Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:
\documentstyle[12pt,draft,russcorr]{article}
\tolerance1250
%\newcommand{\ctg}{\mathop{\rm ctg}\nolimits}
%\newcommand{\sh}{\mathop{\rm sh}\nolimits}
%\newcommand{\ch}{\mathop{\rm ch}\nolimits}
%\newcommand{\th}{\mathop{\rm th}\nolimits}
%\newcommand{\cth}{\mathop{\rm cth}\nolimits}
\newcommand{\rot}{\mathop{\rm rot}\nolimits}
%\newcommand{\tg}{\mathop{\rm tg}\nolimits}
%\newcommand{\arctg}{\mathop{\rm arctg}\nolimits}
%\newcommand{\arcctg}{\mathop{\rm arcctg}\nolimits}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\let\o=\omega
\let\e=\varepsilon
\let\t=\tau
\let\tet=\vartheta
\let\f=\varphi
\let\d=\partial
\let\a=\alpha
\let\b=\beta
\let\z=\zeta
\let\g=\gamma
\let\O=\Omega
\let\de=\delta
\let\De=\Delta
\let\D=\Delta
\let\di=\displaystyle
\let\s=\section
\let\ss=\subsection
\begin{document}
\begin{center}\large \bf ЊЁЁбвҐабвў® ®Ўа §®ў Ёп ђ®ббЁ©бЄ®© ”Ґ¤Ґа жЁЁ
\bigskip
\it ``ЊЂ’€"- ђЋ‘‘€‰‘Љ€‰ ѓЋ‘“„Ђђ‘’‚…ЌЌ›‰
’…•ЌЋ‹Ћѓ€—…‘Љ€‰ “Ќ€‚…ђ‘€’…’ Ё¬.~Љ.~ќ.~–€Ћ‹ЉЋ‚‘ЉЋѓЋ
\vskip30pt
\rm
Љ 䥤а "‚лби п ¬ ⥬ вЁЄ "
\vskip 80pt
\bf Ђ.~‚.~†Ґ¬ҐаҐў
\vskip20pt
„€””…ђ…Ќ–€Ђ‹њЌЋ… €‘—€‘‹…Ќ€… ”“ЌЉ–€€ Ћ„ЌЋ‰ Џ…ђ…Њ…ЌЌЋ‰
\bigskip
— бвм 2
\bigskip
\rm ЊҐв®¤ЁзҐбЄ®Ґ Ї®б®ЎЁҐ ¤«п бв㤥⮢ 1-Ј® Єгаб 2-Ј®~д Єг«мвҐв ЊЂ’€
\vskip 150pt
Њ®бЄў 2003 Ј.
\end{center}
\thispagestyle{empty}
\newpage
\tableofcontents
\newpage
\s{Ћб®ўлҐ вҐ®аҐ¬л ¤ЁддҐаҐжЁ «м®Ј® ЁбзЁб«ҐЁп}
\ss{’Ґ®аҐ¬ ”Ґа¬ }
’®зЄЁ, Ј¤Ґ ¤®бвЁЈ Ґвбп ЁЎ®«м襥 Ё«Ё Ё¬Ґм襥 § 票Ґ дгЄжЁЁ §лў овбп
ᮮ⢥вб⢥® в®зЄ ¬Ё ¬ ЄбЁ¬г¬ Ё«Ё ¬ЁЁ¬г¬ дгЄжЁЁ.
{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ 1.} {\it ’®зЄ $x_0$ §лў Ґвбп в®зЄ®© {\bf ¬ ЄбЁ¬г¬ }
дгЄжЁЁ $f(x)$, Ґб«Ё ў ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x_0$ ўлЇ®«пҐвбп
Ґа ўҐбвў® $f(x)\ge f(x_0)$} (б¬. аЁб. 1).
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F13.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ 2.} {\it ’®зЄ $x_1$ §лў Ґвбп в®зЄ®© {\bf ¬ЁЁ¬г¬ }
дгЄжЁЁ $f(x)$, Ґб«Ё ў ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x_1$ ўлЇ®«пҐвбп
Ґа ўҐбвў® $f(x)\le f(x_1)$} (б¬. аЁб. 1).
‡ 票п дгЄжЁЁ ў в®зЄ е $x_0$ Ё $x_1$ §лў овбп ᮮ⢥вб⢥® {\it
¬ ЄбЁ¬г¬®¬ Ё ¬ЁЁ¬г¬®¬ дгЄжЁЁ}.
Њ ЄбЁ¬г¬ Ё ¬ЁЁ¬г¬ дгЄжЁЁ ®ЎкҐ¤Ёповбп ®ЎйЁ¬ §ў ЁҐ¬
{\it нЄбв६㬠дгЄжЁЁ}.
ќЄбв६㬠дгЄжЁЁ з бв® §лў ов {\it «®Є «мл¬} нЄбв६㬮¬,
Ї®¤зҐаЄЁў п ⥬ б ¬л¬,зв®
Ї®пвЁҐ нЄбв६㬠бўп§ ® «Ёим б ¤®бв в®з® ¬ «®© ®ЄаҐбв®бвмо в®зЄЁ $x_0$.
’ Є зв® ®¤®¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ дгЄжЁп ¬®¦Ґв Ё¬Ґвм ҐбЄ®«мЄ® нЄбв६㬮ў, ЇаЁзҐ¬
¬®¦Ґв б«гзЁвмбп в Є, зв® ¬ЁЁ¬г¬ ў ®¤®© в®зЄҐ Ў®«миҐ ¬ ЄбЁ¬г¬ ў ¤агЈ®©,
ЇаЁ¬Ґа, аЁб.1 $f_{min}(x_3)>f_{max}(x_0)$. Ќ «ЁзЁҐ ¬ ЄбЁ¬г¬ (Ё«Ё
¬ЁЁ¬г¬ ) ў ®в¤Ґ«м®© в®зЄҐ Їа®¬Ґ¦гвЄ $X$ ў®ўбҐ Ґ ®§ з Ґв, зв® ў нв®©
в®зЄҐ дгЄжЁп $f(x)$ ЇаЁЁ¬ Ґв ЁЎ®«м襥 ( Ё¬Ґм襥) § 票Ґ н⮬
Їа®¬Ґ¦гвЄҐ (Ё«Ё, Є Є Ј®ў®апв Ё¬ҐҐв Ј«®Ў «мл© ¬ ЄбЁ¬г¬ (¬ЁЁ¬г¬)).
{\it …б«Ё ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 п Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$
дгЄжЁп $y=f(x)$ ¤®бвЁЈ Ґв
ЁЎ®«м襣® Ё«Ё Ё¬Ґм襣® § зҐЁп ў ўгв॥©
в®зЄҐ $x_0$,в® в®Ј¤ Їа®Ё§ў®¤ п дгЄжЁЁ ў нв®© в®зЄҐ а ў г«о, в.Ґ.
$f'(x_0)=0$}.
\vspace{0.3 cm}
Џгбвм дгЄжЁп $y=f(x)$ ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$ Ё ў в®зЄҐ
$x_0\in X$ ЇаЁЁ¬ Ґв Ё¬Ґм襥 § 票Ґ (б¬. аЁб. 2).
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph F10.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
’®Ј¤
$$f(x_0+\D x)\ge f(x_0)$$
Ґб«Ё $x_0+\D x\in X$ Ё, б«Ґ¤®ў ⥫м®
$$\D y=f(x_0+\D x)-f(x_0)\ge 0$$
ЇаЁ ¤®бв в®з® ¬ «ле $\D x$ Ё Ґ§ ўЁбЁ¬® ®в § Є $\D x$.
Џ®н⮬г
$$\frac{\D y}{\D x}\ge 0\; \mbox{ЇаЁ}\; \D x>0\; (\mbox{бЇа ў ®в}\; x_0);$$
$$\frac{\D y}{\D x}\le 0\; \mbox{ЇаЁ}\; \D x<0\; (\mbox{б«Ґў ®в}\; x_0).$$
ЏҐаҐе®¤п Є ЇаҐ¤Ґ«г бЇа ў Ё б«Ґў Ї®«гзЁ¬
$$\lim_{\D x\to 0+}\frac{\D y}{\D x}\ge 0\; \mbox{Ё}\;
\lim_{\D x\to 0-}\frac{\D y}{\D x}\le 0.$$
’ Є Є Є дгЄжЁп ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$,
в® ЇаҐ¤Ґ«л бЇа ў Ё б«Ґў а ўл
$$\lim_{\D x\to 0+}\frac{\D y}{\D x}=\lim_{\D x\to 0-}\frac{\D y}{\D x}.$$
Ћвбо¤ $f'(x_0)=0$.
Ђ «®ЈЁз® ¤®Є §лў Ґвбп ¤«п ¬ ЄбЁ¬г¬ .
\vspace{0.3 cm}
’Ґ®аҐ¬г ”Ґа¬ з бв® §лў ов Ґ®Ўе®¤Ё¬л¬ гб«®ўЁҐ¬ §Єбв६г¬
{\bf ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®©} дгЄжЁЁ.
ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« вҐ®аҐ¬л ”Ґа¬ : {\it ў в®зЄҐ нЄбв६㬠, ¤®бвЁЈ Ґ¬®Ј®
ўгваЁ Їа®¬Ґ¦гвЄ $X$, Є б ⥫м п Є Ја дЁЄг дгЄжЁЁ Ї а ««Ґ«м ®бЁ ЎбжЁбб}.
\ss{’Ґ®аҐ¬ ђ®««п}
{\it Џгбвм дгЄжЁп $f(x)$
1) ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ Ё ҐЇаҐалў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[a,b]$;
2) бгйҐбвўгҐв Є®Ґз п Їа®Ё§ў®¤ п $f'(x)$, Ї® Єа ©Ґ© ¬ҐаҐ
ЁвҐаў «Ґ $( ,b)$;
3) Є®ж е Їа®¬Ґ¦гвЄ дгЄжЁп $f(x)$
ЇаЁЁ¬ Ґв а ўлҐ § 票п: $f(a)=f(b)$.
’®Ј¤ ¬Ґ¦¤г $a$ Ё $b$ ©¤Ґвбп в Є п в®зЄ , $c$ $(a<c<b)$,
зв® $f'(c)=0$}.
\vspace{0.3 cm}
”гЄжЁп $f(x)$ ҐЇаҐалў $[a,b]$, Ї®н⮬㠯® ўв®а®© ⥮६Ґ ‚ҐҐ©ива бб
$f(x)$ ¤®бвЁЈ Ґв бў®ҐЈ® Ё¬Ґм襣® $m$ Ё $M$ ЁЎ®«м襣® § 票п
(б¬ аЁб. 3).
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F11.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
ђ бᬮваЁ¬ 2 б«гз п:
1. $M=m$. ’®Ј¤ $f(x)$ б®еа пҐв Ї®бв®п®Ґ § 票Ґ $[a,b]$.
