§ 19. Теорема Лагранжа

Теорема 19.1 (теорема Лагранжа). Если функцияf(x)непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a;b] найдётся такая точкаc, что для неё выполняется равенство

Последнее равенство носит название формулы Лагранжаилиформулы конечных приращений.

Доказательство. Проведём вначале предварительные рассуждения. Секущая AB(рис. 7) проходит через точкии, её угловой коэффициент есть, поэтому уравнение секущейABимеет вид

или

.

Обозначим выражение, стоящее в правой части этого равенства, через :

.

Тогда секущая ABесть график функции. Очевидно, что.

Введём теперь на отрезке [a;b] вспомогательную функцию

.

Функции удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке [a;b] (как разность непрерывной функцииf(x)и линейной функции) и во всех внутренних точках отрезка [a;b] имеет производную, равную

.

Кроме того, так как , то, т.е. функцияпринимает равные значения на концах отрезка [a;b]. Следовательно, согласно теореме Ролля, на отрезке [a;b] найдётся такая точкаc, что. Это значит, что, т.е., откуда.

Теорема доказана.

Обратимся к геометрическому смыслу теоремы Лагранжа. Как мы уже отметили, величина есть угловой коэффициент секущейAB. В то же времяесть угловой коэффициент касательной к кривойв точке с абсциссой. Таким образом, геометрически утверждение теоремы Лагранжа равносильно следующему: на дугевсегда найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде(рис. 7).

Отметим, что теорему Ролля можно рассматривать как частный случай теоремы Лагранжа.

§ 20. Теорема Коши

Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Лагранжа.

Теорема 20.1 (теорема Коши). Пусть функцииf(x) иg(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причём производнаяотлична от нуля во всех внутренних точках отрезка [a;b]. Тогда внутри отрезка [a;b] найдётся такая точкаc, что справедлива формула

Последнюю формулу называют формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений.

Доказательство. Убедимся сначала в том, что знаменатель левой части формулы Коши не равен нулю (так как в противном случае это выражение не имело бы смысла). В самом деле, если бы было , то для функциибыли бы выполнены все условия теоремы Ролля, и, следовательно, внутри отрезка [a;b] нашлась бы такая точкаc, что, а это равенство противоречит условию теоремы. Рассмотрим теперь вспомогательную функцию.

Функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна на отрезке [a;b] (поскольку непрерывныи) и во всех внутренних точках отрезка [a;b] имеет производную, равную

.

Кроме того, очевидно, что . Таким образом, как следует из теоремы Ролля, внутри отрезка [a;b] найдётся такая точкаc, что, то есть

, или

.

Разделив это равенство на (в данном случае это возможно, та как), получим требуемое равенство.

Теорема доказана.