґ¬®© ­ ¬Ё д®а¬г«л ’Ґ©«®а  ¤«п
а §«Ёз­ле дг­ЄжЁ©. €бЇ®«м§®ў ­ЁҐ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе Ї ЄҐв®ў бв㤥­в®¬
ЇаЁ ®Ўг祭ЁЁ бЇ®б®ЎбвўгҐв ⮬г, зв® гЄ § ­­лҐ Ї ЄҐвл Ё Ёе
а биЁаҐ­­лҐ ў®§¬®¦­®бвЁ Ўг¤гв ЁбЇ®«м§®ў вмбп вҐе­ЁзҐбЄЁ¬
бЇҐжЁ «Ёб⮬ Ё ўЇ®б«Ґ¤бвўЁЁ ў бў®Ґ© Ё­¦Ґ­Ґа­®© ¤Ґп⥫쭮бвЁ.


\begin{center}
{\large 3. ”®а¬г«  ’Ґ©«®а }\\
\end{center}


ђп¤ ’Ґ©«®а  - нв® б⥯Ґ­­®© ап¤ ўЁ¤ 
$$
\sum^{\infty }_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k},
$$
\\
Ј¤Ґ зЁб«®ў п дг­ЄжЁп $ f $ ЇаҐ¤Ї®« Ј Ґвбп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®© ў ­ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $ x_{0} $ Ё Ё¬Ґо饩 ў нв®© в®зЄҐ Їа®Ё§ў®¤­лҐ
ўбҐе Ї®ап¤Є®ў.
\\
\par
Њ­®Ј®з«Ґ­ ¬Ё ’Ґ©«®а , Ї®ап¤Є  $ n $ ᮮ⢥вб⢥­­®, ­ §лў овбп
з бв­лҐ б㬬л ап¤  ’Ґ©«®а 
$$
\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}.
$$
\\
\par
…б«Ё ¬л а бЇЁиҐ¬ нвг д®а¬г«г, в® Ї®«гзЁ¬ б«Ґ¤го饥 ўла ¦Ґ­ЁҐ
$$
f(x_{0})+\frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+
\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+
\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}.
$$
\\
\par
”®а¬г«  ’Ґ©«®а  ¤«п дг­ЄжЁЁ $ f(x) $ - нв® ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ
ў ўЁ¤Ґ бг¬¬л ҐҐ ¬­®Ј®з«Ґ­  ’Ґ©«®а  б⥯Ґ­Ё $ n (n=0,1,2,...) $ Ё
®бв в®з­®Ј® з«Ґ­ . „агЈЁ¬Ё б«®ў ¬Ё нв® ­ §лў ов а §«®¦Ґ­ЁҐ¬ дг­ЄжЁЁ
$ f(x) $ Ї® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а  ў ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $ x_{0}. $ …б«Ё
¤Ґ©б⢨⥫쭠п дг­ЄжЁп $ f $ ®¤­®Ј® ЇҐаҐ¬Ґ­­®Ј® Ё¬ҐҐв $ n $
Їа®Ё§ў®¤­ле  ў в®зЄҐ $ x_{0}, $ в® ҐҐ д®а¬г«  ’Ґ©«®а  Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$$
f(x)=P_{n}(x)+r_{n}(x),
$$
\\
Ј¤Ґ
$$
P_{n}(x)=\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}
$$
- ¬­®Ј®з«Ґ­ ’Ґ©«®а  б⥯Ґ­Ё $ n $,   ®бв в®з­л© з«Ґ­ ¬®¦Ґв Ўлвм
§ ЇЁб ­ ў д®а¬Ґ ЏҐ ­®
$$
r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.
$$
Џ®«гз Ґ¬, зв®
$$
P_{n}(x)=f(x_{0})+\frac{f^{\prime}(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+
\frac{f^{\prime\prime}(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+
\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}.
$$
\\
\par
…б«Ё дг­ЄжЁп $ f $ ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬  $ n+1 $ а § ў ­ҐЄ®в®а®©
®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $ x_{0}, (x_{0}-\delta , x_{0}+\delta ),
\delta >0, $ в® ®бв в®з­л© з«Ґ­ ў нв®© ®ЄаҐбв­®бвЁ ¬®¦Ґв Ўлвм
§ ЇЁб ­ ў д®а¬Ґ ‹ Ја ­¦ 
$$
r_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(x_{0}+\theta (x-x_{0}))}{(n+1)!}(x-x_{0})^{(n+1)} ,
$$
$$
0< \theta <1, x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta ).
$$
\\
\par
‡ ¬ҐвЁ¬, зв® ЇаЁ $ n=1 $ ўла ¦Ґ­ЁҐ ¤«п
$ P_{1}(x)=f(x_{0})+f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0}) $
б®ўЇ ¤ Ґв б д®а¬г«®© ‹ Ја ­¦  Є®­Ґз­ле ЇаЁа йҐ­Ё© ¤«п дг­ЄжЁЁ
$ f(x). $
\\
\par