„Ґ©б⢨⥫м®, $m\le f(x)\ge M$ Ё Ї®н⮬г $f(x)=m=M$ ўбҐ¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ.
Џ®н⮬г $f'(x)=0$ ўбс¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ, ў Є зҐб⢥ $c$ ¬®¦® ў§пвм «оЎго
в®зЄг Ё§ $(a,b)$.
2. $M>m$. €§ўҐбв®, зв® ®Ў нвЁе § зҐЁп ¤®бвЁЈ овбп, ® в Є Є Є $f(a)=f(b)$,
в® е®вп Ўл ®¤® § 票Ґ ¤®бвЁЈ Ґвбп ў в®зЄҐ $c$ ¬Ґ¦¤г $a$ Ё $b$.
‚ в Є®¬ б«гз Ґ Ё§ вҐ®аҐ¬л ”Ґа¬ б«Ґ¤гҐв, зв® Їа®Ё§ў®¤ п ў $f'(c)$ нв®© в®зЄҐ
®Ўа й Ґвбп ў ®«м.
\vspace{0.3 cm}
ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄ п ЁвҐаЇаҐв жЁп вҐ®аҐ¬л ђ®««п ®§ з Ґв б«Ґ¤го饥:
{\it Ґб«Ё Єа ©ЁҐ
®а¤Ё вл ЄаЁў®© $f(x)$ ®в१ЄҐ $[a,b]$ а ўл, в® ЄаЁў®© ©¤Ґвбп
е®вп Ўл ®¤ в®зЄ , Ј¤Ґ Є б ⥫м п Ї а ««Ґ«м ®бЁ $Ox$. ‚ нв®© в®зЄҐ
Їа®Ё§ў®¤ п а ў г«о}.
…б«Ё $f(a)=f(b)=0$, ⮠⥮६㠐®««п ¬®¦® бд®а¬г«Ёа®ў вм в Є: {\it ¬Ґ¦¤г
¤ўг¬п Ї®б«Ґ¤®ў ⥫мл¬Ё г«п¬Ё ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© дгЄжЁЁ Ё¬ҐҐвбп е®вп Ўл
®¤Ё г«м Їа®Ё§ў®¤®©}.
\ss{’Ґ®аҐ¬ ‹ Ја ¦ }
Џгбвм
1) $f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ Ё ҐЇаҐалў
®в१ЄҐ $[a,b]$;
2) бгйҐбвўгҐв Є®Ґз п Їа®Ё§ў®¤ п $f'(x)$,
Ї® Єа ©Ґ© ¬ҐаҐ, ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$.
’®Ј¤ ¬Ґ¦¤г $a$ Ё $b$ ©¤свбп в®зЄ $c$ $(a<c<b)$,
зв® ¤«п Ґс ўлЇ®«пҐвбп а ўҐбвў®
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).$$
\vspace{0.3 cm}
‚ўҐ¤с¬ ўбЇ®¬®Ј ⥫мго дгЄжЁо, ®ЇаҐ¤Ґ«Ёў ҐҐ ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[a,b]$ а ўҐбвў®¬:
$$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(x-a).$$
ќв дгЄжЁп $F(x)$ 㤮ў«Ґвў®апҐв гб«®ўЁп¬ вҐ®аҐ¬л ђ®««п.
„Ґ©бвўЁвҐ«м® $F(x)$ ҐЇаҐалў ®в१ЄҐ $[a,b]$.
‚ ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$ Ё¬ҐҐв Є®Ґзго Їа®Ё§ў®¤го, а ўго
$$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
Ља®¬Ґ в®Ј®, $F(a)=F(b)=0$, в® Ґбвм $F(x)$ ЇаЁЁ¬ Ґв а ўлҐ § зҐЁп Є®ж е
$[a,b]$.
ЏаЁ¬ҐЁ¬ Є $F(x)$ ⥮६㠐®««п. ’®Ј¤ ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$ ©¤свбп в®зЄ
$c$, Ј¤Ґ F'(c)=0. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬
$$f'(б)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,$$
®вЄг¤
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$
\vspace{0.3 cm}
„®Є § го вҐ®аҐ¬г §лў ов в Є¦Ґ ⥮६®© ® б।Ґ¬ § 票Ё. Ћв¬ҐвЁ¬,
з⮠⥮६ ђ®««п пў«пҐвбп з бвл¬ б«гз Ґ¬ вҐ®аҐ¬л ‹ Ја ¦ .
„®Є § п д®а¬г«
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c);$$
Ё«Ё
$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$
®бЁв §ў ЁҐ д®а¬г«л ‹ Ја ¦ Ё«Ё д®а¬г« Є®Ґзле ЇаЁа 饨©.
ђ бᬮваЁ¬ ¬Ґе ЁзҐбЄЁ© Ё ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄЁ© б¬лб« вҐ®аҐ¬л ‹ Ја ¦ .
ЏаЁа 饨Ґ $f(b)-f(a)$ -- Ё§¬ҐҐЁҐ дгЄжЁЁ $f(x)$ ®в१ЄҐ $[a,b]$,
$\di{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ -- б।пп бЄ®а®бвм Ё§¬ҐҐЁп дгЄжЁЁ
н⮬ ®в१ЄҐ. ‡ зҐЁп Їа®Ё§ў®¤®© $f(x)$ ў Є ¦¤®© в®зЄҐ -- нв® "¬Ј®ўҐ п"
бЄ®а®бвм Ё§¬ҐҐЁп дгЄжЁЁ $f(x)$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ⥮६ г⢥ত Ґв: {\it
бгйҐбвўгҐв е®вп Ўл ®¤ в®зЄ ўгваЁ ®в१Є в Є п, зв® бЄ®а®бвм
Ё§¬ҐҐЁп дгЄжЁЁ ў Ґ© а ў б।Ґ© бЄ®а®бвЁ Ё§¬ҐҐЁп дгЄжЁЁ н⮬
®в१ЄҐ}.
ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄ п ЁвҐаЇаҐв жЁп ⥮६ ‹ Ја ¦ (б¬. аЁб. 4)
б«Ґ¤гой п: {\it ЄаЁў®© $AB$ ўбҐЈ¤ ©¤Ґвбп,
Ї® Єа ©Ґ© ¬ҐаҐ, ®¤ в®зЄ $M$, ў Є®в®а®© Є б ⥫м п Ї а ««Ґ«м е®а¤Ґ $AB$}.
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph F12.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
\ss{’Ґ®аҐ¬ Љ®иЁ}
Џгбвм
1) дгЄжЁЁ $f(x)$ Ё $g(x)$ ҐЇаҐалўл ®в१ЄҐ $[a,b]$;
2) бгйҐбвўгов Є®ҐзлҐ Їа®Ё§ў®¤лҐ $f'(x)$ Ё $g'(x)$,
Ї® Єа ©Ґ© ¬ҐаҐ, ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$;
3) $g'(x)$ Ґ а ў® г«о ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$.
’®Ј¤ ¬Ґ¦¤г $a$ Ё $b$ ©¤свбп в Є п в®зЄ $c$ $(a<c<b)$, зв®
$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}.$$
ќв д®а¬г« ®бЁв §ў ЁҐ д®а¬г«л Љ®иЁ.
\vspace{0.3 cm}
Ћв¬ҐвЁ¬, зв® § ¬Ґ вҐ«м «Ґў®© з бвЁ а ўҐбвў Ґ а ўҐ г«о $g(b)\ne g(a)$.
…б«Ё Ўл $g(b)=g(a)$, в® Ї® ⥮६Ґ ђ®««п Їа®Ё§ў®¤ п $g'(x)$
ў ҐЄ®в®а®© ўгв॥©
в®зЄҐ ®Ўа й « бм ў г«м, зв® Їа®вЁў®аҐзЁв 3-¬г гб«®ўЁо ⥮६л.
‡ зЁв $g(b)\ne g(a)$.
‚ўҐ¤с¬ ўбЇ®¬®Ј ⥫мго дгЄжЁо, ®ЇаҐ¤Ґ«Ёў ҐҐ ў Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $[a,b]$ а ўҐбвў®¬:
$$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot[g(x)-g(a)].$$
ќв дгЄжЁп $F(x)$ 㤮ў«Ґвў®апҐв ўбҐ¬ гб«®ўЁп¬ вҐ®аҐ¬л ђ®««п.
„Ґ©бвўЁвҐ«м® $F(x)$ ҐЇаҐалў ®в१ЄҐ $[a,b]$, в Є Є Є
ҐЇаҐалўл дгЄжЁЁ $f(x)$ Ё $g(x)$.
‚ ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$ дгЄжЁп $F(x)$ Ё¬ҐҐв Їа®Ё§ў®¤го, а ўго
$$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(x).$$
Ља®¬Ґ в®Ј®, $F(a)=F(b)=0$, в® Ґбвм $F(x)$ ЇаЁЁ¬ Ґв а ўлҐ
§ зҐЁп Є®ж е $[a,b]$.
ЏаЁ¬ҐЁ¬ Є $F(x)$ ⥮६㠐®««п. ’®Ј¤ ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$ ©¤свбп в®зЄ
$c$, Ј¤Ґ F'(c)=0. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬
$$f'(б)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(c)=0,$$
Ё«Ё
$$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$
ђ §¤Ґ«Ёў $g'(c)$ (нв® ў®§¬®¦®,
в Є Є Є $g'(c)\ne 0$), Ї®«гз Ґ¬ вॡ㥬®Ґ
а ўҐбвў®.
\vspace{0.3 cm}
Ћв¬ҐвЁ¬, з⮠⥮६ ‹ Ја ¦ пў«пҐвбп з бвл¬ б«гз Ґ¬ вҐ®аҐ¬л Љ®иЁ.
„«п д®а¬г«л Є®Ґзле ЇаЁа 饨© ў д®а¬г«Ґ Љ®иЁ б«Ґ¤гҐв Ї®«®¦Ёвм $g(x)=x$.
Џ®н⮬г ⥮६㠊®иЁ §лў ов ®Ў®ЎйҐ®© ⥮६®© ® б।Ґ¬ § 票Ё.
\s{‚®§а бв ЁҐ Ё гЎлў ЁҐ дгЄжЁ©}
{\bf ’Ґ®аҐ¬ (¤®бв в®з®Ґ гб«®ўЁҐ ў®§а бв Ёп дгЄжЁЁ).}
{\it …б«Ё Їа®Ё§ў®¤ п ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© дгЄжЁЁ Ї®«®¦ЁвҐ«м $f'(x)>0)$
ўгваЁ ҐЄ®в®а®Ј® Їа®¬Ґ¦гвЄ $X$,
в® ® ў®§а бв Ґв н⮬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ.}
\vspace{0.3 cm}
ђ бᬮваЁ¬ ¤ў § 票п $x_1$ Ё $x_2$ ¤ ®¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$.
