- •Уравнения прямой (Элементы аналитической геометрии на плоскости)
- •1. Простейшие задачи на плоскости
- •2.2. Линейные действия над векторами и их свойства
- •2.3. Выражение вектора через коллинеарный вектор
- •2.4.4. Линейные действия над векторами в координатной форме
- •2.4.5. Условие коллинеарности двух векторов на плоскости
- •2.5. Изменение координат при повороте координатных осей
- •3. Прямая на плоскости
- •3.2.1. Угол между двумя прямыми, заданными в общем виде
- •3.2.2. Условие параллельности двух прямых на плоскости
- •3.2.3. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости
- •3.3. Уравнение прямой в отрезках
- •3.4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
- •3.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •3.5.1. Угол между прямыми (через угловые коэффициенты)
- •3.5.2. Условие параллельности двух прямых
- •3.5.3. Условие перпендикулярности двух прямых
- •3.5.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом
- •3.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •3.7. Каноническое и параметрические уравнения прямой
- •3.8. Направляющие косинусы вектора и нормальное уравнение прямой
- •4. Варианты индивидуальных заданий
- •Уравнения прямой (Элементы аналитической геометрии на плоскости)
- •109240, Москва, Берниковская наб., 14
- •109240, Москва, Берниковская наб., 14
3.2.1. Угол между двумя прямыми, заданными в общем виде
Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями:
: ,
: .
Угол между прямыми будем искать как угол между их нормалями. Имеем:=— нормальный вектор прямой,=— нормальный вектор прямой,
. (2)
3.2.2. Условие параллельности двух прямых на плоскости
Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями:
: , где=— нормаль прямой;
: , где=— нормаль прямой.
Тогда (см. п. 2.4.5).
Условие параллельности прямых и : .
Пример 15. Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями:
: , где=— нормаль прямой;
: , где=— нормаль прямой.
Очевидно, что , так как. Действительно, .
3.2.3. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости
Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями:
: , где=— нормаль прямой;
: , где=— нормаль прямой.
Тогда (,)=0 .
Условие перпендикулярности прямых и : .
Пример 16. Пусть прямые изаданы своими общими уравнениями:
: , где=— нормаль прямой;
: , где=— нормаль прямой.
Очевидно, что , поскольку. Действительно,
(,) =.
3.3. Уравнение прямой в отрезках
Пусть :— общее уравнение некоторой прямой, и пусть, т. е. прямая не проходит через начало координат. Тогда
;
здесь ,.
Уравнение вида называетсяуравнением прямой в отрезках. Очевидно, прямая пресекает координатные осиив точкахи, соответственно. Действительно: если, то; а если, то. Поэтомуи— точки пересечения прямойс осями координат.
Пример 17. Пусть :. Найти точки, в которых прямаяпересекает координатные оси.
Решение. Запишем уравнение прямой в отрезках:
(,,) ,, и— точки пересечения прямой с осями координат.
3.4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
Рис. 16
Пусть дана прямая : , где — ее нормальный вектор, и пусть точка , т. е. . Требуется определить расстояние от точки до прямой (см. рис. 16).
Пусть — ортогональная проекция точки на прямую . Тогда
.
Очевидно, = {,}. Отсюда
или .
Напомним, что (,) = , где— угол между векторамии ;здесь
=
Отсюда
(,) = и |(,)| = .
Следовательно,
= ==
= .
Таким образом, расстояние от точки до прямой находится по формуле
= =. (3)
Найдем теперь расстояние от начала координат до прямой :
= . (4)
Пример 18. Найти расстояния от точки и от начала координат до прямой : .
Решение. Имеем =, где , , , , .Отсюда
= =.
Расстояние от начала координат до данной прямой:
= =.
3.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть — общее уравнение прямой на плоскости. Предположим, что . Тогда
, где ,.
Исследуем геометрический смысл коэффициента .
Пусть и . Поскольку точки и принадлежат прямой , их координаты удовлетворяют ее уравнению:
, (5)
. (6)
Вычитая (5) из (6), имеем:
, где ,
Рис. 17
Таким образом, —уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом .Здесь:
—угол, который прямая образует с осью ,
—точка, в которой прямая пересекает ось (),
—координаты текущих точек прямой .
Пример 19. Пусть прямая задана общим уравнением: . Требуется написать ее уравнение с угловым коэффициентом.
Решение. Имеем: =.
Следовательно, угловой коэффициент равен. Очевидно,
—координаты точки, в которой прямая пересекает ось ,
—координаты точки, в которой прямая пересекает ось .
Пример 20. Описать свойства уравнений прямых на плоскости, параллельных оси .
Решение. В этом случае и. Если прямая задана своим общим уравнением , то
;
но .
Таким образом, общее уравнение любой прямой, параллельной оси , всегда имеет вид
. (7)
Уравнение такой прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
.
Итак, уравнение вида (или, в общем виде,) на плоскости описывает прямую, параллельную осии пересекающую осьв точке.
Пример 21. Описать свойства уравнений прямых на плоскости, параллельных оси .
Решение. В этом случае и . Если прямая задана своим общим уравнением , то
;
но .
Таким образом, общее уравнение любой прямой, параллельной оси , всегда имеет вид
. (8)
Это уравнение эквивалентно уравнению вида
,
где .
Итак, уравнение вида (или, в общем виде,) на плоскости описывает прямую, параллельную осии пересекающую осьв точке.
Пример 22. Четыре прямые заданы своими общими уравнениями:
: ,:,:,:.
Требуется описать взаимное расположение прямой с прямыми,и.
Решение. Прямые ипересекаются, так как существует общая точка этих прямых, координаты которой удовлетворяют уравнениям данных прямых:
Пара координат точки пересечения является единственным решением этой системы.
Ответ 1: — координаты точки пересечения прямыхи.
Ответ 2: Прямые ипараллельны.
Действительно, система
не имеет решений (прямые ине имеют общих точек):
: =,
: =;
и — параллельны, так как не пересекаются и имеют равные угловые коэффициенты:.
Ответ 3: Прямые исовпадают.
Действительно, система
имеет бесконечное множество решений, так как состоит из двух эквивалентных уравнений:
: =,
: =.
Оба уравнения описывают одну и ту же прямую.
Полезно отметить, что справедливо следующее
Утверждение 9. Если две прямые заданы своими общими уравнениями и, то могут представиться три случая:
1) — прямые имеют одну общую точку;
2) — прямые параллельны;
3) — прямые совпадают.