€§ д®а¬г«л ’Ґ©«®а  ўЁ¤­®, зв® в®з­®бвм  ЇЇа®ЄбЁ¬ жЁЁ, Є Є Їа ўЁ«®,
ў®§а бв Ґв б а®б⮬ б⥯Ґ­Ё ¬­®Ј®з«Ґ­  ’Ґ©«®а  Ё ⥬ ўлиҐ, 祬
в®зЄ  $ x $ Ў«Ё¦Ґ Є в®зЄҐ $ x_{0} $.
\\
\par
”®а¬г«  ’Ґ©«®а  ¤«п ¬­®Ј®з«Ґ­®ў. Џгбвм Ё¬ҐҐвбп Їа®Ё§ў®«м­л© ¬­®Ј®з«Ґ­
$ f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}. $ ’®Ј¤  ЇаЁ «оЎле $ x $ Ё
$ h $ Ё¬ҐҐв ¬Ґбв® б«Ґ¤гой п д®а¬г« :
\begin{eqnarray*}
f(x+h)=a_{0}(x+h)^{n}+a_{1}(x+h)^{n-1}+...+a_{n}=\\
=f(x)+f^{\prime}(x)h+\frac{f^{\prime\prime}(x)}{2!}h^{2}+...+
\frac{f^{(k)}(x)}{k!}h^{k}+...+\frac{f^{(n)}(x)}{n!}h^{n}.
\end{eqnarray*}
\\
\par
ђп¤®¬ Њ Є«®аҐ­  ¤«п дг­ЄжЁЁ $ f(x) $ ­ §лў Ґвбп ҐҐ ап¤ ’Ґ©«®а 
ў в®зЄҐ $ 0 $ ­ з «  Є®®а¤Ё­ в, в® Ґбвм в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ нв®
б⥯Ґ­­®© ап¤ ўЁ¤ 
$$
f(x)=\sum^{\infty }_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} .
$$
\\
\par
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ д®а¬г«  Њ Є«®аҐ­  пў«пҐвбп з бв­л¬ б«гз Ґ¬
д®а¬г«л ’Ґ©«®а . ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® дг­ЄжЁп $ f(x) $ Ё¬ҐҐв $ n $
Їа®Ё§ў®¤­ле ў в®зЄҐ $ x=0 $ . ’®Ј¤  ў ­ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв­®бвЁ нв®©
в®зЄЁ $ (-\delta , \delta ), \delta >0 $ , дг­ЄжЁо $ f(x) $ ¬®¦­®
ЇаҐ¤бв ўЁвм ў ўЁ¤Ґ
$$
f(x)=\sum^{n}_{k=0}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}+r_{n}(x),
$$
$$
x\in (-\delta , \delta ),
$$
\\
Ј¤Ґ $ r_{n}(x) $ - ®бв в®з­л© з«Ґ­ $ n- $ ®Ј® Ї®ап¤Є  ў д®а¬Ґ ЏҐ ­®.
\\
\par
”®а¬г«  ’Ґ©«®а  Ї®§ў®«пҐв ᢥбвЁ Ё§г祭ЁҐ бў®©бвў Є®­Ґз­®Ґ Ё«Ё
ЎҐбЄ®­Ґз­®Ґ зЁб«® а § ¤ЁддҐаҐ­жЁа㥬®© дг­ЄжЁЁ Є Ў®«ҐҐ Їа®бв®©
§ ¤ зҐ Ё§г祭Ёп нвЁе бў®©бвў г ᮮ⢥вбвўго饣® ¬­®Ј®з«Ґ­  ’Ґ©«®а .
ќвЁ¬ ®Ўмпб­пҐвбп ў ¦­®бвм ўбҐў®§¬®¦­ле  ­ «ЁвЁзҐбЄЁе Ё зЁб«Ґ­­ле
ЇаЁ«®¦Ґ­Ё© д®а¬г«л ’Ґ©«®а  ¤«п  ЇЇа®ЄбЁ¬ жЁЁ Ё ўлзЁб«Ґ­Ёп дг­ЄжЁ©.
‡ ¬Ґ­  дг­ЄжЁ© ­  Ёе ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­ЁҐ ¬­®Ј®з«Ґ­®¬ ’Ґ©«®а  Ї®¬®Ј Ґв
Ё§г祭Ёо ЇаҐ¤Ґ«®ў,  ­ «Ё§г б室Ё¬®бвЁ Ё а б室Ё¬®бвЁ а冷ў Ё
Ё­вҐЈа «®ў, ўлзЁб«Ґ­Ёо Ё­вҐЈа «®ў Ё в.¤. ”®а¬г«  ’Ґ©«®а  иЁа®Є®
ЁбЇ®«м§гҐвбп ЇаЁ ўлзЁc«Ґ­ЁЁ §­ зҐ­Ё© дг­ЄжЁЁ б § ¤ ­­®© б⥯Ґ­мо
в®з­®бвЁ.
\\
\par
ЏаЁўҐ¤Ґ¬ а §«®¦Ґ­Ёп Ї® д®а¬г«Ґ Њ Є«®аҐ­  ¤«п ®б­®ў­ле н«Ґ¬Ґ­в а­ле
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе дг­ЄжЁ©:
$$
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n}),
$$
$$
sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+...+
(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n}),
$$
$$
cosx=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+...+
(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}),
$$
$$
(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^{2}+
...+\frac{\alpha (\alpha -1)...(\alpha-n+1)}{n!}x^{n}+o(x^{n}),
$$
$$
ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+...+
(-1)^{n-1}\frac{x^{n}}{n}+o(x^{n}).
$$
\\
\\
\\

\begin{center}
{\large 4. €бЇ®«м§®ў ­ЁҐ Ї ЄҐв  MAPLE ЇаЁ Ё§г祭ЁЁ д®а¬г«л
’Ґ©«®а }\\
\end{center}