Џгбвм $x_2>x_1$, $x_1,x_2\in X$. „®Є ¦Ґ¬, зв® $f(x_2)>f(x_1)$.
„«п дгЄжЁЁ $f(x)$ ®в१ЄҐ $[x_1,x_2]$ ўлЇ®«повбп гб«®ўЁп ⥮६л
‹ Ја ¦ , Ї®н⮬г
$$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1),$$
Ј¤Ґ $x_1<\xi<x_2$, в.Ґ. $\xi$ ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв Їа®¬Ґ¦гвЄг, Є®в®а®¬ Їа®Ё§ў®¤ п
Ї®«®¦ЁвҐ«м , ®вЄг¤ б«Ґ¤гҐв, зв® Їа ў п з бвм Ї®б«Ґ¤ҐЈ® а ўҐбвў
Ї®«®¦ЁвҐ«м . Ћвбо¤ $f(x_2)-f(x_1)>0$ Ё
$$f(x_2)>f(x_1).$$
\vspace{0.3 cm}
Ђ «®ЈЁз® ¤®Є §лў Ґвбп ¤агЈ п ⥮६ .
{\bf ’Ґ®аҐ¬ (¤®бв в®з®Ґ гб«®ўЁҐ гЎлў Ёп дгЄжЁЁ).}
{\it …б«Ё Їа®Ё§ў®¤ п ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© дгЄжЁЁ ®ваЁж ⥫м $(f'(x)<0)$
ўгваЁ ҐЄ®в®а®Ј® Їа®¬Ґ¦гвЄ $X$,
в® ® гЎлў Ґв н⮬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ.}
\vspace{0.3 cm}
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} €бб«Ґ¤®ў вм ў®§а бв ЁҐ Ё гЎлў ЁҐ дгЄжЁо $y=x^2-6x+2$.
$y'=2x-6$, $y'>0$ ЇаЁ $x>3$ $y'<0$ ЇаЁ $x<3$
Џ®н⮬г дгЄжЁп гЎлў Ґв ЁвҐаў «Ґ $(-\infty,3)$ Ё ў®§а бв Ґв
ЁвҐаў «Ґ $(3,\infty)$.
‡ ¬ҐвЁ¬, зв® Ґб«Ё Їа®Ё§ў®¤ п дгЄжЁЁ $f'(x)\ge 0$, в® ® ¬®®в®® ў®§а бв Ґв
Ґб«Ё Їа®Ё§ў®¤ п дгЄжЁЁ $f'(x)\le 0$, в® ® ¬®®в®® гЎлў Ґв.
\s{Џа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п}
ЏаҐ¤Ґ« ®в®иҐЁп ¤ўге ЎҐбЄ®Ґз® ¬ «ле Ё«Ё ЎҐбЄ®Ґз® Ў®«миЁе дгЄжЁ©
а ўҐ ЇаҐ¤Ґ«г ®в®иҐЁп Ёе Їа®Ё§ў®¤ле (Є®Ґз®¬г Ё«Ё ЎҐбЄ®Ґз®¬г),
Ґб«Ё Ї®б«Ґ¤Ё© бгйҐбвўгҐв ў гЄ § ®¬ б¬лб«Ґ.
€в Є, Ґб«Ё Ё¬ҐҐвбп Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®бвм
$$\left[\frac{0}{0}\right] \mbox{Ё«Ё} \left[\frac{\infty}{\infty}\right],$$
в®
$$\lim_{x\to x_0}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]
=\lim_{x\to x_0}\left[\frac{f'(x)}{g'(x)}\right]$$
Ё«Ё
$$\lim_{x\to \infty}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]
=\lim_{x\to \infty}\left[\frac{f'(x)}{g,(x)}\right].$$
\vspace{0.3 cm}
ђ бᬮваЁ¬ Їа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п
¤«п Ґ®ЇаҐ¤Ґ«с®бвЁ $\di{\left[\frac{0}{0}\right]}$ ЇаЁ $x\to x_0$.
Џгбвм дгЄжЁЁ $f(x)$ Ё $g(x)$, в Є¦Ґ Ёе Їа®Ё§ў®¤лҐ ҐЇаҐалўл ў
®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x_0$. ’®Ј¤
$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=0;\lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)=0.$$
‡ ЇЁиҐ¬
$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)},$$
Ј¤Ґ $x$ «Ґ¦Ёв ў ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x_0$.
€бЇ®«м§гҐ¬ ⥮६㠋 Ја ¦
$$f(x)-f(x_0)=f'(\xi_1)(x-x_0);$$
$$g(x)-g(x_0)=g'(\xi_2)(x-x_0),$$
Ј¤Ґ $x<\xi_1<x_0$; $x<\xi_2<x_0$. Џ®н⮬г
$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=
\lim_{x\to x_0}\frac{f'(\xi_1)(x-x_0)}{g'(\xi_2)(x-x_0)}=
\lim_{x\to x_0}\frac{f'(\xi_1)}{g'(\xi_2)}.$$
ЏаЁ $x\to x_0$ ў бЁ«г ҐЇаҐалў®бвЁ $f'(x)$ Ё $g'(x)$
Ё¬ҐҐ¬ $f'(\xi_1)\to f'(x_0)$ Ё $g'(\xi_2)\to g'(x_0)$.
Ћвбо¤ Ї®«гз Ґ¬
$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=
\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$
\vspace{0.3 cm}
ђ бᬮваЁ¬ ЇаЁ¬Ґал ЁбЇ®«м§®ў ЁҐ Їа ўЁ« ‹®ЇЁв «п.
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}}$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=
\lim_{x\to\infty}\frac{x'}{(e^x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{e^x}=0.$$
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}}$.
$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{e^x-1}=\left[\frac{0}{0}\right]=
\lim_{x\to 0}\frac{x'}{(e^x-1)'}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{e^x}=1.$$
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}}$.
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}=\left[\frac{0}{0}\right]=
\lim_{x\to 0}\frac{(e^x+e^{-x}-2)'}{(x^2)'}=
\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{2x}=\left[\frac{0}{0}\right].$$
…йҐ а § ЇаЁ¬ҐЁ¬ Їа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п.
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{2x}=
\lim_{x\to 0}\frac{(e^x-e^{-x})'}{(2x)'}
=\lim_{x\to 0}\frac{e^x+e^{-x}}{2}=1.$$
ЌҐ ўбҐЈ¤ Їа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п Ї®§ў®«пҐв ©вЁ
ЇаҐ¤Ґ«.
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЇаҐ¤Ґ« $\di{\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}}$.
ќв® Ґ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ®бвм вЁЇ $\di{\left[\frac{\infty}{\infty}\right]}$.
„«п 宦¤ҐЁп ЇаҐ¤Ґ« ЁбЇ®«м§гҐ¬ Їа ўЁ«® ‹®ЇЁв «п. €¬ҐҐ¬
$$\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=
\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=
\lim_{x\to \infty}\frac{(x+\sin x)'}{(x-\sin x)'}=
\lim_{x\to \infty}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}.$$
Ќ® нв®в ЇаҐ¤Ґ«
$$\lim_{x\to \infty}\frac{1+\cos x}{1-\cos x}$$
Ґ бгйҐбвўгҐв.
Ќ б ¬®¬ ¤Ґ«Ґ 宦¤ҐЁҐ ЇаҐ¤Ґ«
$\di{\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}}$
б«Ґ¤гҐв Їа®Ё§ў®¤Ёвм б«Ґ¤гойЁ¬ бЇ®б®Ў®¬.
$$\lim_{x\to \infty}\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=
\lim_{x\to \infty}\frac{1+\di{\frac{\sin x}{x}}}{1-\di{\frac{\sin x}{x}}}=1,$$
в Є Є Є
$$\lim_{x\to \infty}\frac{\sin x}{x}=0.$$
\s{”®а¬г« ’Ґ©«®а }
\ss{”®а¬г« ’Ґ©«®а ¤«п ¬®Ј®з«Ґ }
Џгбвм Ё¬ҐҐвбп ¬®Ј®з«Ґ $p(x)$ c⥯ҐЁ $n$;
$$p(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_3(x-x_0)^3+\cdots+a_n(x-x_0)^n.$$
Џа®¤ЁддҐаҐжЁа㥬 $p(x)$ $n$ а §:
$$p'(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+3a_3(x-x_0)^2+\cdots+n\cdot a_n(x-x_0)^{n-1};$$
$$p''(x)=2a_2+2\cdot 3a_3(x-x_0)+\cdots+(n-1)n\cdot a_n(x-x_0)^{n-2};$$
$$p'''(x)=2\cdot 3\cdot a_3+\cdots+(n-2)(n-1)n\cdot a_n(x-x_0)^{n-3};$$
$$p^{(n)}(x)=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots n\cdot a_n.$$
Џ®«®¦Ё¬ ў нвЁе д®а¬г« е $x=x_0$. Џ®«гзЁ¬
$$a_0=p(x_0); a_1=\frac{p'(x_0)}{1!};
a_2=\frac{p''(x_0)}{2!}; a_3=\frac{p'''(x_0)}{3!}; \cdots;
a_n=\frac{p^{n}(x_0)}{n!}.$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ Є®нддЁжЁҐвл а §«®¦ҐЁп ўла ¦ овбп зҐаҐ§ § 票п
б ¬®Ј® ¬®Ј®з«Ґ Ё ҐЈ® Їа®Ё§ў®¤ле ЇаЁ $x=x_0$. ЏҐаҐЇЁиҐ¬
$$p(x)=p(x_0)+\frac{p'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{p''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+
\cdots+\frac{p^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$$
Џ®«гзҐ п д®а¬г« ®бЁв §ў ЁҐ д®а¬г«л ’Ґ©«®а ¤«п ¬®Ј®з«Ґ .
\ss{”®а¬г« ’Ґ©«®а ¤«п Їа®Ё§ў®«м®© дгЄжЁЁ}
ђ бᬮваЁ¬ Їа®Ё§ў®«мго дгЄжЁо $f(x)$, ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, Ґ пў«пойгобп
¬®Ј®з«Ґ®¬. ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬, зв® ¤«п ҐҐ ў ҐЄ®в®а®© в®зЄҐ $x_0$ бгйҐбвўгов
Їа®Ё§ў®¤лҐ ўбҐе Ї®ап¤Є®ў, ¤® $n$ ўЄ«озЁвҐ«м®.
ќв® ®§ з Ґв, зв® дгЄжЁп ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ Ё Ё¬ҐҐв Їа®Ё§ў®¤лҐ
ўбҐе Ї®ап¤Є®ў ¤® $(n-1)$ ўЄ«озЁвҐ«м® ў ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв®бвЁ
в®зЄЁ $x_0$ $x\in (a,b)$, ў б ¬®© в®зЄҐ $x_0$ Їа®Ё§ў®¤го $n$-®Ј® Ї®ап¤Є .
