- •Федеральное агентство по образованию
- •Проверка статистических гипотез
- •Москва 2005
- •2. Сравнение двух средних генеральных совокупностей
- •3. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений
- •4. Проверка гипотезы о значимости выборочного
- •5. Критерий согласия Пирсона
- •6. Проверка гипотез о значимости коэффициентов
3. Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений
Пусть известны результаты двух серий независимых испытаний: в первой серии проведено п1 опытов, и событие А появилось т1 раз; во второй серии из п2 опытов событие А появилось т2 раз. Обозначим неизвестную вероятность появления события А в одном опыте первой серии через р1, а во второй серии – через р2. Требуется проверить при уровне значимости α нулевую гипотезу о равенстве этих вероятностей: Но: р1 = р2.
В качестве критерия выбирается нормированная нормально распределенная случайная величина
.
Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле:
.
Построение критической области:
а) при конкурирующей гипотезе Н1: р1 ≠ р2 uкр определяется из равенства , и двусторонняя критическая область задается неравенством |U| > uкр.
б) при конкурирующей гипотезе Н1: р1 > р2 uкр для правосторонней крити-ческой области находится из условия , и вид критической области:U > uкр.
в) при конкурирующей гипотезе Но: р1 < р2 левосторонняя критическая область имеет вид U < – uкр, где uкр находится по формуле из пункта б).
Пример 8. В серии из 20 независимых испытаний событие А появилось 8 раз, в серии из 15 испытаний – 7 раз. При уровне значимости α = 0,05 проверяется
нулевая гипотеза Но: р1 = р2 при конкурирующей гипотезе Но: р1 < р2.
Решение.
Критическая область – левосторонняя, следова-
тельно, икр = 1,645, и критическая область имеет вид U < - 1,645. Вычислим инабл = Uнабл > – uкр, следовательно, гипотеза принимается, и можно считать, что вероятность события А в обеих сериях испытаний одинакова.
4. Проверка гипотезы о значимости выборочного
коэффициента корреляции
Пусть имеется выборка объема п из нормально распределенной двумерной генеральной совокупности (Х, Y), и по ней найден выборочный коэффициент корреляции rB ≠ 0. Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции:
Ho: rГ = 0 при конкурирующей гипотезе Н1: rГ ≠ 0. Критерием является случайная величина
,
имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы. Критическая область при заданном виде конку-рирующей гипотезы является двусторонней и задается неравенством |T| > tкр, где tкр(α, k) находится по таблице критических точек распределения Стьюдента.
Пример 9. По выборке объема п = 150, извлеченной из нормально распреде-ленной двумерной генеральной совокупности, вычислен выборочный коэффициент корреляции rB = - 0,37. Проверим при уровне значимости α = 0,01 нулевую гипотезу Ho: rГ = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н1: rГ ≠ 0.
Решение.
Критическая точка tкр(0,01; 150) = 2,58. Вычислим наблюдаемое значение критерия: Поскольку |Tнабл | > tкр, нулевая гипо-теза отвергается, то есть Х и Y коррелированны.
5. Критерий согласия Пирсона
Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предпола-гаемом законе неизвестного распределения.
Пусть по выборке объема п получено эмпирическое распределение:
Варианты xi |
x1 |
x2 |
... |
xs |
Частоты ni |
n1 |
n2 |
... |
ns |
С помощью критерия Пирсона можно проверить гипотезу о различных законах распределения генеральной совокупности (равномерном, нормаль-ном, показательном и др.) Для этого в предположении о конкретном виде распределения вычисляются теоретические частоты , и в качестве крите-рия выбирается случайная величина
,
имеющая закон распределения χ2 с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где s – число частичных интервалов выборки, r – число параметров предполагаемого распределения. Критическая область выбирается правосто-ронней, и граница ее при заданном уровне значимости α находит-ся по таблице критических точек распределенияχ2.
Теоретические частоты вычисляются для заданного закона распределения как количества элементов выборки, которые должны были попасть в каждый интервал, если бы случайная величина имела выбранный закон распределе-ния, параметры которого совпадают с их точечными оценками по выборке, а именно:
а) для проверки гипотезы о нормальном законе распределения =п ∙ Рi, где п – объем выборки, xi и xi + 1 – левая и правая границы i-го интервала, - выборочное среднее,s – исправленное среднее квадратическое отклонение. Поскольку нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, число степеней свободы k = n – 3;
б) для проверки гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности в качестве оценки параметра λ принимается . Тогда теоретические частоты=п ∙ Рi, . Показательное распреде-ление определяется одним параметром, поэтому число степеней свободыk = n – 2;
в) для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности концы интервала, в котором наблюдались возможные
значения Х, оцениваются по формулам:
Тогда плотность вероятности
Число степеней свободы k = n – 3, так как равномерное распределение оценивается двумя параметрами.
Пример 10. Для выборки, интервальный статистический ряд которой имеет вид
Номер интервала |
Границы интервала |
Эмпирические частоты |
1 |
2 – 5 |
6 |
2 |
5 – 8 |
8 |
3 |
8 – 11 |
15 |
4 |
11 – 14 |
22 |
5 |
14 – 17 |
14 |
6 |
17 – 20 |
5 |
проверить при уровне значимости α = 0,05 гипотезу о:
а) показательном; б) равномерном; в) нормальном
законе распределения генеральной совокупности с помощью критерия Пирсона.
Решение.
Объем выборки п = 70. Будем считать вариантами середины частичных интервалов: х1 = 3,5, х2 = 6,5,…, х6 = 18,5.
Найдем = 11,43;σВ = 4,03; s = 4,05.
а) Вычислим теоретические частоты в предположении о показательном распределении генеральной совокупности при
аналогично Наблюдаемое значение критерияКритическая точкаχ2(0,05;4)=9,5; и гипотеза о показательном распределении отклоняется.
б) Для равномерного распределения
теоретические частоты: Наблюдаемое значение критерияКритическая точкаи гипотеза о равномерном распределении отклоняется.
в) Теоретические частоты для нормального распределения:
Так же вычисляют-ся Наблюдаемое значение критерияКритическая точкаПосколькугипотеза о нормальном распределе-нии генеральной совокупности принимается.