ЏаҐ¦¤Ґ ўбҐЈ® ®в¬ҐвЁ¬ ў®§¬®¦­®бвм ЁбЇ®«м§®ў ­Ёп Ї ЄҐв  MAPLE
Є Є ®зҐ­м ¬®й­®Ј® Є «мЄг«пв®а .
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 1. —в®Ўл ўлзЁб«Ёвм $ (14)\cdot (12^{13}) $ ­Ґ®Ўе®¤Ё¬®
ўлЇ®«­Ёвм б«Ґ¤гойго Є®¬ ­¤г MAPLE
\\
$ >14*12^{\land}13; $
\\
Џ®«гз Ґвбп ®вўҐв: 1497904875307008 .
\\
\par
Ћв¬ҐвЁ¬, зв® MAPLE а бЇ®§­ Ґв ¬­®ЈЁҐ бЇҐжЁ «м­лҐ ®ЇҐа в®ал, в Є
ў з бв­®бвЁ з бв® ўбваҐз ойЁҐбп ў Єгаᥠ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®  ­ «Ё§ 
д Єв®аЁ «л.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 2. ‚лзЁб«Ёвм $ 15!. $
\\
$ >15!; $
\\
Џ®«гз Ґвбп ®вўҐв: 1307674368000 .
\\
\par
“¤®Ў­® Їа®ў®¤Ёвм ў MAPLE ўлзЁб«Ґ­ЁҐ Є®­Ґз­ле Ё ЎҐбЄ®­Ґз­ле а冷ў.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 3. ђ бᬮваЁ¬ ўлзЁб«Ґ­ЁҐ Є®­Ґз­®© бг¬¬л ЇҐаўле ¤ҐбпвЁ
з«Ґ­®ў ап¤  б«Ґ¤го饣® ўЁ¤ 
$ \sum_{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\frac{1}{k}. $ —в®Ўл ҐҐ ўлзЁб«Ёвм
­Ґ®Ўе®¤Ё¬® ўлЇ®«­Ёвм б«Ґ¤гойЁҐ Є®¬ ­¤л MAPLE:
\\
$ >sum((-1)^{k+1}*1/k,k=1..10); $
\\
Џ®«гз Ґвбп $ \frac{1627}{2520}. $
\\
€ ¤ «ҐҐ
\\
$ >evalf(1627/2520); $
\\
¤ Ґв ¤ҐбпвЁз­л© १г«мв в $ .6456349206 $.
\\
‡ ¬ҐвЁ¬, зв® Є Є ў н⮬ ¬ҐбвҐ, в Є Ё ў ¤агЈЁе б«гз пе а Ў®вл
б Ї ЄҐв®¬ MAPLE ¬®¦­® ЁбЇ®«м§®ў вм ЇҐаҐ¬Ґ­­го б।л $ \% $ ,
Є®в®а п б®еа ­пҐв ў Є зҐб⢥ бў®ҐЈ® §­ зҐ­Ёп १г«мв в
ўлЇ®«­Ґ­Ёп Ї®б«Ґ¤­Ґ© Є®¬ ­¤л. ‘ ­Ґ© ЇаҐ¤л¤гй п Їа®жҐ¤га  MAPLE
Ўг¤Ґв ўлЈ«п¤Ґвм б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬:
\\
$ >evalf(\%); $
\\
Ћ¤­ Є® ў ­ бв®п饩 ¬Ґв®¤ЁзҐбЄ®© а Ў®вҐ ¤«п ­ Ј«п¤­®бвЁ
Ё§«®¦Ґ­Ёп Ўг¤Ґ¬ ®Ўе®¤Ёвмбп ЎҐ§ ЁбЇ®«м§®ў ­Ёп ЇҐаҐ¬Ґ­­®© б।л
$ \% $ Ё § ЇЁблў вм Є®¬ ­¤л MAPLE Ї®«­®бвмо.
\\
‚лзЁб«Ґ­ЁҐ ЎҐбЄ®­Ґз­®© б㬬л нв®Ј® ап¤  ЇаЁ Ї®¬®йЁ MAPLE ¤ Ґв
б«Ґ¤го饥:
\\
$ >sum((-1)^{(k+1)}*1/k,k=1..infinity); $
\\
Џ®«гз Ґвбп १г«мв в $ ln(2). $
\\
\par
‚ MAPLE бгйҐбвўгҐв бЇҐжЁ «м­ п Є®¬ ­¤ , Ї®§ў®«пой п ўлзЁб«пвм
ап¤л Ё ¬­®Ј®з«Ґ­л ’Ґ©«®а : $ taylor(expr, eq/nm, n). $ ‡¤Ґбм
$ expr $ -а §« Ј Ґ¬®Ґ ў ап¤ ўла ¦Ґ­ЁҐ, $ eq/nm $ - а ўҐ­бвў®
(ў ўЁ¤Ґ $ x=a $) Ё«Ё Ё¬п ЇҐаҐ¬Ґ­­®© (­ ЇаЁ¬Ґа $ x $), $ n $ -
­Ґ®Ўп§ вҐ«м­л© Ї а ¬Ґва, гЄ §лў ойЁ© ­  Ї®а冷Є а §«®¦Ґ­Ёп Ё
ЇаҐ¤бв ў«Ґ­­л© жҐ«л¬ Ї®«®¦ЁвҐ«м­л¬ зЁб«®¬ (ЇаЁ ®вбгвбвўЁЁ
гЄ § ­Ёп Ї®ап¤Є  ®­ ЇаЁ­Ё¬ Ґвбп а ў­л¬ Ї® 㬮«з ­Ёо $ 6 $).
…б«Ё $ eq/nm $ § ¤ Ґвбп ў ўЁ¤Ґ $ x=a, $ в® а §«®¦Ґ­ЁҐ
Їа®Ё§ў®¤Ёвбп ®в­®бЁвҐ«м­® в®зЄЁ $ x=a. $ …б«Ё $ eq/nm $
гЄ §лў Ґвбп Їа®бв® ў ўЁ¤Ґ Ё¬Ґ­Ё ЇҐаҐ¬Ґ­­®©, в®
Їа®Ё§ў®¤Ёвбп ўлзЁб«Ґ­ЁҐ ап¤  Ё ¬­®Ј®з«Ґ­  Њ Є«®аҐ­ .
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 4. Ќ ©вЁ ¬­®Ј®з«Ґ­ ’Ґ©«®а  9-®© б⥯Ґ­Ё нЄбЇ®­Ґ­жЁ «м­®©
дг­ЄжЁЁ $ e^{x} $ ў ­ з «Ґ Є®®а¤Ё­ в.
\\
$ >p9:=taylor(exp(x),x=0,10); $
\\
Џ®«гз Ґвбп б«Ґ¤гойЁ© १г«мв в ¤«п д®а¬г«л ’Ґ©«®а 
\\
\begin{eqnarray*}
e^{x}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{24}x^{4}+
\frac{1}{120}x^{5}+\frac{1}{720}x^{6}+\frac{1}{5040}x^{7}+\\
+\frac{1}{40320}x^{8}+\frac{1}{362880}x^{9}+O(x^{10})