Џ® «®ЈЁЁ б д®а¬г«®© ’Ґ©«®а ¤«п ¬®Ј®з«Ґ § ЇЁиҐ¬ б«Ґ¤гойЁ© ¬®Ј®з«Ґ
$$p(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+
\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$$
Њ®Ј®з«Ґ $p(x)$ Ґбвм ҐЄ®в®а®Ґ ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁҐ Є дгЄжЁЁ $f(x)$.
ђ бᬮваЁ¬ а §®бвм
$$r(x)=f(x)-p(x).$$
Џ® бў®©бвўг ¬®Ј®з«Ґ $p(x)$ ¤«п дгЄжЁЁ $r(x)$ б®Ў«о¤ овбп а ўҐбвў
$$r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots =r^{n}(x_0).$$
„®Є ¦Ґ¬, зв® Ґб«Ё ¤«п Є Є®©-«ЁЎ® дгЄжЁЁ $r(x)$, Ё¬Ґо饩 ў в®зЄҐ $x_0$
Їа®Ё§ў®¤лҐ ¤® $n-$®Ј® Ї®ап¤Є ўлЇ®«повбп нвЁ гб«®ўЁп,
в® Ё¬ҐҐв ¬Ґбв® б®®в®иҐЁҐ:
$$r(x)=o((x-x_0)^n),$$
в® Ґбвм
$$\lim_{x\to x_0}\frac{r(x)}{(x-x_0)^n}=0.$$
Ѓг¤Ґ¬ ЁбЇ®«м§®ў вм ¬Ґв®¤ ¬ ⥬ вЁзҐбЄ®© Ё¤гЄжЁЁ.
Џ® ¬Ґв®¤г ¬ ⥬ вЁзҐбЄ®© Ё¤гЄжЁЁ ЇаЁ $n=1$ нв® г⢥তҐЁҐ Ё¬ҐҐв ўЁ¤:
Ґб«Ё дгЄжЁп $r(x)$, Ё¬Ґой п ў в®зЄҐ $x_0$ ЇҐаўго Їа®Ё§ў®¤го,
㤮ў«Ґвў®апҐв гб«®ўЁп¬:$$r(x_0)=r'(x_0)=0,$$
в® $$r(x)=o(x-x_0).$$
„Ґ©б⢨⥫м®
$$\lim_{x\to x_0}\frac{r(x)}{(x-x_0)}=
\lim_{x\to x_0}\frac{r(x)-r(x_0)}{(x-x_0)}=r'(x_0)=0.$$
ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬ ⥯Ґам, зв® бд®а¬г«Ёа®ў ®Ґ г⢥তҐЁҐ бЇа ўҐ¤«Ёў® ЇаЁ $n\ge 1$.
„®Є ¦Ґ¬, зв® ®® ®бв Ґвбп ўҐал¬ Ё ЇаЁ § ¬ҐҐ $n$ $n+1$, в® Ґбвм,
зв® Ґб«Ё ¤«п Є Є®©-«ЁЎ® дгЄжЁЁ $r(x)$, Ё¬Ґо饩 ў в®зЄҐ $x_0$ Їа®Ё§ў®¤лҐ
¤® $n+1$-Ј® Ї®ап¤Є ўЄ«озЁвҐ«м®, ўлЇ®«повбп гб«®ўЁп
$$r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots =r^{n}(x_0)=r^{n+1}(x_0),$$
в®
$$r(x)=o((x-x_0)^{n+1}).$$
€§ нвЁе гб«®ўЁ© б«Ґ¤гҐв, зв® дгЄжЁп $r'(x)$ 㤮ў«Ґвў®апҐв
гб«®ўЁп¬
$$r(x_0)=r'(x_0)=r''(x_0)=\cdots =r^{n}(x_0),$$
§ зЁв ¤«п ҐҐ Ї® ЇаҐ¤Ї®«®¦Ґ®¬г 㦥 Ё¬ҐҐ¬
$$r'(x)=o((x-x_0)^n).$$
Џ® д®а¬г«Ґ Є®Ґзле ЇаЁа 饨© (‹ Ја ¦ )
$$r(x)=r(x)-r(x_0)=r'(c)(x-x_0),$$
Ј¤Ґ $c$ 室Ёвбп ¬Ґ¦¤г $x$ Ё $x_0$. ’ Є Є Є
$$|c-x_0|<|x-x_0|,$$
в®
$$r'(c)=o((c-x_0)^n)=o((x-x_o)^n)$$ Ё $$r(x)=o((x-x_0)^{n+1}).$$
Џ®«гз Ґ¬ д®а¬г«г, Є®в®а п §лў Ґвбп д®а¬г«®© ’Ґ©«®а б ¤®Ї®«ЁвҐ«мл¬ з«Ґ®¬
$r(x)$ ў д®а¬Ґ ЏҐ ®
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+
\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$
$$+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+r(x),$$
Ј¤Ґ $r(x)=o((x-x_0)^n)$.
ЏаЁ $x_0=0$ Ї®«гзҐ п д®а¬г« ЇаЁЁ¬ Ґв ўЁ¤:
$$f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+
\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+r(x).$$
Љ н⮬г з б⮬г б«гз о ўбҐЈ¤ ¬®¦® ᢥбвЁ ¤Ґ«®, ў§пў $x-x_0$
§ ®ўго Ґ§ ўЁбЁ¬го ЇҐаҐ¬Ґго.
ђ бᬮваЁ¬ ў ўЁ¤Ґ ЇаЁ¬Ґа ҐЄ®в®алҐ Є®ЄаҐвлҐ а §«®¦ҐЁп
Ї® нв®© д®а¬г«Ґ ¤«п н«Ґ¬Ґв але
дгЄжЁ© $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $x^m$, $\ln x$.
\ss{ЏаҐ¤бв ў«ҐЁҐ Ї® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а ®б®ўле н«Ґ¬Ґв але дгЄжЁ©}
—в®Ўл ©вЁ д®а¬г«г ’Ґ©«®а ¤«п ҐЄ®в®а®© дгЄжЁЁ, Ґ®Ўе®¤Ё¬® ©вЁ $n$
Їа®Ё§ў®¤ле нв®© дгЄжЁЁ
{\bf 1.} Ќ ©¤Ґ¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а ¤«п нЄбЇ®Ґвл $f(x)=e^x$. ЌҐб«®¦®
Ї®«гзЁвм, зв®
$f^{(k)}(x)=e^x$, ®вбо¤ б«Ґ¤гҐв, зв® $f(0)=f^{(k)}(0)=1$.
Џ®н⮬㠤«п а §«®¦ҐЁп нЄбЇ®Ґвл Ї®«гз Ґ¬ б«Ґ¤гойЁ© ап¤
$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}
+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n).$$
{\bf 2.} Ќ ©¤Ґ¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а ¤«п бЁгб $f(x)=\sin x$.
„«п ЇҐаў®© Їа®Ё§ў®¤®© $f'(x)=\cos x=\sin(x+\pi/2)$. Ђ «®ЈЁз® ¤«п $k-$в®©
Їа®Ё§ў®¤®© Ї®«гз Ґ¬
$$f^{(k)}(x)=\sin\left(x+k\frac{\pi}{2}\right).$$
Ћвбо¤ Ї®«гз Ґ¬, $$f(0)=0,$$
¤«п зҐв®© Їа®Ё§ў®¤®©
$$f^{(2m)}(0)=\sin(m\pi)=0,$$
¤«п ҐзҐв®©
$$f^{(2m-1)}(0)=\sin(m\pi-\frac{\pi}{2})=(-1)^{m-1},$$ Ј¤Ґ $m=1,2,3,\cdots$
„«п а §«®¦ҐЁп $\sin x$ Ї®«гз Ґ¬
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+
(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+o(x^{2m}).$$
{\bf 3.} Ќ ©¤Ґ¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а ¤«п Є®бЁгб $f(x)=\cos x$.
„«п ЇҐаў®© Їа®Ё§ў®¤®© $f'(x)=-\sin x=\cos(x+\pi/2)$. Ђ «®ЈЁз® ¤«п $k-$в®©
Їа®Ё§ў®¤®© Ї®«гз Ґ¬
$$f^{(k)}(x)=\cos\left(x+k\frac{\pi}{2}\right).$$
Ћвбо¤ Ї®«гз Ґ¬ $$f(0)=1;$$
¤«п зҐв®© Їа®Ё§ў®¤®©
$$f^{(2m)}(0)=\cos(m\pi)=(-1)^m;$$
¤«п ҐзҐв®©
$$f^{(2m-1)}(0)=\cos(m\pi-\frac{\pi}{2})=0,$$
Ј¤Ґ $m=1,2,3,\cdots$
„«п а §«®¦ҐЁп $\cos x$ Ї®«гз Ґ¬
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+
(-1)^{m}\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m+1}).$$
{\bf 4.} Ќ ©¤Ґ¬ а §«®¦ҐЁҐ ў ап¤ ’Ґ©«®а б⥯Ґ®© дгЄжЁо $f(x)=x^m$, Ј¤Ґ
$m\ne 0$ Ё Ґ вга «м®Ґ зЁб«®.
‚ н⮬ б«гз Ґ ЇаЁ $x\to 0$ «ЁЎ® б ¬ дгЄжЁп (Ґб«Ё $m<0$),
«ЁЎ® ҐҐ Їа®Ё§ў®¤лҐ ( зЁ п б ҐЄ®в®а®Ј® Ї®ап¤Є ЇаЁ $n>m$ ЎҐбЄ®Ґз®
ў®§а бв ов. ‘«Ґ¤®ў ⥫м®, Ґ«м§п Ўа вм $x_0=0$.
‚®§м¬Ґ¬ $x_0=1$ Ё Ўг¤Ґ¬ а §« Ј вм $x^m$ Ї® б⥯Ґп¬ $(x-1)$.
„«п Їа®бв®вл, Ўг¤Ґ¬ а §« Ј вм $f(x)=(1+x)^m$ Ї® б⥯Ґп¬ $x$.
„«п $k-$в®© Їа®Ё§ў®¤®© $f(x)$ Ї®«гз Ґ¬
$$f^{(k)}(x)=m(m-1)\cdots (m-k+1)(1+x)^{m-k}.$$
’®Ј¤ § 票Ґ дгЄжЁЁ Ё ҐҐ Їа®Ё§ў®¤ле ў г«Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«повбп ўла ¦ҐЁп¬Ё:
$$f(0)=1, f^{(k)}(0)=m(m-1)\cdots (m-k+1).$$
€в Є, Ї®«гз Ґ¬ ¤«п б⥯Ґ®© дгЄжЁЁ $f(x)=(1+x)^m$ б«Ґ¤го饥 а §«®¦ҐЁҐ
$$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{1\cdot 2}x^2+\cdots+
\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{1\cdot 2\cdots n}x^n+o(x^n).$$
ђ бᬮваЁ¬ з бвлҐ б«гз Ё нв®© д®а¬г«л ЇаЁ $n=2$ Ё $m=-1,\di{\frac12},
\di{-\frac12}$.
$$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+o(x^2);$$
$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^2+o(x^2);$$
$$\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac12 x+\frac38 x^2+o(x^2).$$
{\bf 5.} Ќ ©¤Ґ¬ д®а¬г«г ’Ґ©«®а ¤«п вга «м®Ј® «®Ј аЁд¬ $f(x)=\ln x$.
’ Є Є Є «®Ј аЁд¬ бв६Ёвбп $\to -\infty$ ЇаЁ бв६«ҐЁЁ $x\to 0$,
в® Ўг¤Ґ¬ а §« Ј вм Ї® б⥯Ґп¬ $x$ дгЄжЁо $f(x)=\ln(1+x)$.
„«п $k-$Їа®Ё§ў®¤®© дгЄжЁЁ $\ln(1+x)$ Ґва㤮 Ї®«гзЁвм б«Ґ¤го饥 ўла ¦ҐЁҐ:
$$f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{(1+x)^k}.$$
’®Ј¤
$$f(0)=1; f^{(k-1)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1)!.$$
‘ гзҐв®¬ Ї®«гзҐле ўла ¦ҐЁ© ¤«п дгЄжЁЁ $f(x)=\ln(1+x)$
Ї®«гз Ґ¬ б«Ґ¤го饥 ўла ¦ҐЁҐ:
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}
-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n).$$
\ss{Ћбв в®зл© з«Ґ д®а¬г«л ’Ґ©«®а ў д®а¬Ґ ‹ Ја ¦ }
ЌҐ¤®бв в®Є ап¤ ’Ґ©«®а б ®бв в®зл¬ з«Ґ®¬ ў д®а¬Ґ ЏҐ ® ў ⮬,
зв® ¬ б«®¦® ®жҐЁвм Ї®ЈаҐи®бвм ЇаЁЎ«Ё¦ҐЁп ¬®Ј®з«Ґ $p(x)$
Є дгЄжЁЁ $f(x)$. Ћ Ј®ў®аЁв, зв® $r(x)$ Ґбвм $o((x-x_0)^n)$.
‘гйҐбвўгов ®бв в®злҐ з«Ґл ў Ё®© д®а¬Ґ.
Ќ ЁЎ®«ҐҐ Ё§ўҐбвл© Ё§ Ёе ®бв в®зл© з«Ґ ў д®а¬Ґ ‹ Ја ¦
$$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},$$
Ј¤Ґ $c\in(x_0,x)$.
…б«Ё $x_0=0$, в®
$$r_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\tet x)}{(n+1)!}x^{n+1}, \;\rm{Ј¤Ґ}\;\; 0<\tet<1.$$
‘ Ї®¬®ймо нв®© д®а¬г«л ¬®¦® ®жҐЁў вм Ї®ЈаҐи®бвм а §«®¦ҐЁ©.
…б«Ё $\left|f^{(n+1)}(\tet x)\right|<M$ ЇаЁ $0<\tet<1$,
в® Ї®ЈаҐи®бвм а §«®¦ҐЁп ®жҐЁў Ґвбп ўла ¦ҐЁҐ¬:
$$\left|r_n(x)\right|\le \frac{Mx^{n+1}}{(n+1)!}.$$
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Ї®ЈаҐи®бвм а §«®¦ҐЁп нЄбЇ®Ґвл $f(x)=e^x$ Ї®
д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а .
$$e^x\approx 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}.$$
’®Ј¤
$$r_n(x)=\frac{e^{\tet x}}{(n+1)!}x^{n+1}.$$
ЏаЁ $x>0$
$$\left|r_n(x)\right|\le \frac{e^x}{(n+1)!}x^{n+1}.$$
Џ®¤®ЎлҐ д®а¬г«л Ї®§ў®«по⠮楨ў вм Ўб®«овго Ї®ЈаҐи®бвм.
Ќ ЇаЁ¬Ґа,
¬л е®вЁ¬ ўлзЁб«Ёвм Ї® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а нЄбЇ®Ґвг ®в१ЄҐ $[0,1]$
б ЁбЇ®«м§®ў ЁҐ¬ 5 з«Ґ®ў а §«®¦ҐЁп. Њ ЄбЁ¬ «м п ®иЁЎЄ ЇаЁ н⮬ Ґ
Ўг¤Ґв ЇаҐўли вм
$$\frac{e^1\cdot 1^{4+1}}{(4+1)!}=\frac{e}{5!}\approx 0.008.$$
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Ї®ЈаҐи®бвм а §«®¦ҐЁп бЁгб $f(x)=\sin x$
Ї® д®а¬г«Ґ ’Ґ©«®а .
$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-
\cdots+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}\quad m\ge 1.$$
‚ н⮬ б«гз Ґ
$$r_{2m}(x)=\frac{\sin\left[\tet x+(2m+1)\di{\frac{\pi}{2}}\right]}{(2m+1)!}
\;x^{2m+1}=(-1)^m\cos(\tet x)\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}.$$
Ћвбо¤
$$|r_{2m}(x)|\le\frac{|x|^{2m+1}}{(2m+1)!}.$$
‚ з бв®бвЁ, Ґб«Ё ЁбЇ®«м§гҐ¬ а §«®¦ҐЁҐ
$$\sin x\approx x$$
(ў н⮬ б«гз Ґ $m=1$),
в® ¤«п в®Ј®, зв®Ўл Ї®ЈаҐи®бвм Ўл« ¬ҐмиҐ зҐ¬ 0.001, ¬®¦® Ўа вм
$$\frac{x^3}{6}<0.001\quad\rm{Ё«Ё}\;\;\;x<0.1817,$$
зв® ў Ја ¤гб е б®бв ў«пҐв ЇаЁ¬Ґа® $10^o$.
ЏаЁ ЁбЇ®«м§®ў ЁЁ д®а¬г«л
$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$$
(ў н⮬ б«гз Ґ $m=2$) ¤«п ¤®бвЁ¦ҐЁп в®© ¦Ґ в®з®бвЁ ¬®¦® Ўа вм
$$\frac{x^5}{120}<0.001\quad\rm{Ё«Ё}\;\;\;x<0.6544,$$
зв® ў Ја ¤гб е б®бв ў«пҐв 㦥 ЇаЁ¬Ґа® $37^o$.
…б«Ё ®Ја ЁзЁвмбп гЈ« ¬Ё $x<0.4129(\doteq 23^o$,
в® Ї®ЈаҐи®бвм Ўг¤Ґв $<0.00001$.
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(50,140){\special{em:graph FT.bmp}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
‘ 㢥«ЁзҐЁҐ¬ зЁб« з«Ґ®ў а §«®¦ҐЁп ап¤ ’Ґ©«®а , ® б ўбҐ
Ў®«м襩 в®з®бвмо Ё Ў®«м襬 Їа®в殮ЁЁ ў®бЇа®Ё§ў®¤Ёв Ёб室го дгЄжЁо.
ќв® Ё««обваЁагҐвбп аЁб.~5, Є®в®а®¬ ЇаҐ¤бв ў«Ґ д ©« MathCad' ,
Ј¤Ґ ап¤г б Ја дЁЄ®¬ дгЄжЁЁ $y=\sin x$
ЇаҐ¤бв ў«Ґл Ја дЁЄЁ ¬®Ј®з«Ґ®ў
$$y1=x,\;y2=x-\frac{x^3}{6},\;y3=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.$$
\s{ќЄбв६г¬л дгЄжЁ©}
\ss{ЌҐ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ нЄбв६㬠}
…б«Ё ў в®зЄҐ $x_0$ ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 п дгЄжЁп $f(x)$ Ё¬ҐҐв нЄбв६г¬, в® ў
ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв®бвЁ нв®© в®зЄЁ ўлЇ®«повбп гб«®ўЁп вҐ®аҐ¬л ”Ґа¬ , Ё
б«Ґ¤®ў ⥫м®, Їа®Ё§ў®¤ п дгЄжЁЁ ў нв®© в®зЄҐ а ў г«о, в.Ґ. $f'(x_0)=0$.
Ќ® дгЄжЁп ¬®¦Ґв Ё¬Ґвм нЄбв६㬠Ё ў в®зЄ е, ў Є®в®але ® Ґ ¤ЁддҐаҐжЁа㥬 .
’ Є, ЇаЁ¬Ґа, дгЄжЁп $y=|x|$ Ё¬ҐҐв нЄбв६㬠(¬ЁЁ¬г¬) ў в®зЄҐ $x=0$, ® Ґ
¤ЁддҐаҐжЁа㥬 ў Ґ©. ”гЄжЁп $y=\sqrt[3]{x^2}$ в Є¦Ґ Ё¬ҐҐв ў в®зЄҐ $x=0$
¬ЁЁ¬г¬, ҐҐ Їа®Ё§ў®¤ п ў нв®© в®зЄҐ ЎҐбЄ®Ґз :
$y'=\di{\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}}$, $y'(0)=\infty$.
Џ®н⮬㠥®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ нЄбв६㬠¬®¦Ґв Ўлвм бд®а¬г«Ёа®ў ® б«Ґ¤гойЁ¬
®Ўа §®¬.
{\it „«п в®Ј® зв®Ўл дгЄжЁп $y=f(x)$ Ё¬Ґ« нЄбв६㬠ў в®зЄҐ $x_0$, Ґ®Ўе®¤Ё¬®,
зв®Ўл ҐҐ Їа®Ё§ў®¤ п ў нв®© в®зЄҐ а ўп« бм г«о $(f'(x_0)=0)$ Ё«Ё Ґ
бгйҐбвў®ў « .}
’®зЄЁ, ў Є®в®але ўлЇ®«Ґ® Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ нЄбв६㬠, §лў овбп
{\it ЄаЁвЁзҐбЄЁ¬Ё} (Ё«Ё {\it бв жЁ® ал¬Ё}). Ќ® {\it ЄаЁвЁзҐбЄ п в®зЄ Ґ
®Ўп§ вҐ«м® пў«пҐвбп в®зЄ®© нЄбв६㬠}.
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ ЄаЁвЁзҐбЄЁҐ в®зЄЁ дгЄжЁЁ Ё гЎҐ¤Ёвмбп ў «ЁзЁЁ Ё«Ё
®вбгвбвўЁЁ нЄбв६㬠ў нвЁе в®зЄ е:
$$1. y=x^2+1; \quad 2.y=x^3-1.$$
1.$y'=2x$. $y'(x)=0$ ЇаЁ $x=0$. ‚ в®зЄҐ $x=0$ дгЄжЁп $y=x^2+1$ Ё¬ҐҐв ¬ЁЁ¬г¬.