\end{eqnarray*}
\\
\par
Ё ­ е®¤Ё¬ б ¬ ¬­®Ј®з«Ґ­ ’Ґ©«®а  Ї® б«Ґ¤го饩 Їа®жҐ¤гаҐ
ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп १г«мв в  ў ¬­®Ј®з«Ґ­
\\
$ >p9:=convert(p9,polynom); $
\\
\par
‚ १г«мв вҐ Ё¬ҐҐ¬ ¬­®Ј®з«Ґ­ ’Ґ©«®а 
\\
\begin{multline*}
p_{9}(x)=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{24}x^{4}+
\frac{1}{120}x^{5}+\frac{1}{720}x^{6}+\frac{1}{5040}x^{7}\\
+\frac{1}{40320}x^{8}+\frac{1}{362880}x^{9}.
\end{multline*}
\\
\par
Њ­®Ј®з«Ґ­л ’Ґ©«®а  ¤ ов ­ ЁЎ®«ҐҐ в®з­го  ЇЇа®ЄбЁ¬ жЁо ЇаЁЎ«Ё¦ Ґ¬®©
дг­ЄжЁЁ ўЎ«Ё§Ё в®зЄЁ $ x_{0} $. Џ® ¬ҐаҐ г¤ «Ґ­Ёп ®в в®зЄЁ $ x_{0} $
Ї®ЈаҐи­®бвм ў®§а бв Ґв. „«п ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­Ёп ЇаЁе®¤Ёвбп ЁбЇ®«м§®ў вм
¬­®Ј®з«Ґ­л ’Ґ©«®а  Ў®«ҐҐ ўлб®Є®© б⥯Ґ­Ё, ­® Ё­®Ј¤  Ё ®­Ё ­Ґ Ї®¬®Ј ов
ў бўп§Ё б ­ Є®Ї«Ґ­ЁҐ¬ ўлзЁб«ЁвҐ«м­®© Ї®ЈаҐи­®бвЁ.
\\
\par
€­вҐаҐб­® Їа®б«Ґ¤Ёвм нв®в Їа®жҐбб Ја дЁзҐбЄЁ. Џ ЄҐв Maple
ЇаҐ¤®бв ў«пҐв в Єго ў®§¬®¦­®бвм б Ї®¬®ймо Є®¬ ­¤л plot.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 5. Ќ ©вЁ зЁб«® e б в®з­®бвмо ¤® 0.001.
Џ®«®¦Ё¬ $ x=1. $ ’®Ј¤  зв®Ўл ўлзЁб«Ёвм §­ зҐ­ЁҐ $ e $ ­ ¬ ­ ¤®
ўлЇ®«­Ёвм Є®¬ ­¤г
\\
$ >eval(p9,x=1); $
\\
Џ®«гз Ґ¬ 98641/36288 Ё ¤ «ҐҐ
\\
$ >evalf(98641/36288); $
\\
¤ Ґв १г«мв в $ 2.718281526. $
\\
\par
€­вҐаҐб­® Їа®ўҐбвЁ ўлзЁб«Ґ­Ёп Ё ба ў­Ёвм १г«мв вл,
Ї®«гз ойЁҐбп ¤«п зЁб«  $ e $ ЇаЁ а §«Ёз­ле б⥯Ґ­пе
ЁбЇ®«м§гҐ¬®Ј® ¬­®Ј®з«Ґ­  ’Ґ©«®а . Џ®«гз овбп б«Ґ¤гойЁҐ १г«мв вл:
\\
$ k=1, e_{1}=1, k=2, e_{2}=2, k=3, e_{3}=2.5, k=4, e_{4}=2.666666667,
k=5, e_{5}=2.708333333, k=6, e_{6}=2.716666667, e_{7}=2.718055556,
k=8, e_{8}=2.718253968, k=9, e_{9}=2.718281526, e_{10}=2.718281801. $
\\
\par
Ћвбо¤  ўЁ¤­®, зв® зЁб«® $ e $ б в®з­®бвмо $ 0.001 $ ўлзЁб«пҐвбп,
­ зЁ­ п б ¬­®Ј®з«Ґ­  ’Ґ©«®а  7-®© б⥯Ґ­Ё. ’ Є¦Ґ б«Ґ¤гҐв, зв® зЁб«®
$ e $ c в®з­®бвмо $ 0.000001 $ Ё«Ё зв® в® ¦Ґ б ¬®Ґ $ 10^{-6} $
ўлзЁб«пҐвбп, ­ зЁ­ п б ¬­®Ј®з«Ґ­  ’Ґ©«®а  9-®© б⥯Ґ­Ё.
\\
\par
Ќ ап¤г б Є®¬ ­¤®© $ taylor $ ¤«п а §«®¦Ґ­Ёп дг­ЄжЁ© Ё ўла ¦Ґ­Ё© ў ап¤л
ЁбЇ®«м§гвбп Є®¬ ­¤  $ series . $ ђҐ§г«мв в®¬ ўлЇ®«­Ґ­Ёп Є®¬ ­¤л
$ series $ ¬®¦Ґв Ўлвм Ї®бв஥­ЁҐ ҐҐ ап¤  ’Ґ©«®а ,  бЁ¬Їв®вЁзҐбЄ®Ј® ап¤ 
Ё«Ё ¦Ґ ­ҐЄ®в®а®Ј® ®Ў®ЎйҐ­­®Ј® ап¤ , ¤ ¦Ґ Ґб«Ё ҐҐ ап¤ ’Ґ©«®а  ­Ґ
бгйҐбвўгҐв.
\\
\par
„«п а §«®¦Ґ­Ёп ў ап¤ ’Ґ©«®а  дг­ЄжЁЁ ­ҐбЄ®«мЄЁе ЇҐаҐ¬Ґ­­ле ЁбЇ®«м§гҐвбп
Є®¬ ­¤  $ mtaylor. $
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 6. Ќ ©вЁ ¬­®Ј®з«Ґ­ ’Ґ©«®а  6-®© б⥯Ґ­Ё ®в дг­ЄжЁЁ
$ \frac{x}{1+x}. $
\\
\par
„Ґ« Ґ¬ б«Ґ¤гойго Є®¬ ­¤г MAPLE.
\\
$ > h:=x/(1+x); $
\\
\par
Џ®«гз Ґ¬
\\
$ h:=\frac{x}{1+x}. $
\par
„ «ҐҐ ­ е®¤Ё¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а  Є®¬ ­¤®©
\\
$ > taylor(h,x,6); $
\\
$$
h(x)=x-x^{2}+x^{3}-x^{4}+x^{5}+O(x^{6})
$$
\\
Ё ¬­®Ј®з«Ґ­ ’Ґ©«®а  Є®¬ ­¤®©
\\
$ >h:=convert(h,polynom); $
\\
$ h_{6}(x)=x-x^{2}+x^{3}-x^{4}+x^{5}. $
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 7. Ќ ©вЁ а §«®¦Ґ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ $ arccos(x) $ ў ап¤ Њ Є«®аҐ­ .