2. $y'=3x^2$. $y'(x)=0$ ЇаЁ $x=0$. ‚ в®зЄҐ $x=0$ дгЄжЁп $y=x^3-1$ Ґ Ё¬ҐҐв
нЄбв६㬠. ”гЄжЁп $y=x^3-1$ ў®§а б⠥⠢ᥩ зЁб«®ў®© ®бЁ.
€в Є, ¤«п 宦¤ҐЁп нЄбв६㬮ў дгЄжЁЁ вॡгҐвбп ¤®Ї®«ЁвҐ«м®Ґ Ёбб«Ґ¤®ў ЁҐ
ЄаЁвЁзҐбЄЁе в®зҐЄ.
\ss{ЏҐаў®Ґ ¤®бв в®з®Ґ гб«®ўЁҐ нЄбв६㬠}
{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} {\it …б«Ё ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ в®зЄг $x_0$ Їа®Ё§ў®¤ п
¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© дгЄжЁЁ $y=f(x)$ ¬ҐпҐв бў®© § Є б Ї«об ¬Ёгб, в® в®зЄ
$x_0$ Ґбвм в®зЄ ¬ ЄбЁ¬г¬ дгЄжЁЁ $y=f(x)$, Ґб«Ё б ¬Ёгб Ї«об, в® --
в®зЄ ¬ЁЁ¬г¬ .}
Џгбвм Їа®Ё§ў®¤ п ¬ҐпҐв § Є б Ї«об ¬Ёгб, в.Ґ. ў ҐЄ®в®а®¬ ЁвҐаў «Ґ
$(a,x_0)$ Їа®Ё§ў®¤ п Ї®«®¦ЁвҐ«м $(f'(x)>0)$, ў ҐЄ®в®а®¬ ЁвҐаў «Ґ
$(x_0,b)$ -- ®ваЁж ⥫м $(f'(x)<0)$ (б¬. аЁб. 6). ’®Ј¤ ў ᮮ⢥вбвўЁЁ б
¤®бв в®зл¬ гб«®ўЁҐ¬ ¬®®в®®бвЁ дгЄжЁп $f(x)$ ў®§а бв Ґв ЁвҐаў «Ґ
$(a,x_0)$ Ё гЎлў Ґв ЁвҐаў «Ґ $(x_0,b)$.
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(110,140){\special{em:graph F14.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
Џ® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо ў®§а бв о饩 дгЄжЁЁ $f(x_0)\ge f(x)$ ЇаЁ ўбҐе $x\in (a,x_0)$,
Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁо гЎлў о饩 дгЄжЁЁ $f(x)\le f(x_0)$ ЇаЁ ўбҐе $x\in (x_0,b)$,
в.Ґ. $f(x_0)\ge f(x)$ ЇаЁ ўбҐе $x\in (a,b)$, б«Ґ¤®ў ⥫м®, $x_0$ --
в®зЄ ¬ ЄбЁ¬г¬ дгЄжЁЁ $y=f(x)$.
Ђ «®ЈЁз® а бб¬ ваЁў Ґвбп б«гз ©, Є®Ј¤ Їа®Ё§ў®¤ п ¬ҐпҐв § Є б ¬Ёгб
Ї«об.
Ћв¬ҐвЁ¬, зв® ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®бвм дгЄжЁЁ ў б ¬®© в®зЄҐ $x_0$ Ґ ЁбЇ®«м§®ў « бм
ЇаЁ ¤®Є § ⥫мб⢥ ⥮६л. Ќ б ¬®¬ ¤Ґ«Ґ ® Ё Ґ вॡгҐвбп -- ¤®бв в®з®,
зв®Ўл дгЄжЁп Ўл« ҐЇаҐалў ў в®зЄҐ $x_0$.
…б«Ё Ё§¬ҐҐЁҐ § Є Їа®Ё§ў®¤®© Ґ Їа®Ёб室Ёв, в® нЄбв६㬠Ґв.
\ss{‚в®а®Ґ ¤®бв в®з®Ґ гб«®ўЁҐ нЄбв६㬠}
{\bf ’Ґ®аҐ¬ .} {\it …б«Ё ЇҐаў п Їа®Ё§ў®¤ п $f'(x)$ ¤ў ¦¤л
¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© дгЄжЁЁ $y=f(x)$ а ў г«о ў ҐЄ®в®а®© в®зЄҐ
$x_0$, ўв®а п Їа®Ё§ў®¤ п ў нв®© в®зЄҐ $f''(x_0)$ Ї®«®¦ЁвҐ«м , в® $x_0$
Ґбвм в®зЄ ¬ ЄбЁ¬г¬ дгЄжЁЁ $y=f(x)$; Ґб«Ё $f''(x_0)$ ®ваЁж ⥫м ,
в® $x_0$ -- в®зЄ ¬ ЄбЁ¬г¬ .}
Џгбвм $f'(x_0)=0$, $f''(x_0)>0$. ќв® § зЁв, зв®
$$f''(x)=(f'(x))'>0$$
в Є¦Ґ
Ё ў ҐЄ®в®а®© ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x_0$, в.Ґ. $f'(x)$ ў®§а бв Ґв ҐЄ®в®а®¬
ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$, ᮤҐа¦ 饬 в®зЄг $x_0$.
Ќ® $f'(x_0)=0$, б«Ґ¤®ў ⥫м®, ЁвҐаў «Ґ $(a,x_0)$ $f'(x)<0$, ЁвҐаў «Ґ
$(x_0,b)$ $f'(x)>0$, в.Ґ. $f'(x)$ ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ в®зЄг $x_0$ ¬ҐпҐв § Є
б ¬Ёгб Ї«об, в.Ґ. $x_0$ -- в®зЄ ¬ЁЁ¬г¬ .
Ђ «®ЈЁз® а бб¬ ваЁў Ґвбп б«гз © $f'(x_0)=0$ Ё $f''(x_0)<0$.
\ss{‘奬 Ёбб«Ґ¤®ў Ёп дгЄжЁЁ $y=f(x)$ нЄбв६г¬}
1. Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤го $y'=f'(x)$.
2. Ќ ©вЁ ЄаЁвЁзҐбЄЁҐ в®зЄЁ дгЄжЁЁ, ў Є®в®але Їа®Ё§ў®¤ п $f'(x)=0$ Ё«Ё
Ґ бгйҐбвўгҐв.
3.1. €бб«Ґ¤®ў вм § Є Їа®Ё§ў®¤®© б«Ґў Ё бЇа ў ®в Є ¦¤®© ЄаЁвЁзҐбЄ®© в®зЄЁ
Ё ᤥ« вм ўлў®¤ ® «ЁзЁЁ нЄбв६㬮ў дгЄжЁЁ.
€«Ё
3.2. Ќ ©вЁ ўв®аго Їа®Ё§ў®¤го $f''(x)$ Ё ®ЇаҐ¤Ґ«Ёвм ҐҐ § Є ў Є ¦¤®©
ЄаЁвЁзҐбЄ®© в®зЄҐ.
4. Ќ ©вЁ нЄбв६г¬л (нЄбв६ «млҐ § 票п) дгЄжЁЁ.
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} €бб«Ґ¤®ў вм нЄбв६㬠дгЄжЁо $y=x(x-1)^3$.
1. $y'=(x-1)^3+3x(x-1)^2=(x-1)^2(4x-1)$.
2. ЉаЁвЁзҐбЄЁҐ в®зЄЁ $x_1=1$ Ё $x_2=\di{\frac{1}{4}}$.
3. €§¬ҐҐЁҐ § Є Їа®Ё§ў®¤®© ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§ в®зЄг $x_1$ Ґ Їа®Ёб室Ёв,
Ї®н⮬㠢 нв®© в®зЄҐ Ґв нЄбв६㬠.
$y''=2(x-1)(4x-1)+4(x-1)^2=2[(x-1)(6x-3)]$.
$y''(x_2)>0$, Ї®н⮬㠢 нв®© в®зЄҐ Ў«о¤ Ґвбп ¬ЁЁ¬г¬ дгЄжЁЁ $y=x(x-1)^3$.
4. $y_{min}=y\left(\di{\frac{1}{4}}\right)=-\di{\frac{27}{256}}$.
\ss{Ќ 宦¤ҐЁҐ Ј«®Ў «мле нЄбв६㬮ў дгЄжЁЁ}
Џ®¤ Ј«®Ў «мл¬Ё нЄбв६㬠¬Ё дгЄжЁЁ, § ¤ ®© ҐЄ®в®а®¬ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$,
Ї®Ё¬ Ґвбп ЁЎ®«м襥 Ё Ё¬Ґм襥 § 票Ґ дгЄжЁЁ, ¤®бвЁЈ Ґ¬ле ¤ ®¬
Їа®¬Ґ¦гвЄҐ. Ќ ЁЎ®«м襥 Ё«Ё Ё¬Ґм襥 § 票Ґ дгЄжЁЁ ¬®¦Ґв ¤®бвЁЈ вмбп
Є Є ў в®зЄ е нЄбв६㬠, в Є Ё ў в®зЄ е Є®ж е § ¤ ®Ј® Їа®¬Ґ¦гвЄ .
Џгбвм дгЄжЁп $y=f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ ҐЄ®в®а®¬ ®в१ЄҐ $[a,b]$.
Ќ 宦¤ҐЁҐ Ј«®Ў «мле нЄбв६㬮ў дгЄжЁ© Їа®Ёб室Ёв Ї® б«Ґ¤го饩 б奬Ґ.
1. Ќ ©вЁ Їа®Ё§ў®¤го $f'(x)$.
2. Ќ ©вЁ ЄаЁвЁзҐбЄЁҐ в®зЄЁ дгЄжЁЁ, ў Є®в®але $f'(x_0)=0$ Ё«Ё Ґ бгйҐбвўгҐв.
3. Ќ ©вЁ § 票п дгЄжЁЁ ў ЄаЁвЁзҐбЄЁе в®зЄ е Ё Є®ж е ®в१Є
Ё ўлЎа вм Ё§ Ёе
ЁЎ®«м襥 $f_{MAX}$ Ё Ё¬Ґм襥 $f_{MIN}$ § 票п.
ќв® Ўг¤гв Ј«®Ў «млҐ нЄбв६г¬л дгЄжЁЁ
§ ¬Єг⮬ ®в१ЄҐ Ё«Ё ЁЎ®«м襥 Ё Ё¬Ґм襥 § 票Ґ дгЄжЁЁ ®в१ЄҐ.
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} Ќ ©вЁ Ј«®Ў «млҐ нЄбв६г¬л дгЄжЁЁ $y=3x^2-6x$
®в१ЄҐ $[0,3]$.
1. $y'=6x-6$ ;$y''=6$.
2. $x_0=1$.
3. $y(1)=-3$ ; $y(0)=0$ ; $y(3)=9$.