\\
\par
‚лЇ®«­пҐ¬ Є®¬ ­¤г
\\
$ >taylor(arccos(x),x,12); $
\\
\par
Џ®«гз Ґ¬ १г«мв в
\\
$ arccos(x)=-\frac{\pi }{2}-x-\frac{1}{6}x^{3}-\frac{3}{40}x^{5}-
\frac{5}{112}x^{7}-\frac{35}{1152}x^{9}-\frac{63}{2816}x^{11}+
O(x^{12}). $
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 8. Ќ ©вЁ а §«®¦Ґ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ $ exp(x)+1 $ Ї® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а 
$ 4- $ ®© б⥯Ґ­Ё ў ®ЄаҐбв­®бвЁ в®зЄЁ $ x=2. $
\\
\par
‚лЇ®«­пҐ¬ Є®¬ ­¤г
\\
$ >taylor(exp(x)+1,x=2,5); $
\\
\par
Џ®«гз Ґ¬ १г«мв в
\\
$$
(e^{2}+1)+e^{2}(x-2)+\frac{1}{2}e^{2}(x-2)^{2}+
\frac{1}{6}e^{2}(x-2)^{3}+\frac{1}{24}e^{2}(x-2)^{4}+O((x-2)^{5}).
$$
\par
ЏаЁ¬Ґа 9.Ќ ©вЁ а §«®¦Ґ­ЁҐ ЈЁЇҐаЎ®«ЁзҐбЄ®Ј® Є®бЁ­гб  ў ап¤ Њ Є«®аҐ­ 
$ 8- $ ®© б⥯Ґ­Ё.
\\
\par
$ >taylor(cosh(x),x,10); $
\\
\par
Џ®«гз Ґ¬
\\
$ 1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+\frac{1}{720}x^{6}+
\frac{1}{40320}x^{8}+O(x^{10}). $
\\
\par
‡ ¬ҐвЁ¬, зв® г  ­ «ЁвЁзҐбЄЁе дг­ЄжЁ© Ёе а §«®¦Ґ­Ёп ў ап¤
’Ґ©«®а  бгйҐбвўго⠢ᥣ¤ . ЏаЁўҐ¤Ґ¬ ЇаЁ¬Ґа дг­ЄжЁЁ, ­Ґ Ё¬Ґо饩
а §«®¦Ґ­Ёп ў ап¤ ’Ґ©«®а  Ё ¤«п Є®в®а®© Є®¬ ­¤  $ taylor $ ­Ґ
¤ Ґв १г«мв в: $ f(x)=1/x^{2}+x. $
\\
$ >taylor(1/x^{2}+x,x,7);  $
\\
\par
‚ ®вўҐв ­  ўлЇ®«­Ґ­ЁҐ нв®© Є®¬ ­¤л MAPLE ¤ Ґв ®вўҐв:
\\
\par
Error, does not have a taylor expansion, try series(),
\\
зв® §­ зЁв "ЋиЁЎЄ , а §«®¦Ґ­ЁҐ ’Ґ©«®а  ­Ґ бгйҐбвўгҐв,
ЁбЇ®«м§г©вҐ Є®¬ ­¤г series()". ‚ १г«мв вҐ ўлЇ®«­Ґ­Ёп Є®¬ ­¤л
\\
$ >series(1/x^{2}+x,x,7); $
\\
Ї®«гз Ґ¬ Ёб室­®Ґ ўла ¦Ґ­ЁҐ $ x^{-2}+x. $ ‚ в® ¦Ґ ўаҐ¬п ў
®ЄаҐбв­®бвЁ ¤агЈЁе в®зҐЄ, ­ ЇаЁ¬Ґа в®зЄЁ $ x=2, $ д®а¬г« 
’Ґ©«®а  ўлзЁб«пҐвбп
\\
$ >taylor(1/x^{2}+x,x=2,7); $
\\
$ \frac{9}{4}+\frac{3}{4}(x-2)+\frac{3}{16}(x-2)^{2}-
\frac{1}{8}(x-2)^{3}+\frac{5}{64}(x-2)^{4}-\frac{3}{64}(x-2)^{5}+
\frac{7}{256}(x-2)^{6}+O((x-2)^{7}). $
\\
\par
Џ ЄҐв Maple ¤ Ґв ў®§¬®¦­®бвм Є Є ­ е®¦¤Ґ­Ёп а §«®¦Ґ­Ё© ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе
дг­ЄжЁ© ў ап¤л ’Ґ©«®а , в Є Ё Ја дЁзҐбЄ®© Ё­вҐаЇаҐв жЁЁ в®з­®бвЁ нвЁе
а §«®¦Ґ­Ё©. Џ®¤®Ў­ п Ја дЁзҐбЄ п ўЁ§г «Ё§ жЁп Ї®¬®Ј Ґв Ї®­Ё¬ ­Ёо
б室Ё¬®бвЁ ¬­®Ј®з«Ґ­®ў ’Ґ©«®а  Є б ¬®© ЇаЁЎ«Ё¦ Ґ¬®© дг­ЄжЁЁ.
\\
\par
ђ бᬮваЁ¬ ЇаЁ¬Ґал в Є®© Ја дЁзҐбЄ®© ўЁ§г «Ё§ жЁЁ ¤«п дг­ЄжЁЁ
$ cos(x). $ ‘а ў­Ё¬ Ја дЁЄЁ б ¬®© дг­ЄжЁЁ $ cos(x) $ б Ја дЁЄ ¬Ё ҐҐ
а §«®¦Ґ­Ё© ’Ґ©«®а  а §«Ёз­ле б⥯Ґ­Ґ©.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 10. ‘а ў­Ё¬ дг­ЄжЁо $ cos(x) $ c ҐҐ а §«®¦Ґ­ЁҐ¬ Њ Є«®аҐ­ 
5-®© б⥯Ґ­Ё ­  Ё­вҐаў «Ґ $ [-4,4]. $
\\
$ >appr:=taylor(cos(x), x=0,5); $
\\
$ appr:=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}+O(x^{6}) $
\\
$ >polyn:=convert(appr,polynom); $
\\
$ polyn:=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4} $
\\
$ >plot({cos(x),polyn},x=-4..4,color=black); $
\begin{center}
{ $ cos(x) $ Ё ҐЈ® а §«®¦Ґ­ЁҐ ў ап¤ Њ Є«®аҐ­  5-®© б⥯Ґ­Ё}
\end{center}

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph r11.bmp}}
\end{picture}
\caption{Џ®бв஥­ЁҐ дг­ЄжЁЁ $ cos(x) $ Ё ҐҐ а §«®¦Ґ­Ёп ў ап¤ Њ Є«®аҐ­ 
5-®Ј® Ї®ап¤Є }
\end{figure}


‹ҐЈЄ® § ¬ҐвЁвм, зв® ЇаЁ ­ҐЎ®«миЁе §­ зҐ­Ёпе $ x $ Ја дЁЄЁ б ¬®©
дг­ЄжЁЁ Ё ЇаЁЎ«Ё¦ о饣® ҐҐ а §«®¦Ґ­Ёп Їа ЄвЁзҐбЄЁ б®ўЇ ¤ ов,
®¤­ Є® ЇаЁ ў®§а бв ­ЁЁ $ x $ ­ зЁ­ ов ®в«Ёз вмбп.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 11. ‘а ў­Ё¬ дг­ЄжЁо $ cos(x) $ б ҐҐ а §«®¦Ґ­ЁҐ¬ Њ Є«®аҐ­ 
9-®© б⥯Ґ­Ё ­  Ё­вҐаў «Ґ $ [-4,4]. $
\\
$ >appr:=taylor(cos(x),x=0,9); $
\\
$ appr:=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}-\frac{1}{720}x^{6}+
\frac{1}{40320}x^{8}+O(x^{10}) $
\\
$ >polyn:=convert(appr,polynom); $
\\
$ polyn:=1-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{24}x^{4}-\frac{1}{720}x^{6}+
\frac{1}{40320}x^{8} $
\\
$ >plot({cos(x),polyn},x=-4..4,color=black); $
\\