‚ в®зЄҐ $x=1$ Ё¬Ґм襥 § 票Ґ дгЄжЁЁ, ў в®зЄҐ $x=3$ -- ЁЎ®«м襥.
\s{‚лЇгЄ«®бвм дгЄжЁЁ}
{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ.} {\it ѓа дЁЄ дгЄжЁЁ $y=f(x)$ §лў Ґвбп {\bf ўлЇгЄ«л¬} ў
ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$, Ґб«Ё ® а бЇ®«®¦Ґ Ё¦Ґ Є б ⥫쮩, Їа®ўҐ¤Ґ®© ў «оЎ®©
в®зЄҐ нв®Ј® ЁвҐаў « } (б¬. аЁб. 7 ).
{\it ѓа дЁЄ дгЄжЁЁ $y=f(x)$ §лў Ґвбп {\bf ў®Јгвл¬} ў
ЁвҐаў «Ґ $(a,b)$, Ґб«Ё ® а бЇ®«®¦Ґ ўлиҐ Є б ⥫쮩, Їа®ўҐ¤Ґ®© ў «оЎ®©
в®зЄҐ нв®Ј® ЁвҐаў « } (б¬. аЁб. 7Ў).
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F15.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
\ss{ЌҐ®Ўе®¤Ё¬лҐ Ё ¤®бв в®злҐ гб«®ўЁп ўлЇгЄ«®бвЁ (ў®Јгв®бвЁ) дгЄжЁЁ}
„«п ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп ўлЇгЄ«®бвЁ (ў®Јгв®бвЁ) дгЄжЁЁ ҐЄ®в®а®¬ ЁвҐаў «Ґ
¬®¦® ЁбЇ®«м§®ў вм б«Ґ¤гойЁҐ ⥮६л.
{\bf ’Ґ®аҐ¬ 1.} {\it Џгбвм дгЄжЁп $f(x)$ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ Ё ҐЇаҐалў
ЁвҐаў «Ґ $X$ Ё Ё¬ҐҐв Є®Ґзго
Їа®Ё§ў®¤го $f'(x)$. „«п в®Ј®, зв®Ўл дгЄжЁп $f(x)$ Ўл« ўлЇгЄ«®© (ў®Јгв®©)
ў $X$, Ґ®Ўе®¤Ё¬® Ё
¤®бв в®з®, зв®Ўл ҐҐ Їа®Ё§ў®¤ п $f'(x)$ гЎлў « (ў®§а бв « )
н⮬ ЁвҐаў «Ґ}.
{\bf ’Ґ®аҐ¬ 2.} {\it Џгбвм дгЄжЁп $f(x)$
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ Ё ҐЇаҐалў ў¬Ґб⥠ᮠ᢮Ґ© Їа®Ё§ў®¤®© $f'(x)$
$X$ Ё Ё¬ҐҐв ўгваЁ $X$ ҐЇаҐалўго ўв®аго Їа®Ё§ў®¤го $f''(x)$.
„«п ўлЇгЄ«®бвЁ (ў®Јгв®бвЁ) дгЄжЁЁ $f(x)$
ў $X$ Ґ®Ўе®¤Ё¬® Ё ¤®бв в®з®, зв®Ўл ўгваЁ $X$}
$$f''(x)\le 0 ;f''(x)\ge 0.$$
„®Є ¦Ґ¬ ⥮६г 2 ¤«п б«гз п ўлЇгЄ«®бвЁ дгЄжЁЁ $f(x)$.
{\it ЌҐ®Ўе®¤Ё¬®бвм}. ‚®§¬Ґ¬ Їа®Ё§ў®«мго в®зЄг $x_0\in X$.
ђ §«®¦Ё¬ дгЄжЁо $f(x)$
®Є®«® в®зЄЁ $x_0$ ў ап¤ ’Ґ©«®а
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+r_1(x),$$
$$r_1(x)=\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0+\tet (x-x_0))\quad (0<\tet<1).$$
“а ўҐЁҐ Є б ⥫쮩 Є ЄаЁў®© $f(x)$ ў в®зЄҐ, Ё¬Ґо饩 ЎбжЁббг $x_0$:
$$Y(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$
’®Ј¤ ЇаҐўл襨Ґ ЄаЁў®© $f(x)$ ¤ Є б ⥫쮩 Є Ґ© ў в®зЄҐ $x_0$ а ў®
$$f(x)-Y(x)=r_1(x).$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ®бв в®Є $r_1(x)$ а ўҐ ўҐ«ЁзЁҐ ЇаҐўлиҐЁп ЄаЁў®© $f(x)$ ¤
Є б ⥫쮩 Є Ґ© ў в®зЄҐ $x_0$. ‚ бЁ«г ҐЇаҐалў®бвЁ $f''(x)$, Ґб«Ё
$f''(x_0)>0$, в® Ё $f''(x_0+\tet (x-x_0))>0$ ¤«п $x$, ЇаЁ ¤«Ґ¦ йЁе ¤®бв в®з®
¬ «®© ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x_0$, Ї®в®¬г, ®зҐўЁ¤®, Ё $r_1(x)>0$ ¤«п «оЎ®Ј®
®в«Ёз®Ј® ®в $x_0$ § 票п $x$, ЇаЁ ¤«Ґ¦ 饣® Є гЄ § ®© ®ЄаҐбв®бвЁ.
‡ зЁв, Ја дЁЄ дгЄжЁЁ $f(x)$ «Ґ¦Ёв ўлиҐ Є б ⥫쮩 $Y(x)$ Ё ЄаЁў п $f(x)$
ўлЇгЄ« ў Їа®Ё§ў®«м®© в®зЄҐ $x_0\in X$.
{\it „®бв в®з®бвм}. Џгбвм ЄаЁў п $f(x)$ ўлЇгЄ« Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $X$.
‚®§¬Ґ¬ Їа®Ё§ў®«мго в®зЄг $x_0\in X$.
Ђ «®ЈЁз® ЇаҐ¤л¤г饬г а §«®¦Ё¬ дгЄжЁо $f(x)$
®Є®«® в®зЄЁ $x_0$ ў ап¤ ’Ґ©«®а
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+r_1(x),$$
$$r_1(x)=\frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0+\tet (x-x_0))\quad (0<\tet<1).$$
ЏаҐўл襨Ґ ЄаЁў®© $f(x)$ ¤ Є б ⥫쮩 Є Ґ© ў в®зЄҐ, Ё¬Ґо饩 ЎбжЁббг $x_0$,
®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬®© ўла ¦ҐЁҐ¬ $Y(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, а ў®
$$f(x)-Y(x)=r_1(x).$$
’ Є Є Є ЇаҐўл襨Ґ Ї®«®¦ЁвҐ«м® ¤«п ¤®бв в®з® ¬ «®© ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x_0$,
в® Ї®«®¦ЁвҐ«м Ё ўв®а п Їа®Ё§ў®¤ п $f''(x_0+\tet (x-x_0))$.
ЏаЁ бв६«ҐЁЁ $x\to x_0$ Ї®«гз Ґ¬, зв® ¤«п Їа®Ё§ў®«м®© в®зЄЁ $x_0$
$f''(x_0)>0$.
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} €бб«Ґ¤®ў вм ўлЇгЄ«®бвм (ў®Јгв®бвм) дгЄжЁо $y=x^2-16x+32$.
…Ґ Їа®Ё§ў®¤ п $y'=2x-16$ ў®§а б⠥⠢ᥩ зЁб«®ў®© ®бЁ, § зЁв Ї®
⥮६Ґ 1 дгЄжЁп ў®Јгв $(-\infty,\infty)$.
…Ґ ўв®а п Їа®Ё§ў®¤ п $y''=2>0$, Ї®н⮬㠯®
⥮६Ґ 2 дгЄжЁп ў®Јгв $(-\infty,\infty)$.
\s{’®зЄЁ ЇҐаҐЈЁЎ }
{\bf ЋЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ.} {\it {\bf ’®зЄ®© ЇҐаҐЈЁЎ } Ја дЁЄ ҐЇаҐалў®© дгЄжЁЁ
§лў Ґвбп в®зЄ , а §¤Ґ«пой п ЁвҐаў «л, ў Є®в®але дгЄжЁп ўлЇгЄ« Ё ў®Јгв .}
€§ нв®Ј® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп б«Ґ¤гҐв, зв® в®зЄЁ ЇҐаҐЈЁЎ -- нв® в®зЄЁ в®зЄЁ нЄбв६г¬
ЇҐаў®© Їа®Ё§ў®¤®©. Ћвбо¤ ўл⥪ ов б«Ґ¤гойЁҐ г⢥তҐЁп ¤«п Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ј®
Ё ¤®бв в®з®Ј® гб«®ўЁ© ЇҐаҐЈЁЎ .
{\bf ’Ґ®аҐ¬ (Ґ®Ўе®¤Ё¬®Ґ гб«®ўЁҐ ЇҐаҐЈЁЎ ).}
{\it „«п в®Ј® зв®Ўл в®зЄ $x_0$ пў«п« бм в®зЄ®© ЇҐаҐЈЁЎ ¤ў ¦¤л
¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© дгЄжЁЁ $y=f(x)$, Ґ®Ўе®¤Ё¬®,
зв®Ўл ҐҐ ўв®а п Їа®Ё§ў®¤ п ў нв®© в®зЄҐ а ўп« бм г«о $(f''(x_0)=0)$ Ё«Ё Ґ
бгйҐбвў®ў « .}
{\bf ’Ґ®аҐ¬ (¤®бв в®з®Ґ гб«®ўЁҐ ЇҐаҐЈЁЎ ).} {\it …б«Ё ўв®а п Їа®Ё§ў®¤ п
$f''(x)$ ¤ў ¦¤л ¤ЁддҐаҐжЁа㥬®© дгЄжЁЁ $y=f(x)$ ЇаЁ ЇҐаҐе®¤Ґ зҐаҐ§
ҐЄ®в®аго в®зЄг $x_0$ ¬ҐпҐв § Є, в® $x_0$ Ґбвм в®зЄ ЇҐаҐЈЁЎ .}
Ћв¬ҐвЁ¬, зв® ў б ¬®© в®зЄҐ ўв®а п Їа®§ў®¤ п $f''(x_0)$ ¬®¦Ґв Ґ бгйҐбвў®ў вм.
{\it ѓҐ®¬ҐваЁзҐбЄ п ЁвҐаЇаҐв жЁп в®зҐЄ ЇҐаҐЈЁЎ } Ё««обваЁагҐвбп аЁб. 8.
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(100,140){\special{em:graph F18.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
‚ ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x_1$ дгЄжЁп ўлЇгЄ« Ё Ја дЁЄ ҐҐ «Ґ¦Ёв {\it Ё¦Ґ}
Є б ⥫쮩, Їа®ўҐ¤Ґ®© ў нв®© в®зЄҐ.
‚ ®ЄаҐбв®бвЁ в®зЄЁ $x_2$ дгЄжЁп ў®Јгв Ё Ја дЁЄ ҐҐ «Ґ¦Ёв {\it ўлиҐ}
Є б ⥫쮩, Їа®ўҐ¤Ґ®© ў нв®© в®зЄҐ. ‚ в®зЄҐ ЇҐаҐЈЁЎ $x_0$ Є б ⥫м п
а §¤Ґ«пҐв Ја дЁЄ дгЄжЁЁ ®Ў« бвЁ ўлЇгЄ«®бвЁ Ё ў®Јгв®бвЁ.
\ss{€бб«Ґ¤®ў ЁҐ дгЄжЁЁ ўлЇгЄ«®бвм Ё «ЁзЁҐ в®зҐЄ ЇҐаҐЈЁЎ }
1. Ќ ©вЁ ўв®аго Їа®Ё§ў®¤го $f''(x)$.
2. Ќ ©вЁ в®зЄЁ, ў Є®в®але ўв®а п Їа®Ё§ў®¤ п $f''(x)=0$ Ё«Ё Ґ бгйҐбвўгҐв.
3. €бб«Ґ¤®ў вм § Є ўв®а®© Їа®Ё§ў®¤®© б«Ґў Ё бЇа ў ®в ©¤Ґле в®зҐЄ
Ё ᤥ« вм
ўлў®¤ ®Ў ЁвҐаў « е ўлЇгЄ«®бвЁ Ё«Ё ў®Јгв®бвЁ Ё «ЁзЁЁ в®зҐЄ ЇҐаҐЈЁЎ .
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} €бб«Ґ¤®ў вм дгЄжЁо $y(x)=2x^3-6x^2+15$ ўлЇгЄ«®бвм Ё «ЁзЁҐ
в®зҐЄ ЇҐаҐЈЁЎ .
1. $y'=6x^2-12x; y''=12x-12$.
2. ‚в®а п Їа®Ё§ў®¤ п а ў г«о ЇаЁ $x_0=1$.
3. ‚в®а п Їа®Ё§ў®¤ п $y''(x)$ ¬ҐпҐв § Є ЇаЁ $x_0=1$, § зЁв
в®зЄ $x_0=1$ -- в®зЄ ЇҐаҐЈЁЎ .
Ќ ЁвҐаў «Ґ $(-\infty,1)$ $y''(x)<0$, § зЁв дгЄжЁп $y(x)$ ўлЇгЄ«
н⮬ ЁвҐаў «Ґ.
Ќ ЁвҐаў «Ґ $(1,\infty)$ $y''(x)>0$, § зЁв дгЄжЁп $y(x)$ ў®Јгв
н⮬ ЁвҐаў «Ґ.
\s{ЋЎй п б奬 Ёбб«Ґ¤®ў Ёп дгЄжЁ© Ё Ї®бв஥Ёп Ја дЁЄ }
ЏаЁ Ёбб«Ґ¤®ў ЁЁ дгЄжЁЁ Ё Ї®бв஥ЁЁ ҐҐ Ја дЁЄ ४®¬Ґ¤Ґвбп
ЁбЇ®«м§®ў вм б«Ґ¤гойго б奬г:
{\bf 1.} Ќ ©вЁ ®Ў« бвм ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп дгЄжЁЁ.
{\bf 2.} €бб«Ґ¤®ў вм дгЄжЁо зҐв®бвм -- ҐзҐв®бвм. Ќ Ї®¬Ё¬, зв®
Ја дЁЄ зҐв®©
дгЄжЁЁ бЁ¬¬ҐваЁзҐ ®в®бЁвҐ«м® ®бЁ ®а¤Ё в, Ја дЁЄ ҐзҐв®© дгЄжЁЁ
бЁ¬ҐваЁзҐ ®в®бЁвҐ«м® з « Є®®а¤Ё в.
{\bf 3.} Ќ ©вЁ ўҐавЁЄ «млҐ бЁ¬Їв®вл.
{\bf 4.} €бб«Ґ¤®ў вм Ї®ўҐ¤ҐЁҐ дгЄжЁЁ ў ЎҐбЄ®Ґз®бвЁ,
©вЁ Ј®аЁ§®в «млҐ Ё«Ё Є«®лҐ бЁ¬Їв®вл.
{\bf 5.} Ќ ©вЁ нЄбв६г¬л Ё ЁвҐаў «л ¬®®в®®бвЁ дгЄжЁЁ.
{\bf 6.} Ќ ©вЁ ЁвҐаў «л ўлЇгЄ«®бвЁ дгЄжЁЁ Ё в®зЄЁ ЇҐаҐЈЁЎ .
{\bf 7.} Ќ ©вЁ в®зЄЁ ЇҐаҐбҐзҐЁп б ®бп¬Ё Є®®а¤Ё в.
€бб«Ґ¤®ў ЁҐ дгЄжЁЁ Їа®ў®¤Ёвбп ®¤®ўаҐ¬Ґ® б Ї®бв஥ЁҐ¬ ҐҐ Ја дЁЄ .
{\bf ЏаЁ¬Ґа.} €бб«Ґ¤®ў вм дгЄжЁо $y(x)=f(x)=\di{\frac{1+x^2}{1-x^2}}$
Ё Ї®бва®Ёвм ҐҐ Ја дЁЄ.
1. ЋЎ« бвм ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп дгЄжЁЁ -- $(-\infty,-1)\bigcup(-1,1)\bigcup(1,\infty)$.
2. €бб«Ґ¤гҐ¬ п дгЄжЁп -- зҐв п $y(x)=y(-x)$, Ї®н⮬㠥Ґ Ја дЁЄ
бЁ¬¬ҐваЁзҐ ®в®бЁвҐ«м® ®бЁ ®а¤Ё в.
3. ‡ ¬Ґ ⥫м дгЄжЁЁ ®Ўа й Ґвбп ў ®«м ЇаЁ $x=\pm 1$, Ї®н⮬㠣а дЁЄ дгЄжЁЁ
Ё¬ҐҐв ўҐавЁЄ «млҐ бЁ¬Їв®вл $x=-1$ Ё $x=1$.
’®зЄЁ $x=\pm 1$ пў«повбп в®зЄ ¬Ё а §алў ўв®а®Ј® த , в Є Є Є ЇаҐ¤Ґ«л б«Ґў Ё
бЇа ў ў нвЁе в®зЄ е бв६пвбп Є $\infty$.
$$\lim_{x\to 1-0}y(x)=\lim_{x\to -1+0}y(x)=\infty;
\lim_{x\to 1+0}y(x)=\lim_{x\to -1-0}y(x)=-\infty.$$
4. Џ®ўҐ¤ҐЁҐ дгЄжЁЁ ў ЎҐбЄ®Ґз®бвЁ.
$$\lim_{x\to\pm\infty}y(x)=-1,$$
Ї®н⮬㠣а дЁЄ дгЄжЁЁ Ё¬ҐҐв Ј®аЁ§®в «мго бЁ¬Їв®вг $y=-1$.
5. ќЄбв६г¬л Ё ЁвҐаў «л ¬®®в®®бвЁ.
Ќ 室Ё¬ ЇҐаўго Їа®Ё§ў®¤го
$$y'(x)=\frac{4x}{(1-x^2)}.$$
$y'(x)<0$ ЇаЁ $x\in(-\infty,-1)\bigcup(-1,0)$, Ї®н⮬㠢 нвЁе ЁвҐаў « е
дгЄжЁп $y(x)$ гЎлў Ґв.
$y'(x)>0$ ЇаЁ $x\in(0,1)\bigcup(1,\infty)$, Ї®н⮬㠢 нвЁе ЁвҐаў « е
дгЄжЁп $y(x)$ ў®§а бв Ґв.
$y'(x)=0$ ЇаЁ $x=0$, Ї®н⮬г в®зЄ $x_0=0$ пў«пҐвбп ЄаЁвЁзҐбЄ®© в®зЄ®©.
Ќ 室Ё¬ ўв®аго Їа®Ё§ў®¤го
$$y''(x)=\frac{4(1+3x^2)}{(1-x^2)^3}.$$
’ Є Є Є $y''(0)>0$, в® в®зЄ $x_0=0$ пў«пҐвбп в®зЄ®© ¬ЁЁ¬г¬ дгЄжЁЁ $y(x)$.
6. €вҐаў «л ўлЇгЄ«®бвЁ Ё в®зЄЁ ЇҐаҐЈЁЎ .
”гЄжЁп $y''(x)>0$ ЇаЁ $x\in(-1,1)$, § зЁв н⮬ ЁвҐаў «Ґ дгЄжЁп
$y(x)$ ў®Јгв .
”гЄжЁп $y''(x)<0$ ЇаЁ $x\in(-\infty,-1)\bigcup(1,\infty)$,
§ зЁв нвЁе ЁвҐаў « е дгЄжЁп $y(x)$ ўлЇгЄ« .
”гЄжЁп $y''(x)$ ЁЈ¤Ґ Ґ ®Ўа й Ґвбп ў ®«м, § зЁв в®зҐЄ ЇҐаҐЈЁЎ Ґв.
7. ’®зЄЁ ЇҐаҐбҐзҐЁп б ®бп¬Ё Є®®а¤Ё в.
“а ўҐЁҐ $f(0)=y$, Ё¬ҐҐв аҐиҐЁҐ $y=1$, § зЁв в®зЄ ЇҐаҐбҐзҐЁп Ја дЁЄ
дгЄжЁЁ $y(x)$ б ®бмо ®а¤Ё в $(0,1)$.
“а ўҐЁҐ $f(x)=0$ Ґ Ё¬ҐҐв аҐиҐЁп, § зЁв в®зҐЄ ЇҐаҐбҐзҐЁп б ®бмо
ЎбжЁбб Ґв.
‘ гзҐв®¬ Їа®ўҐ¤Ґ®Ј® Ёбб«Ґ¤®ў Ёп ¬®¦® бва®Ёвм Ја дЁЄ дгЄжЁЁ
$$y(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}.$$
‘奬 вЁзҐбЄЁ Ја дЁЄ дгЄжЁЁ Ё§®Ўа ¦Ґ аЁб. 9.
\begin{figure}[h]
\begin{picture}(80,140)
\put(123,140){\special{em:graph F19.pcx}}
\end{picture}
\caption{}
\end{figure}
Ћв¬ҐвЁ¬, зв® ЁЎ®«ҐҐ Їа®бв® Ї®бв஥ЁҐ Ја дЁЄ®ў дгЄжЁ© ўлЇ®«пҐвбп
б Ї®¬®ймо ¬ ⥬ вЁзҐбЄЁе Ї ЄҐв®ў MathCad Ё«Ё Њ аle.
\end{document}