\begin{center}
{ $ cos(x) $ Ё ҐЈ® а §«®¦Ґ­ЁҐ ў ап¤ Њ Є«®аҐ­  9-®© б⥯Ґ­Ё}
\end{center}

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph r22.bmp}}
\end{picture}
\caption{Џ®бв஥­ЁҐ дг­ЄжЁЁ $ cos(x) $ Ё ҐҐ а §«®¦Ґ­Ёп ў ап¤ Њ Є«®аҐ­ 
9-®Ј® Ї®ап¤Є .}
\end{figure}

ЏаЁ¬Ґа Ї®Є §лў Ґв, зв® ЇаЁ ЁбЇ®«м§®ў ­ЁЁ а §«®¦Ґ­Ёп ’Ґ©«®а  Ў®«ҐҐ
ўлб®Є®© б⥯Ґ­Ё в®з­®бвм ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­Ёп ў®§а бв Ґв Ё г¤ Ґвбп ¤®бвЁзм
㤮ў«Ґвў®аЁвҐ«м­®Ј® ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­Ёп ­  Ў®«ҐҐ иЁа®Є®¬ Ё­вҐаў «Ґ. Ћ¤­ Є®
§ ¬ҐвЁ¬, зв® б⥯Ґ­м а §«®¦Ґ­Ёп ’Ґ©«®а  ­Ґ«м§п Ї®ўли вм ­Ґ®Ја ­ЁзҐ­­®
ў бўп§Ё б ­ Є Ї«Ёў ­ЁҐ¬ ўлзЁб«ЁвҐ«м­®© Ї®ЈаҐи­®бвЁ.
\\
\par
ЏаЁ¬Ґа 12. ‘а ў­Ё¬ дг­ЄжЁо $ cos(x) $ Ё ҐҐ а §«®¦Ґ­ЁҐ ’Ґ©«®а  9-®©
б⥯Ґ­Ё ®в­®бЁвҐ«м­® в®зЄЁ $ x=1. $
\\
$ y(x):=convert(taylor(cos(x),x=1,9),polynom); $
\\
\begin{eqnarray*}
y(x):=cos(1)-sin(1)(x-1)-\frac{1}{2}cos(1)(x-1)^{2}+
\frac{1}{6}sin(1)(x-1)^{3}+\\
+\frac{1}{24}cos(1)(x-1)^{4}-
\frac{1}{120}sin(1)(x-1)^{5}-\frac{1}{720}cos(1)(x-1)^{6}+\\
+\frac{1}{5040}sin(1)(x-1)^{7}+
\frac{1}{40320}cos(1)(x-1)^{8}
\end{eqnarray*}
\\
$ >plot({y(x),cos(x)},x=-4..4,color=black); $

\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph r33.bmp}}
\end{picture}
\caption{Џ®бв஥­ЁҐ дг­ЄжЁЁ $ cos(x) $ Ё ҐҐ а §«®¦Ґ­Ёп ў ап¤ ’Ґ©«®а 
9-®© б⥯Ґ­Ё ®в­®бЁвҐ«м­® в®зЄЁ $x=1$}
\end{figure}


\par
„ ­­л© ЇаЁ¬Ґа Ї®Є §лў Ґв ўЁ¤ а §«®¦Ґ­Ё© ’Ґ©«®а  ®в­®бЁвҐ«м­®
­Ґ­г«Ґўле в®зҐЄ ў Ёе ®ЄаҐбв­®бвпе.
\\
\par
ЏаЁ а Ў®вҐ ­ ¤ Ї®¤Ј®в®ўЄ®© ­ бв®пйЁе ¬Ґв®¤ЁзҐбЄЁе
гЄ § ­Ё© ЁбЇ®«м§®ў « бм б«Ґ¤гой п г祡­ п Ё
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ п «ЁвҐа вга  ®ЎйҐ© ­ Їа ў«Ґ­­®бвЁ,
४®¬Ґ­¤гҐ¬ п Ё ¤«п ¤ «м­Ґ©иҐ© б ¬®бв®п⥫쭮© а Ў®вл.

\newpage

\begin{center}
{\large  ‹ЁвҐа вга }\\
\end{center}
1. ‹.„.Љг¤апўжҐў {\it Њ вҐ¬ вЁзҐбЄЁ©  ­ «Ё§}, Њ., ‚лби п иЄ®« , 1981.-
’.I,II.
\\
2. €.€.Ѓ ўаЁ­ {\it  ‚лби п ¬ вҐ¬ вЁЄ }, Њ., ЂЄ ¤Ґ¬Ёп,2002.
\\
3. „.’.ЏЁб쬥­­л© {\it Љ®­бЇҐЄв «ҐЄжЁ© Ї® ўлб襩 ¬ вҐ¬ вЁЄҐ}, Њ.,
Ђ©аЁб ЏаҐбб, 2002.-з.1,2.
\\
4. Џ.….„ ­Є®, Ђ.ѓ.Џ®Ї®ў, ’.џ.Љ®¦Ґў­ЁЄ®ў  {\it ‚лби п ¬ вҐ¬ вЁЄ  ў
гЇа ¦­Ґ­Ёпе Ё § ¤ з е}, Њ., Ћ­ЁЄб, 2002.-з.1,2.
\\
5. Ђ.‚.…дЁ¬®ў Ё ¤а. {\it ‘Ў®а­ЁЄ § ¤ з Ї® ¬ вҐ¬ вЁЄҐ}, Њ.,
”Ё§¬ в«Ёв, 2002.
\\
6. Љ.Ќ.‹г­Јг Ё ¤а. {\it ‘Ў®а­ЁЄ § ¤ з Ї® ўлб襩 ¬ вҐ¬ вЁЄҐ}, Њ.,
Ђ©аЁб ЏаҐбб, 2001.
\\
7. Ђ.‚.Њ ва®б®ў {\it Maple 6. ђҐиҐ­ЁҐ § ¤ з ўлб襩 ¬ вҐ¬ вЁЄЁ Ё
¬Ґе ­ЁЄЁ}, ‘ ­Єв-ЏҐвҐаЎгаЈ, BHV, 2001.
\\
8. ‚.Џ.„мпЄ®­®ў {\it Maple 7. “祡­л© Єгаб}, ‘ ­Єв-ЏҐвҐаЎгаЈ,
ЏЁвҐа, 2002.
\\
9. Ђ.Ќ.‚ бЁ«мҐў {\it Maple 8. ‘ ¬®гзЁвҐ«м}, Њ., „Ё «ҐЄвЁЄ , 2003.
\\
10. €.….Ђ­гдаЁҐў {\it MatLab 5.3/6.X. ‘ ¬®гзЁвҐ«м},
‘ ­Єв-ЏҐвҐаЎгаЈ, BHV, 2002.
\\
11. Ћ.ћ.ЂЈ аҐў , ….‚.‚ўҐ¤Ґ­бЄ п, Љ.ћ.ЋбЁЇҐ­Є® {\it Maple ў ЄгабҐ
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®  ­ «Ё§ . ЊҐв®¤ЁзҐбЄЁҐ гЄ § ­Ёп Є Їа ЄвЁзҐбЄЁ¬
§ ­пвЁп¬ Ї® ⥬Ґ: ``ЏаҐ¤Ґ« дг­ЄжЁЁ. ЌҐЇаҐалў­®бвм.''}, Њ.,
ЊЂ’€-ђѓ’“ Ё¬. Љ.ќ.–Ё®«\-Є®ўбЄ®Ј®, 1999.
\\
12. Ћ.ћ.ЂЈ аҐў , ….‚.‚ўҐ¤Ґ­бЄ п, Љ.ћ.ЋбЁЇҐ­Є® {\it Maple ў ЄгабҐ
¬ вҐ¬ вЁзҐбЄ®Ј®  ­ «Ё§ . ЊҐв®¤ЁзҐбЄЁҐ гЄ § ­Ёп Є Їа ЄвЁзҐбЄЁ¬
§ ­пвЁп¬ Ї® ⥬Ґ: ``„ЁддҐаҐ­жЁа®ў ­ЁҐ дг­ЄжЁ©.''}, Њ., ЊЂ’€-ђѓ’“
Ё¬. Љ.ќ.–Ё®«Є®ў\-бЄ®Ј®, 1999.
\\
13.http://www.Exponenta.ru .
\\
14.http://www.maplesoft.com .
\newpage



\begin{center}
{\large ЋЈ« ў«Ґ­ЁҐ}\\
\end{center}
{\large I.‚ўҐ¤Ґ­ЁҐ \dotfill2}\\
{\large II.Њ вҐ¬ вЁзҐбЄЁҐ Ї ЄҐвл. Џ ЄҐв MAPLE \dotfill2}\\
{\large III.”®а¬г«  ’Ґ©«®а  \dotfill3}\\
{\large IV.€бЇ®«м§®ў ­ЁҐ Ї ЄҐв  MAPLE ЇаЁ Ё§г祭ЁЁ\\
д®а¬г«л ’Ґ©«®а  \dotfill6}\\
{\large V.‹ЁвҐа вга  \dotfill13}\\
{\large VI.ЋЈ« ў«Ґ­ЁҐ \dotfill14}\\













%}

\end{document}